Conexión proyectiva

En geometría diferencial , una conexión proyectiva es un tipo de conexión de Cartan en una variedad diferenciable .

La estructura de una conexión proyectiva se modela sobre la geometría del espacio proyectivo , en lugar del espacio afín correspondiente a una conexión afín . Al igual que las conexiones afines, las conexiones proyectivas también definen geodésicas . Sin embargo, estas geodésicas no están parametrizadas de manera afín , sino proyectivamente, lo que significa que su clase preferida de parametrizaciones se ve afectada por el grupo de transformaciones lineales fraccionarias .

Al igual que una conexión afín, las conexiones proyectivas tienen torsión y curvatura asociadas.

El espacio proyectivo como geometría modelo

El primer paso para definir cualquier conexión de Cartan es considerar el caso plano: en el que la conexión corresponde a la forma de Maurer-Cartan en un espacio homogéneo .

En el contexto proyectivo, la variedad subyacente del espacio homogéneo es el espacio proyectivo RP ⁿ que representaremos mediante coordenadas homogéneas . El grupo de simetría de es G = PSL( n +1, R ). ^[1] Sea H el grupo de isotropía del punto . Por lo tanto, M = G / H se presenta como un espacio homogéneo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [1,0,0,\ldots ,0]}$ ${\displaystyle M}$

Sea el álgebra de Lie de G y la de H. Nótese que . Como matrices relativas a la base homogénea , consta de matrices sin trazas : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda &v^{i}\\w_{j}&a_{j}^{i}\end{matrix}}\right),\quad (v^{i})\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i})\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}}$.

Y consta de todas estas matrices con . En relación con la representación matricial anterior, la forma Maurer-Cartan de G es un sistema de 1-formas que satisfacen las ecuaciones estructurales (escritas utilizando la convención de suma de Einstein ): ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle (w_{j})=0}$ ${\displaystyle (\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})}$

${\displaystyle d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0}$

${\displaystyle da_{j}+a_{j}\wedge \zeta +a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0}$

${\displaystyle da_{j}^{i}+a^{i}\wedge a_{j}+a_{k}^{i}\wedge a_{j}^{k}=0}$

${\displaystyle da^{i}+\zeta \wedge a^{i}+a^{k}\wedge a_{k}^{i}=0}$^[3]

Estructuras proyectivas sobre variedades

Una estructura proyectiva es una geometría lineal en una variedad en la que dos puntos cercanos están conectados por una línea (es decir, una geodésica no parametrizada ) de una manera única. Además, un vecindario infinitesimal de cada punto está equipado con una clase de marcos proyectivos . Según Cartan (1924),

Una variedad (o espacio) de conexión proyectiva es una variedad numérica que, au voisinage immédiat de cada punto, presenta todas las características de un espacio proyectivo y doble de más de una loi permettant de raccorder en un solo espacio proyectivo los dos pequeños morceaux qui entourent dos puntos infinitamente voces. ...

Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs arbitraire, dans l'espace projectif agregado a cada punto a de la variedad, un repére definissant un système de coordonnées proyectivos. ... Le raccord entre les espacios projectifs agregados a dos puntos infinitamente voces a et a' se traduira analytiquement par una transformación homográfica. ... ^[4]

Esto es análogo a la noción de Cartan de una conexión afín , en la que los puntos cercanos están así conectados y tienen un marco de referencia afín que se transporta de uno a otro (Cartan, 1923):

La variedad será dite à "connexion affine" cuando tenga un aura definida, d'une manière d'ailleurs arbitraire, una ley que permite repetir la relación entre otros espacios afines agregados a dos puntos infinitamente voisins quelconques m et m' de la variedad; Esto permite que el punto del espacio afín adjunto al punto m corresponda al punto del espacio afín agregado al punto m , que el vector del primer espacio es paralelo o equipado con el segundo espacio. ^[5]

En lenguaje moderno, una estructura proyectiva en una n -variedad M es una geometría de Cartan modelada en el espacio proyectivo, donde este último se considera como un espacio homogéneo para PSL( n +1, R ). En otras palabras, es un PSL( n +1, R )-fibrado equipado con

• una conexión PSL( n +1, R ) (la conexión de Cartan )
• una reducción del grupo estructural al estabilizador de un punto en el espacio proyectivo

de tal manera que la forma de soldadura inducida por estos datos es un isomorfismo.

Notas

1. También es posible utilizar PGL( n +1, R ), pero PSL( n +1, R ) es más conveniente porque está conectado.
2. El enfoque de Cartan fue derivar las ecuaciones estructurales de la condición de preservación del volumen en SL ( n +1) de modo que no se requiriera una referencia explícita al álgebra de Lie.
3. Un punto de interés es que esta última ecuación es completamente integrable , lo que significa que las fibras de pueden definirse utilizando únicamente la forma de Maurer-Cartan, mediante el teorema de integración de Frobenius . ${\displaystyle G\rightarrow G/H}$
4. Una variedad (o espacio) con conexión proyectiva es una variedad numérica que, en la vecindad inmediata de cada punto, posee todos los caracteres de un espacio proyectivo y está además dotada de una ley que permite conectar en un único espacio proyectivo las dos pequeñas regiones que rodean dos puntos infinitamente próximos. Analíticamente, elegimos, de manera por lo demás arbitraria, un marco que define un marco de referencia proyectivo en el espacio proyectivo ligado a cada punto de la variedad. .. La conexión entre los espacios proyectivos ligados a dos puntos infinitamente próximos a y a' dará lugar analíticamente a una transformación homográfica (proyectiva). ..
5. Se dirá que la variedad está "afínmente conexa" cuando se defina, de manera por lo demás arbitraria, una ley que permita poner en correspondencia entre sí los espacios afines, ligados a dos puntos arbitrarios infinitamente próximos m y m' de la variedad; esta ley permitirá decir que a un punto particular del espacio afín ligado al punto m' corresponde un punto particular del espacio afín ligado al punto m , de tal manera que un vector del primer espacio sea paralelo o equipolento al vector correspondiente del segundo espacio.

Referencias

• Cartan, Élie (1923). "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 40 : 325–412. doi : 10.24033/asens.751 .
• Cartan, Élie (1924). "Sur les varietes a connexion proyectiva". Boletín de la Sociedad Matemática . 52 : 205–241. doi : 10.24033/bsmf.1053 .
• Hermann, R., Apéndice 1-3 en Cartan, E. Geometría de espacios de Riemann , Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9.

Enlaces externos

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Conexión proyectiva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press