Lema de Margulis

En geometría diferencial , el lema de Margulis (llamado así por Grigory Margulis ) es un resultado sobre subgrupos discretos de isometrías de una variedad de Riemann no positivamente curvada (por ejemplo, el n-espacio hiperbólico ). A grandes rasgos, establece que dentro de un radio fijo, normalmente llamado constante de Margulis , la estructura de las órbitas de dicho grupo no puede ser demasiado complicada. Más precisamente, dentro de este radio alrededor de un punto todos los puntos de su órbita están de hecho en la órbita de un subgrupo nilpotente (de hecho, un número finito acotado de tales).

El lema de Margulis para variedades de curvatura no positiva

Declaración formal

El lema de Margulis puede formularse de la siguiente manera: ^[1]

Sea una variedad simplemente conexa de curvatura seccional acotada no positiva . Existen constantes con la siguiente propiedad. Para cualquier subgrupo discreto del grupo de isometrías de y cualquier , si es el conjunto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}$

entonces el subgrupo generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice menor que . Aquí está la distancia inducida por la métrica de Riemann. ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$

Una afirmación inmediatamente equivalente puede darse de la siguiente manera: para cualquier subconjunto del grupo de isometría, si satisface que: ${\displaystyle F}$

• existe tal que ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon }$
• El grupo generado por es discreto ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle F}$

luego contiene un subgrupo nilpotente de índice . ${\displaystyle \langle F\rangle }$ ${\displaystyle \leq C}$

Constantes de Margulis

La constante óptima en la declaración puede hacerse depender solo de la dimensión y el límite inferior de la curvatura; generalmente se normaliza de modo que la curvatura esté entre -1 y 0. Generalmente se denomina constante de Margulis de la dimensión. ${\displaystyle \varepsilon }$

También se pueden considerar constantes de Margulis para espacios específicos. Por ejemplo, se ha hecho un esfuerzo importante para determinar la constante de Margulis de los espacios hiperbólicos (de curvatura constante -1). Por ejemplo:

• La constante óptima para el plano hiperbólico es igual a ; ^[2] ${\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}$
• En general, se sabe que la constante de Margulis para el espacio hiperbólico satisface los límites: para algún . ^[3] ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}$$ ${\displaystyle 0<c<1,K>0}$

Barrios de Zassenhaus

Una familia particularmente estudiada de ejemplos de variedades de curvatura negativa está dada por los espacios simétricos asociados a grupos de Lie semisimples . En este caso, el lema de Margulis puede recibir la siguiente formulación más algebraica que se remonta a Hans Zassenhaus . ^[4]

Si es un grupo de Lie semisimple existe un vecindario de la identidad en y a tal que cualquier subgrupo discreto generado por contiene un subgrupo nilpotente de índice . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \cap \Omega }$ ${\displaystyle \leq C}$

Un vecindario de este tipo se denomina vecindario de Zassenhaus en . Si es compacto, este teorema equivale al teorema de Jordan sobre grupos lineales finitos . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Descomposición gruesa-fina

Sea una variedad de Riemann y . La parte delgada de es el subconjunto de puntos donde el radio de inyectividad de at es menor que , usualmente denotado como , y la parte gruesa es su complemento, usualmente denotado como . Existe una descomposición tautológica en una unión disjunta . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle M_{<\varepsilon }}$ ${\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}$ ${\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}$

Cuando es de curvatura negativa y es menor que la constante de Margulis para la cubierta universal , la estructura de los componentes de la parte delgada es muy simple. Restringámonos al caso de variedades hiperbólicas de volumen finito. Supongamos que es menor que la constante de Margulis para y sea una variedad hiperbólica de volumen finito. Entonces su parte delgada tiene dos tipos de componentes: ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

• Cúspides : son los componentes ilimitados, son difeomorfos a una variedad plana ${\displaystyle (n-1)}$ multiplicada por una línea;
• Tubos de Margulis: son vecindades de geodésicas cerradas de longitud en . Están acotadas y (si es orientable) son difeomorfas a un círculo por un disco. ${\displaystyle <\varepsilon }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (n-1)}$

En particular, una variedad hiperbólica completa de volumen finito es siempre difeomorfa al interior de una variedad compacta (posiblemente con borde vacío).

Otras aplicaciones

El lema de Margulis es una herramienta importante en el estudio de variedades de curvatura negativa. Además de la descomposición gruesa-delgada, existen otras aplicaciones:

• Lema del collar : es una versión más precisa de la descripción de los componentes compactos de las partes delgadas. Afirma que cualquier geodésica cerrada de longitud sobre una superficie hiperbólica está contenida en un cilindro embebido de diámetro de orden . ${\displaystyle \ell <\varepsilon }$ ${\displaystyle \ell ^{-1}}$
• El lema de Margulis da una solución cualitativa inmediata al problema del covolumen mínimo entre variedades hiperbólicas: puesto que el volumen de un tubo de Margulis puede verse limitado por debajo por una constante que depende sólo de la dimensión, se deduce que existe un ínfimo positivo para los volúmenes de las n -variedades hiperbólicas para cualquier n . ^[6]
• La existencia de barrios de Zassenhaus es un ingrediente clave en la prueba del teorema de Kazhdan-Margulis .
• Se puede recuperar el teorema de Jordan-Schur como corolario de la existencia de barrios de Zassenhaus.

Véase también

• La desigualdad de Jorgensen da una declaración cuantitativa para subgrupos discretos del grupo de isometría del espacio hiperbólico tridimensional. ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Notas

1. Ballmann, Gromov y Schroeder 1985, Teorema 9.5.
2. Yamada, A. (1981). "Sobre la constante universal de Marden de los grupos fuchsianos". Kodai Math. J. 4 ( 2): 266–277. doi :10.2996/kmj/1138036373.
3. Belolipetsky, Mikhail (2014). "Orbifolds hiperbólicos de pequeño volumen". Actas del ICM 2014. Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
4. Raghunathan 1972, Definición 8.22.
5. Thurston 1997, Capítulo 4.5.
6. Ratcliffe 2006, pág. 666.

Referencias

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985). Variedades de curvatura no positiva . Birkhâuser.
• Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . SEÑOR  0507234.
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edición . Springer. pp. xii+779. ISBN. 978-0387-33197-3.
• Thurston, William (1997). Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Princeton University Press.