Un grupo de papel tapiz (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional, basada en las simetrías del patrón. Dichos patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo , especialmente en textiles , azulejos y papel tapiz .
El grupo de papel tapiz más simple, el grupo p 1, se aplica cuando no hay simetría más allá de la simple traslación de un patrón en dos dimensiones. Los siguientes patrones tienen más formas de simetría, incluidas algunas simetrías rotacionales y reflexivas:
Los ejemplos A y B tienen el mismo grupo de papel tapiz; se denomina p4m en la notación IUCr y *442 en la notación orbifold . El ejemplo C tiene un grupo de papel tapiz diferente, llamado p4g o 4*2. El hecho de que A y B tengan el mismo grupo de papel tapiz significa que tienen las mismas simetrías, independientemente de los detalles superficiales de los diseños; mientras que C tiene un conjunto diferente de simetrías.
El número de grupos de simetría depende del número de dimensiones de los patrones. Los grupos de papel tapiz se aplican al caso bidimensional, de complejidad intermedia entre los grupos de frisos más simples y los grupos espaciales tridimensionales .
La primera prueba de que existen sólo 17 grupos distintos de tales simetrías planares fue realizada por Evgraf Fedorov en 1891 [1] y luego derivada independientemente por George Pólya en 1924. [2] La prueba de que la lista de grupos de papel tapiz está completa llegó sólo después de que se hubiera realizado el caso mucho más difícil de los grupos espaciales . Los diecisiete grupos de papel tapiz se enumeran a continuación; consulte § Los diecisiete grupos.
La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que parezca exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón se puede trasladar (en otras palabras, desplazar) una distancia finita y parecer inalterado. Pensemos en desplazar horizontalmente una franja de un conjunto de rayas verticales. El patrón no cambia. Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de, digamos, solo cinco rayas no tiene simetría traslacional: cuando se desplaza, la franja de un extremo "desaparece" y se "agrega" una nueva franja en el otro extremo. En la práctica, sin embargo, la clasificación se aplica a patrones finitos y se pueden ignorar las pequeñas imperfecciones.
Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclidiano . Por ejemplo:
Sin embargo, el ejemplo C es diferente . Solo tiene reflejos en direcciones horizontales y verticales, no a través de ejes diagonales. Si uno voltea a través de una línea diagonal, no se obtiene el mismo patrón de vuelta, sino el patrón original desplazado una cierta distancia. Esta es parte de la razón por la que el grupo de papel tapiz de A y B es diferente del grupo de papel tapiz de C.
Otra transformación es “Glide”, una combinación de reflexión y traslación paralela a la línea de reflexión.
Matemáticamente, un grupo de papel tapiz o grupo cristalográfico plano es un tipo de grupo topológicamente discreto de isometrías del plano euclidiano que contiene dos traslaciones linealmente independientes .
Dos de estos grupos de isometría son del mismo tipo (del mismo grupo de papel tapiz) si son iguales hasta una transformación afín del plano . Así, por ejemplo, una traslación del plano (y por lo tanto una traslación de los espejos y centros de rotación) no afecta al grupo de papel tapiz. Lo mismo se aplica para un cambio de ángulo entre vectores de traslación, siempre que no agregue ni elimine ninguna simetría (esto solo es el caso si no hay espejos ni reflexiones de deslizamiento , y la simetría rotacional es como máximo de orden 2).
A diferencia del caso tridimensional , se pueden restringir de forma equivalente las transformaciones afines a aquellas que preservan la orientación .
De la conjetura de Bieberbach se desprende que todos los grupos de papel pintado son diferentes, incluso como grupos abstractos (a diferencia de, por ejemplo, los grupos de frisos , de los cuales dos son isomorfos con Z ).
Los patrones 2D con doble simetría traslacional se pueden clasificar según su tipo de grupo de simetría .
Las isometrías del plano euclidiano se dividen en cuatro categorías (consulte el artículo Isometría del plano euclidiano para obtener más información).
La condición de traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R 2 ) tales que el grupo contiene tanto a T v como a T w .
El propósito de esta condición es distinguir los grupos de papel tapiz de los grupos de frisos , que poseen una traslación pero no dos linealmente independientes, y de los grupos puntuales discretos bidimensionales , que no tienen ninguna traslación. En otras palabras, los grupos de papel tapiz representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos de frisos, que solo se repiten a lo largo de un solo eje.
(Es posible generalizar esta situación. Se podrían, por ejemplo, estudiar grupos discretos de isometrías de R n con m traslaciones linealmente independientes, donde m es cualquier entero en el rango 0 ≤ m ≤ n .)
La condición de discreta significa que hay algún número real positivo ε, tal que para cada traslación T v en el grupo, el vector v tiene una longitud al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v sea el vector cero, pero la condición de traslaciones independientes lo impide, ya que cualquier conjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente por definición y, por lo tanto, no está permitido).
