Lema de Margulis

En geometría diferencial , el lema de Margulis (llamado así por Grigory Margulis ) es el resultado de subgrupos discretos de isometrías de una variedad de Riemann con curvatura no positiva (por ejemplo, el espacio n hiperbólico ). A grandes rasgos, afirma que dentro de un radio fijo, habitualmente llamado constante de Margulis , la estructura de las órbitas de tal grupo no puede ser demasiado complicada. Más precisamente, dentro de este radio alrededor de un punto, todos los puntos en su órbita están de hecho en la órbita de un subgrupo nilpotente (de hecho, un número finito acotado de tales).

El lema de Margulis para variedades de curvatura no positiva

Declaración formal

El lema de Margulis se puede formular de la siguiente manera. ^[1]

Sea una variedad simplemente conexa de curvatura seccional acotada no positiva . Existen constantes con la siguiente propiedad. Para cualquier subgrupo discreto del grupo de isometrías de y any , si es el conjunto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}$

entonces el subgrupo generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice menor que . Aquí está la distancia inducida por la métrica de Riemann. ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$

Se puede dar una afirmación inmediatamente equivalente de la siguiente manera: para cualquier subconjunto del grupo de isometría, si satisface que: ${\displaystyle F}$

• existe tal que ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon }$
• el grupo generado por es discreto ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle F}$

luego contiene un subgrupo nilpotente de index . ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle \leq C}$

constantes de margulis

Se puede hacer que la constante óptima en la declaración dependa sólo de la dimensión y del límite inferior de la curvatura; normalmente se normaliza para que la curvatura esté entre -1 y 0. Suele denominarse constante de Margulis de la dimensión. ${\displaystyle \varepsilon }$

También se pueden considerar constantes de Margulis para espacios específicos. Por ejemplo, se ha realizado un importante esfuerzo por determinar la constante de Margulis de los espacios hiperbólicos (de curvatura constante -1). Por ejemplo:

• la constante óptima para el plano hiperbólico es igual a ; ^[2] ${\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}$
• En general, se sabe que la constante de Margulis para el espacio hiperbólico satisface los límites: ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}$$
  para algunos . ^[3] ${\displaystyle 0<c<1,K>0}$

Barrios de Zassenhaus

Una familia particularmente estudiada de ejemplos de variedades curvadas negativamente está dada por los espacios simétricos asociados a grupos de Lie semisimples . En este caso, al lema de Margulis se le puede dar la siguiente formulación más algebraica que se remonta a Hans Zassenhaus . ^[4]

Si es un grupo de Lie semisimple, existe una vecindad de la identidad en y tal que cualquier subgrupo discreto generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \cap \Omega }$ ${\displaystyle \leq C}$

Un barrio así se llama barrio Zassenhaus en . Si es compacto, este teorema equivale al teorema de Jordan sobre grupos lineales finitos . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Descomposición gruesa-fina

Sea una variedad de Riemann y . La parte delgada de es el subconjunto de puntos donde el radio de inyectividad de at es menor que , generalmente denotado , y la parte gruesa su complemento, generalmente denotado . Se produce una descomposición tautológica en una unión disjunta . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle M_{<\varepsilon }}$ ${\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}$ ${\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}$

Cuando es de curvatura negativa y es menor que la constante de Margulis para la cubierta universal , la estructura de los componentes de la parte delgada es muy simple. Limitémonos al caso de variedades hiperbólicas de volumen finito. Supongamos que es menor que la constante de Margulis y sea una variedad hiperbólica de volumen finito. Entonces su parte delgada tiene dos tipos de componentes: ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

• Cúspides : estos son los componentes ilimitados, son difeomorfos a una variedad plana multiplicada ${\displaystyle (n-1)}$ por una línea;
• Tubos de Margulis: son vecindades de geodésicas cerradas de longitud . Están acotados y (si son orientables) difeomorfos a un círculo multiplicado por un disco. ${\displaystyle <\varepsilon }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (n-1)}$

En particular, una variedad hiperbólica completa de volumen finito siempre es difeomorfa al interior de una variedad compacta (posiblemente con límite vacío).

Otras aplicaciones

El lema de Margulis es una herramienta importante en el estudio de variedades de curvatura negativa. Además de la descomposición gruesa-fina, otras aplicaciones son:

• El lema del collar : esta es una versión más precisa de la descripción de los componentes compactos de las piezas delgadas. Afirma que cualquier geodésica cerrada de longitud sobre una superficie hiperbólica está contenida en un cilindro incrustado de diámetro de orden . ${\displaystyle \ell <\varepsilon }$ ${\displaystyle \ell ^{-1}}$
• El lema de Margulis da una solución cualitativa inmediata al problema del covolumen mínimo entre variedades hiperbólicas: dado que se puede ver que el volumen de un tubo de Margulis está limitado por una constante que depende sólo de la dimensión, se deduce que existe un mínimo positivo para los volúmenes de n -colectores hiperbólicos para cualquier n . ^[6]
• La existencia de barrios de Zassenhaus es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Kazhdan-Margulis .
• Se puede recuperar el teorema de Jordan-Schur como corolario de la existencia de barrios de Zassenhaus.

Ver también

• La desigualdad de Jorgensen da una declaración cuantitativa para subgrupos discretos del grupo de isometría del espacio hiperbólico tridimensional. ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Notas

1. Ballmann, Gromov y Schroeder 1985, teorema 9.5.
2. Yamada, A. (1981). "Sobre la constante universal de grupos fucsianos de Marden". Matemáticas Kodai. J.​ 4 (2): 266–277. doi : 10.2996/kmj/1138036373.
3. Belolipetsky, Mikhail (2014). "Orbifolds hiperbólicos de pequeño volumen". Actas de ICM 2014 . Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
4. Raghunathan 1972, Definición 8.22.
5. Thurston 1997, Capítulo 4.5.
6. Ratcliffe 2006, pág. 666.

Referencias

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985). Colectores de curvatura no positiva . Birkhâuser.
• Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . SEÑOR  0507234.
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, Segunda edición . Saltador. págs. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.
• Thurston, William (1997). Geometría y topología tridimensional. vol. 1 . Prensa de la Universidad de Princeton.