Formas diferenciales cerradas y exactas.

Concepto de cálculo vectorial

En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ), y una forma exacta es una forma diferencial, α , que es la derivada exterior de otra forma diferencial β . Por lo tanto, una forma exacta está en la imagen de d y una forma cerrada está en el núcleo de d .

Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que la de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" de α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que la de α .

Como d ² = 0 , toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si toda forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contraíble , toda forma cerrada es exacta según el lema de Poincaré . Preguntas más generales de este tipo sobre una variedad diferenciable arbitraria son el tema de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.

Ejemplos

Campo vectorial correspondiente a (el dual de Hodge de) dθ .

Un ejemplo simple de una forma cerrada pero no exacta es la forma 1 ^{[nota 1]} dada por la derivada del argumento en el plano perforado . Dado que en realidad no es una función (consulte el siguiente párrafo), no es una forma exacta. Aún así, tiene derivada evanescente y, por tanto, está cerrada. ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

Tenga en cuenta que el argumento solo se define hasta un múltiplo entero de ya que a un solo punto se le pueden asignar diferentes argumentos , etc. Podemos asignar argumentos de manera localmente consistente alrededor de , pero no de manera globalmente consistente. Esto se debe a que si trazamos un bucle en sentido antihorario alrededor del origen y de regreso a , el argumento aumenta en . Generalmente, el argumento cambia según ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

sobre un bucle orientado en sentido antihorario . ${\displaystyle S^{1}}$

Aunque el argumento no es técnicamente una función, las diferentes definiciones locales de en un punto difieren entre sí por constantes. Dado que la derivada at solo utiliza datos locales, y dado que las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada, el argumento tiene una derivada globalmente bien definida " ". ^{[nota 2]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d\theta }$

El resultado es que se trata de una forma única que en realidad no es la derivada de ninguna función bien definida . Decimos que eso no es exacto . Explícitamente, se da como: ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

que por inspección tiene derivada cero. Como tiene derivada evanescente, decimos que es cerrado . ${\displaystyle d\theta }$

Esta forma genera el grupo de cohomología de De Rham, lo que significa que cualquier forma cerrada es la suma de una forma exacta y un múltiplo de : , donde representa una integral de contorno no trivial alrededor del origen, que es la única obstrucción para una forma cerrada en el plano perforado (localmente la derivada de una función potencial ) es la derivada de una función definida globalmente. ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbf {R} ^{2}\setminus \{0\})\cong \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$ ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

Ejemplos en dimensiones bajas

Las formas diferenciales fueron bien conocidas en la física matemática del siglo XIX. En el plano, las formas 0 son solo funciones, y las formas 2 son funciones multiplicadas por el elemento de área básico , por lo que son las formas 1 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior aquí es ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales . Por lo tanto la condición para estar cerrado es ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

En este caso si es una función entonces ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

La implicación de 'exacto' a 'cerrado' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas , con respecto a y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El teorema del gradiente afirma que una forma 1 es exacta si y sólo si la integral de línea de la forma depende sólo de los puntos finales de la curva, o de manera equivalente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.

Analogías de campos vectoriales

En una variedad de Riemann , o más generalmente en una variedad pseudo-riemanniana , las k formas corresponden a k campos vectoriales (por dualidad a través de la métrica ), por lo que existe la noción de un campo vectorial correspondiente a una forma cerrada o exacta.

En 3 dimensiones, un campo vectorial exacto (considerado como una forma 1) se llama campo vectorial conservador , lo que significa que es la derivada ( gradiente ) de una forma 0 (campo escalar suave), llamado potencial escalar . Un campo vectorial cerrado (considerado como una forma 1) es aquel cuya derivada ( curvatura ) desaparece, y se llama campo vectorial irrotacional .

En cambio, pensando en un campo vectorial como una forma bidimensional, un campo vectorial cerrado es aquel cuya derivada ( divergencia ) desaparece y se denomina flujo incompresible (a veces campo vectorial solenoidal ). El término incompresible se utiliza porque una divergencia distinta de cero corresponde a la presencia de fuentes y sumideros en analogía con un fluido.

Los conceptos de campos vectoriales conservadores e incompresibles se generalizan a n dimensiones, porque el gradiente y la divergencia se generalizan a n dimensiones; curl se define sólo en tres dimensiones, por lo que el concepto de campo vectorial irrotacional no se generaliza de esta manera.

Lema de Poincaré

El lema de Poincaré establece que si B es una bola abierta en R ⁿ , cualquier p -forma cerrada ω definida en B es exacta, para cualquier número entero p con 1 ≤ p ≤ n . ^[1]

De manera más general, el lema establece que en un subconjunto abierto contráctil de una variedad (p. ej., ), una forma p cerrada , p > 0, es exacta. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Formulación como cohomología.

Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar algún β tal que

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

entonces se dice que ζ y η son cohomólogos entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas de cero . El conjunto de todas las formas cohomólogas de una forma dada (y, por tanto, entre sí) se denomina clase de cohomología de De Rham ; el estudio general de tales clases se conoce como cohomología . No tiene mucho sentido preguntar si una forma 0 (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que sólo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones localmente constantes .

Utilizando homotopías de contracción similares a la utilizada en la prueba del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es invariante en homotopía. ^[2]

Aplicación en electrodinámica

En electrodinámica es importante el caso del campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria. Allí se trata del potencial vectorial de este campo. Este caso corresponde a k = 2 , y la región definitoria es la completa . El vector de densidad de corriente es Corresponde a la actual biforma. ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

Para el campo magnético se obtienen resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas , y puede derivarse del potencial vectorial , o de la correspondiente forma única , ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

Por tanto, el potencial vectorial corresponde al potencial uniforme. ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

El carácter cerrado de la biforma de inducción magnética corresponde a la propiedad del campo magnético de que no tiene fuente: es decir , que no hay monopolos magnéticos . ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

En un calibre especial, esto implica que i = 1, 2, 3 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(Aquí está la constante magnética ). ${\displaystyle \mu _{0}}$

Esta ecuación es notable porque corresponde completamente a una fórmula bien conocida para el campo eléctrico , es decir, para el potencial electrostático de Coulomb de una densidad de carga . En este lugar ya se puede adivinar que ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$y ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$y ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \phi }$y ${\displaystyle {\vec {A}}}$

se puede unificar a cantidades con seis rsp. cuatro componentes no triviales, que es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell .

Si se deja la condición de estacionariedad, en el lado izquierdo de la ecuación mencionada anteriormente hay que añadir, en las ecuaciones para , a las tres coordenadas espaciales, como cuarta variable también el tiempo t , mientras que en el lado derecho Por otro lado, en , se debe utilizar el llamado "tiempo retardado", es decir, se añade al argumento de la densidad de corriente. Finalmente, como antes, se integra sobre las tres coordenadas espaciales primadas. (Como de costumbre, c es la velocidad de la luz en el vacío). ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle j_{i}'}$ ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

Notas

1. Esto es un abuso de notación. El argumento no es una función bien definida y no es el diferencial de ninguna forma cero. La discusión que sigue profundiza sobre esto. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$
2. El artículo Cubriendo el espacio tiene más información sobre las matemáticas de funciones que solo están bien definidas localmente.

Citas

1. Warner 1983, págs. 155-156
2. Warner 1983, pag. 162-207

Referencias

• Flandes, Harley (1989) [1963]. Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Introducción a las superficies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Cantante, mensajería instantánea ; Thorpe, JA (1976), Apuntes de conferencias sobre topología y geometría elementales , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784