Potencial vectorial

En cálculo vectorial , un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rizo es un campo vectorial dado. Esto es análogo a un potencial escalar , que es un campo escalar cuyo gradiente es un campo vectorial dado.

Formalmente, dado un campo vectorial v , un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que ${\displaystyle C^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Consecuencia

Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A , entonces de la igualdad

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

la divergenciarizo

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$

vcampo vectorial solenoidal

Teorema

Dejar

$${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$

campo vectorial solenoidalcontinuamente diferenciablev ( x ) ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$

$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Entonces, A es un potencial vectorial para v , es decir,　

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

ycurl[v]potencial retardadocorrespondecampo H. ${\displaystyle \nabla _{y}\times }$

Puede restringir el dominio integral a cualquier región única conectada Ω . Es decir, A' a continuación también es un vector potencial de v ;

$${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz que establece que cualquier campo vectorial se puede descomponer como una suma de un campo vectorial solenoidal y un campo vectorial irrotacional .

Por analogía con la ley de Biot-Savart , lo siguiente también se califica como vector potencial para v . ${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})=\int _{\Omega }{\frac {{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {y}})\times ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}d^{3}{\boldsymbol {y}}}$

Sustituyendo j ( densidad de corriente ) por v y H ( campo H ) por A , encontraremos la ley de Biot-Savart.

Sea y sea Ω un dominio estelar centrado en p , entonces, traduciendo el lema de Poincaré para formas diferenciales al mundo de campos vectoriales, el siguiente es también un potencial vectorial para el ${\displaystyle {\textbf {p}}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p}})\times ({\boldsymbol {v}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds}$

No unicidad

El potencial vectorial admitido por un campo solenoidal no es único. Si A es un potencial vectorial para v , entonces también lo es

$${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$

${\displaystyle f}$

Esta no unicidad conduce a un grado de libertad en la formulación de la electrodinámica, o libertad de calibre, y requiere elegir un calibre .

Ver también

• Teorema fundamental del cálculo vectorial
• Potencial vectorial magnético
• Solenoide
• Formas diferenciales cerradas y exactas

Referencias

• Fundamentos de ingeniería electromagnética por David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.