Colector plano

En matemáticas , se dice que una variedad de Riemann es plana si su tensor de curvatura de Riemann es cero en todas partes. Intuitivamente, una variedad plana es aquella que "localmente se parece" al espacio euclidiano en términos de distancias y ángulos; por ejemplo, los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

La cubierta universal de una variedad plana completa es el espacio euclidiano. Esto se puede utilizar para demostrar el teorema de Bieberbach (1911, 1912) de que todas las variedades planas compactas están finitamente cubiertas por toros; El caso tridimensional fue demostrado anteriormente por Schoenflies (1891).

Ejemplos

Los siguientes colectores pueden estar dotados de métrica plana. Tenga en cuenta que esta puede no ser su métrica "estándar" (por ejemplo, la métrica plana en el toro bidimensional no es la métrica inducida por su incrustación habitual en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Dimensión 1

Toda variedad de Riemann unidimensional es plana. Por el contrario, dado que cada variedad suave unidimensional conectada es difeomorfa para cualquiera de los dos o es sencillo ver que cada variedad Riemann unidimensional conectada es isométrica para uno de los siguientes (cada uno con su estructura Riemanniana estándar): ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1},}$

• la verdadera linea
• el intervalo abierto para algún número ${\displaystyle (0,x)}$ ${\displaystyle x>0}$
• el intervalo abierto ${\displaystyle (0,\infty )}$
• el círculo de radio para algún número ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r>0.}$

Sólo el primero y el último están completos. Si se incluyen variedades de Riemann con límite, entonces también se deben incluir los intervalos semiabiertos y cerrados.

La simplicidad de una descripción completa en este caso podría atribuirse al hecho de que cada variedad de Riemann unidimensional tiene un campo vectorial suave de longitud unitaria, y que se proporciona una isometría de uno de los ejemplos de modelos anteriores considerando una curva integral.

Dimensión 2

Las cinco posibilidades, hasta el difeomorfismo

Si es una variedad de Riemann plana completa, lisa, bidimensional y conectada, entonces debe ser difeomorfa a la tira de Möbius o a la botella de Klein . Tenga en cuenta que las únicas posibilidades compactas son y la botella Klein, mientras que las únicas posibilidades orientables son y ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Se necesita más esfuerzo para describir las distintas métricas planas de Riemann en estos espacios. Por ejemplo, los dos factores de pueden tener dos números reales cualesquiera como radios. Estas métricas se distinguen entre sí por la relación de sus dos radios, por lo que este espacio tiene infinitas métricas de productos planos diferentes que no son isométricas hasta un factor de escala. Para hablar de manera uniforme sobre las cinco posibilidades y, en particular, para trabajar concretamente con la tira de Möbius y la botella de Klein como variedades abstractas, es útil utilizar el lenguaje de las acciones grupales. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Las cinco posibilidades, hasta la isometría

Dado denotemos la traducción dada por Denotemos la reflexión dada por Dados dos números positivos, considere los siguientes subgrupos del grupo de isometrías de con su métrica estándar. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$proporcionó ${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Todos estos son grupos que actúan libre y apropiadamente de manera discontinua y, por lo tanto, los diversos espacios laterales tienen naturalmente la estructura de variedades riemannianas planas completas bidimensionales. Ninguno de ellos es isométrico entre sí, y cualquier variedad de Riemann conectada plana, bidimensional y lisa es isométrica para uno de ellos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

Orbifolds

Hay 17 orbifolds bidimensionales compactos con métrica plana (incluido el toro y la botella de Klein), enumerados en el artículo sobre orbifolds , que corresponden a los 17 grupos de papel tapiz .

Observaciones

Tenga en cuenta que la 'imagen' estándar del toroide como un donut no lo presenta con una métrica plana, ya que los puntos más alejados del centro tienen curvatura positiva mientras que los puntos más cercanos al centro tienen curvatura negativa. Según la formulación de Kuiper del teorema de incrustación de Nash , existe una incrustación que induce cualquiera de las métricas de productos planos que existen pero que no son fácilmente visualizables. Dado que se presenta como una subcolectora integrada de cualquiera de las estructuras de producto (planas), se presentan naturalmente como subcolectores de Del mismo modo, las visualizaciones tridimensionales estándar de la botella de Klein no presentan una métrica plana. La construcción estándar de una tira de Möbius, pegando los extremos de una tira de papel, de hecho le da una métrica plana, pero no es completa. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$

Dimensión 3

Hay 6 3 colectores planos compactos orientables y 4 no orientables, que son todos espacios de fibra de Seifert ; ^[1] son ​​los grupos cocientes de los 10 grupos cristalográficos libres de torsión . ^[2] También hay 4 espacios no compactos orientables y 4 no orientables. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Orientable

Los 10 3 colectores planos orientables son: ^[3]

