En matemáticas , una variedad hiperbólica es un espacio en el que cada punto se parece localmente a un espacio hiperbólico de alguna dimensión. Se estudian especialmente en las dimensiones 2 y 3, donde se denominan superficies hiperbólicas y 3-variedades hiperbólicas , respectivamente. En estas dimensiones, son importantes porque la mayoría de las variedades se pueden convertir en una variedad hiperbólica mediante un homeomorfismo . Esto es una consecuencia del teorema de uniformización para superficies y del teorema de geometrización para 3-variedades demostrado por Perelman .
Una variedad hiperbólica es una variedad riemanniana completa de curvatura seccional constante .
Toda variedad completa, conexa, simplemente conexa de curvatura negativa constante es isométrica al espacio hiperbólico real . Como resultado, el recubrimiento universal de cualquier variedad cerrada de curvatura negativa constante es . Por lo tanto, cada una de estas puede escribirse como donde es un grupo discreto libre de torsión de isometrías en . Es decir, es un subgrupo discreto de . La variedad tiene volumen finito si y solo si es una red .
Su descomposición gruesa-delgada tiene una parte delgada que consiste en vecindarios tubulares de geodésicas cerradas y extremos que son el producto de una variedad euclidiana ( ) y el semirradio cerrado. La variedad es de volumen finito si y solo si su parte gruesa es compacta.
El ejemplo más simple de una variedad hiperbólica es el espacio hiperbólico , ya que cada punto en el espacio hiperbólico tiene una vecindad isométrica al espacio hiperbólico.
Sin embargo, un ejemplo simple y no trivial es el toro perforado una vez . Este es un ejemplo de una (Isom( ), )-variedad . Esto se puede formar tomando un rectángulo ideal en – es decir, un rectángulo donde los vértices están en el límite en el infinito y, por lo tanto, no existen en la variedad resultante – e identificando imágenes opuestas.
De manera similar, podemos construir la esfera perforada tres veces, que se muestra a continuación, pegando dos triángulos ideales. Esto también muestra cómo dibujar curvas en la superficie: la línea negra en el diagrama se convierte en la curva cerrada cuando se pegan los bordes verdes. Como estamos trabajando con una esfera perforada, los círculos de colores en la superficie, incluidos sus límites, no son parte de la superficie y, por lo tanto, se representan en el diagrama como vértices ideales .
Muchos nudos y enlaces , incluidos algunos de los nudos más simples como el nudo en forma de ocho y los anillos borromeos , son hiperbólicos , por lo que el complemento del nudo o enlace es una variedad 3-hiperbólica de volumen finito.
Para la estructura hiperbólica en un volumen finito, la variedad hiperbólica es única por la rigidez de Mostow y, por lo tanto, los invariantes geométricos son, de hecho, invariantes topológicos. Uno de estos invariantes geométricos utilizados como invariante topológico es el volumen hiperbólico de un nudo o complemento de enlace, que puede permitirnos distinguir dos nudos entre sí mediante el estudio de la geometría de sus respectivas variedades.
