Variedad (G,X)

En geometría , si X es una variedad con una acción de un grupo topológico G por difeomorfismos analíticos, la noción de una ( G , X )-estructura en un espacio topológico es una forma de formalizar que es localmente isomorfo a X con su estructura G -invariante; los espacios con una ( G , X )-estructura son siempre variedades y se denominan ( G , X )-variedades . Esta noción se utiliza a menudo con G siendo un grupo de Lie y X un espacio homogéneo para G. Ejemplos fundamentales son las variedades hiperbólicas y las variedades afines .

Definición y ejemplos

Definición formal

Sea una variedad diferencial conexa y un subgrupo del grupo de difeomorfismos de los cuales actúan analíticamente en el siguiente sentido: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

si y hay un subconjunto abierto no vacío tal que son iguales cuando se restringen a entonces ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$

(Esta definición está inspirada en la propiedad de continuación analítica de los difeomorfismos analíticos en una variedad analítica ).

Una estructura en un espacio topológico es una estructura de variedad en cuyos gráficos del atlas hay valores en y los mapas de transición pertenecen a . Esto significa que existe: ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

• una cobertura de conjuntos abiertos (es decir ); ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{i},i\in I}$ ${\displaystyle M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$
• incrustaciones abiertas llamadas gráficos; ${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to X}$

de tal manera que cada mapa de transición es la restricción de un difeomorfismo en . ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}:\varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\displaystyle G}$

Dos de estas estructuras son equivalentes cuando están contenidas en una máxima, y ​​equivalentemente cuando su unión es también una estructura (es decir, los mapas y son restricciones de difeomorfismos en ). ${\displaystyle (U_{i},\varphi _{i}),(V_{j},\psi _{j})}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}}$ ${\displaystyle \psi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos de Riemann

Si es un grupo de Lie y una variedad de Riemann con una acción fiel de por isometrías entonces la acción es analítica. Generalmente se toma como el grupo de isometría completo de . Entonces la categoría de variedades es equivalente a la categoría de variedades de Riemann que son localmente isométricas a (es decir, cada punto tiene un entorno isométrico a un subconjunto abierto de ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A menudo, los ejemplos de son homogéneos bajo , por ejemplo, se puede tomar con una métrica invariante por la izquierda. Un ejemplo particularmente simple es y el grupo de isometrías euclidianas . Entonces, una variedad es simplemente una variedad plana . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Un ejemplo particularmente interesante es cuando se trata de un espacio simétrico de Riemann , por ejemplo, el espacio hiperbólico . El ejemplo más simple es el plano hiperbólico , cuyo grupo de isometría es isomorfo a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Ejemplos pseudo-riemannianos

Cuando el espacio de Minkowski y el grupo de Lorentz son el concepto de una -estructura es el mismo que el de una variedad lorentziana plana . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Otros ejemplos

Cuando el espacio es afín y el grupo de transformaciones afines entonces se obtiene la noción de variedad afín . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Cuando el espacio proyectivo real es n-dimensional se obtiene la noción de estructura proyectiva. ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )}$

Desarrollo del mapa y completitud

Mapa en desarrollo

Sea una variedad conexa (como espacio topológico). La función en desarrollo es una función de la cubierta universal a la que sólo está bien definida hasta su composición por un elemento de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Un mapa en desarrollo se define de la siguiente manera: ^[2] fix y sea cualquier otro punto, un camino desde a , y (donde es un vecindario suficientemente pequeño de ) un mapa obtenido al componer un gráfico de con la proyección . Podemos usar la continuación analítica a lo largo de para extender de modo que su dominio incluya . Dado que está simplemente conectado, el valor de así obtenido no depende de la elección original de , y llamamos al mapa (bien definido) un mapa en desarrollo para la -estructura. Depende de la elección del punto base y del gráfico, pero solo hasta la composición por un elemento de . ${\displaystyle p\in {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle q\in {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi :U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi :{\tilde {M}}\to X}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle G}$

Monodromía

Dado un mapa en desarrollo , la monodromía u holonomía ^[3] de una -estructura es el único morfismo que satisface ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle h:\pi _{1}(M)\to G}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \pi _{1}(M),p\in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)}$.

Depende de la elección de un mapa en desarrollo, pero solo hasta un automorfismo interno de . ${\displaystyle G}$

Completo (GRAMO,incógnita)-estructuras

Se dice que una estructura está completa si tiene una función en desarrollo que también es una función de recubrimiento (esto no depende de la elección de la función en desarrollo, ya que se diferencian por un difeomorfismo). Por ejemplo, si es simplemente conexa, la estructura está completa si y solo si la función en desarrollo es un difeomorfismo. ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Riemanniano (GRAMO,incógnita)-estructuras

Si es una variedad de Riemann y su grupo completo de isometría, entonces una -estructura es completa si y solo si la variedad de Riemann subyacente es geodésicamente completa (equivalentemente, métricamente completa). En particular, en este caso, si el espacio subyacente de una -variedad es compacto, entonces esta última es automáticamente completa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle (G,X)}$

En el caso donde es el plano hiperbólico el mapa en desarrollo es el mismo mapa dado por el Teorema de Uniformización . ${\displaystyle X}$

Otros casos

En general, la compacidad del espacio no implica completitud de una estructura. Por ejemplo, una estructura afín en el toro es completa si y solo si la función monodromía tiene su imagen dentro de las traslaciones . Pero hay muchos toros afines que no satisfacen esta condición, por ejemplo, cualquier cuadrilátero con sus lados opuestos pegados por una función afín produce una estructura afín en el toro, que es completa si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo. ${\displaystyle (G,X)}$

Los espacios-tiempos de Margulis dan ejemplos interesantes de variedades afines completas y no compactas.

(GRAMO,incógnita)-estructuras como conexiones

En el trabajo de Charles Ehresmann, las estructuras en una variedad se consideran como conexiones de Ehresmann planas en haces de fibras con fibras sobre , cuyos mapas de monodromía se encuentran en . ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Notas

1. Dumas, Emily (2009). "Estructuras proyectivas complejas". En Papadopoulos, Athanase (ed.). Manual de teoría de Teichmüller, Volumen II . European MAth. soc.
2. Thurston 1997, Capítulo 3.4.
3. Thurston 1997, pág. 141.

Referencias

• Thurston, William (1997). Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Princeton University Press.