1. 3 espacios euclidianos , . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
2. El 3-toro , formado pegando caras opuestas de un cubo . ${\displaystyle T^{3}}$
3. El colector se hace pegando caras opuestas de un cubo con 1/2 giro en un par.
4. El colector se hizo pegando caras opuestas de un cubo con un giro de 1/4 en un par.
5. El colector se hizo pegando caras opuestas de un prisma hexagonal con un giro de 1/3 en las caras hexagonales.
6. El colector se hizo pegando las caras opuestas de un prisma hexagonal con un giro de 1/6 en las caras hexagonales.
7. La variedad Hantzsche-Wendt .
8. La variedad se forma como el espacio entre dos planos paralelos que están pegados entre sí. ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$
9. El colector hecho pegando paredes opuestas de una chimenea cuadrada infinita . ${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$
10. El colector se hizo pegando paredes opuestas de una chimenea cuadrada infinita con 1/2 giro en un par.

No orientable

Los 8 3 colectores no orientables son: ^[4]

1. El producto cartesiano de un círculo y una botella de Klein . ${\displaystyle S^{1}\times K}$
2. Un colector similar al antes mencionado, pero desplazado traslacionalmente en una dirección paralela al plano de deslizamiento ; moviéndose en esta dirección regresa al lado opuesto del colector.
3. La variedad se obtiene reflejando un punto a través de dos planos de deslizamiento perendiculares y trasladándose a lo largo de la tercera dirección.
4. Un colector similar al antes mencionado, pero desplazado traslacionalmente en una dirección paralela a un plano de deslizamiento; moviéndose en esta dirección regresa al lado opuesto del colector.
5. El producto cartesiano de un círculo y una franja de Möbius (ilimitada).
6. La variedad se obtiene trasladando un punto a lo largo de un eje y reflejándolo a través de un plano de deslizamiento perpendicular. ${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$
7. La variedad se obtiene trasladando un punto a lo largo de un eje y reflejándolo a través de un plano de deslizamiento paralelo.
8. La variedad se forma reflejando un punto a través de dos planos de deslizamiento perpendiculares.

Dimensiones superiores

• espacio euclidiano
• tori
• Productos de colectores planos.
• Cocientes de variedades planas por grupos que actúan libremente.

Relación con la amabilidad

Entre todas las variedades cerradas con curvatura seccional no positiva , las variedades planas se caracterizan precisamente por ser aquellas con un grupo fundamental adaptable .

Esto es una consecuencia del teorema de Adams- Ballmann (1998), ^[5] que establece esta caracterización en el escenario mucho más general de grupos discretos cocompactos de isometrías de espacios de Hadamard . Esto proporciona una generalización de gran alcance del teorema de Bieberbach .

El supuesto de discreción es esencial en el teorema de Adams-Ballmann: de lo contrario, la clasificación debe incluir espacios simétricos , edificios de Bruhat-Tits y árboles de Bass-Serre en vista del teorema "indiscreto" de Bieberbach de Caprace- Monod . ^[6]

Ver también

• Formas espaciales
• Grupos cristalográficos
• Colector plano Ricci
• Colector conformalmente plano
• variedad afín

Referencias

Notas

1. Peter Scott , Las geometrías de 3 variedades. (erratas), Toro. Matemáticas de Londres. Soc. 15 (1983), núm. 5, 401–487.
2. Miatello, RJ; Rossetti, JP (29 de octubre de 1999). "Múltiples isoespectrales de Hantzsche-Wendt". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1999 (515): 1–23. doi :10.1515/crll.1999.077. ISSN  1435-5345.
3. El universo primitivo y el fondo cósmico de microondas: teoría y observaciones . Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. 2003, págs. 166-169. ISBN 978-1-4020-1800-8.
4. Conway, JH; Rossetti, JP (24 de octubre de 2005). "Describiendo los platycosmos". arXiv : matemáticas/0311476 .
5. Adams, S.; Ballmann, W. (1998). "Grupos de isometría susceptibles de espacios de Hadamard". Matemáticas. Ana . 312 (1): 183–195. doi :10.1007/s002080050218. S2CID  15874907.
6. Caprace, PE; Monod, N. (2015). "Un teorema de Bieberbach indiscreto: de grupos CAT (0) dóciles a edificios de tetas". J. École Polytechnique . 2 : 333–383. arXiv : 1502.04583 . doi : 10.5802/jep.26 .

Bibliografía

• Bieberbach, L. (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi :10.1007/BF01564500, S2CID  124429194.

• Bieberbach, L. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich", Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi :10.1007/BF01456724, S2CID  119472023.

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial. vol. I (Reimpresión de la edición original de 1963), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., págs. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
• Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner.

• Vinberg, EB (2001) [1994], "Grupo cristalográfico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Colector plano". MundoMatemático .