El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tenga un dominio fundamental compacto, o en otras palabras, una "celda" de área finita distinta de cero, que se repita a través del plano. Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traslación T x para cada número racional x , lo que no correspondería a ningún patrón de papel tapiz razonable.
Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traslaciones independientes es que el grupo solo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación en el grupo debe ser una rotación de 180°, 120°, 90° o 60°. Este hecho se conoce como teorema de restricción cristalográfica [3] y se puede generalizar a casos de dimensiones superiores.
La cristalografía tiene 230 grupos espaciales para distinguir, muchos más que los 17 grupos de papel tapiz, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por lo tanto, se puede utilizar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y la de Charles-Victor Mauguin . Un ejemplo de un nombre de papel tapiz completo en el estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUCr ) es p31m, con cuatro letras o dígitos; lo más habitual es un nombre abreviado como cmm o pg.
Para los grupos de papel tapiz, la notación completa comienza con p o c , para una celda primitiva o una celda centrada en la cara ; estas se explican a continuación. A esto le sigue un dígito, n , que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1-fold (ninguno), 2-fold, 3-fold, 4-fold o 6-fold. Los siguientes dos símbolos indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado "principal"; si hay un espejo perpendicular a un eje de traslación, ese es el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m , g o 1 , para espejo, reflexión deslizante o ninguno. El eje del espejo o reflexión deslizante es perpendicular al eje principal para la primera letra, y paralelo o inclinado 180°/ n (cuando n > 2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías implicadas por las dadas. La notación corta omite dígitos o una m que se pueda deducir, siempre y cuando eso no genere confusión con otro grupo.
Una celda primitiva es una región mínima repetida por traslaciones de red. Todos los grupos de simetría de papel tapiz, excepto dos, se describen con respecto a los ejes de la celda primitiva, una base de coordenadas que utiliza los vectores de traslación de la red. En los dos casos restantes, la descripción de la simetría se realiza con respecto a celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, tienen repetición interna; las direcciones de sus lados son diferentes de las de los vectores de traslación que abarcan una celda primitiva. La notación de Hermann-Mauguin para los grupos del espacio cristalino utiliza tipos de celdas adicionales.
Aquí están todos los nombres que se diferencian en notación corta y completa.
Los nombres restantes son p1 , p2 , p3 , p3m1 , p31m , p4 y p6 .
La notación orbifold para grupos de papel tapiz, propuesta por John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), no se basa en la cristalografía, sino en la topología. Se puede plegar el mosaico periódico infinito del plano en su esencia, un orbifold , y luego describirlo con unos pocos símbolos.
El grupo denotado en notación cristalográfica por cmm será, en la notación de Conway, 2*22 . El 2 antes del * indica que hay un centro de rotación doble sin espejo que lo atraviese. El * en sí mismo indica que hay un espejo. El primer 2 después del * indica que hay un centro de rotación doble en un espejo. El 2 final indica que hay un segundo centro de rotación doble independiente en un espejo, que no es un duplicado del primero bajo simetrías.
El grupo denotado por pgg será 22× . Hay dos centros de rotación puros de doble pliegue y un eje de reflexión de deslizamiento. Contraste esto con pmg, Conway 22* , donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero uno que está implícito en las otras simetrías del orbifold.
También se incluye la notación de corchetes de Coxeter , basada en grupos de Coxeter reflexivos , y modificada con superíndices más que tienen en cuenta rotaciones, rotaciones impropias y traslaciones.
Un orbifold puede verse como un polígono con cara, aristas y vértices que se puede desplegar para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que teselan la esfera , el plano o el plano hiperbólico . Cuando tesela el plano dará un grupo de papel tapiz y cuando tesela la esfera o el plano hiperbólico da un grupo de simetría esférico o un grupo de simetría hiperbólica . El tipo de espacio que teselan los polígonos se puede encontrar calculando la característica de Euler , χ = V − E + F , donde V es el número de esquinas (vértices), E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, entonces el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, entonces tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de papel tapiz; y si es negativa, tendrá una estructura hiperbólica. Cuando se enumera el conjunto completo de posibles orbifolds, se encuentra que solo 17 tienen característica de Euler 0.
Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser consistentes con la característica de Euler. Invirtiendo el proceso, se pueden asignar números a las características del orbifold, pero fracciones, en lugar de números enteros. Debido a que el orbifold en sí es un cociente de la superficie completa por el grupo de simetría, la característica de Euler del orbifold es un cociente de la característica de Euler de la superficie por el orden del grupo de simetría.
La característica de Euler orbifold es 2 menos la suma de los valores de las características, asignados de la siguiente manera:
Para un grupo de fondos de pantalla, la suma de las características debe ser cero; por lo tanto, la suma de las características debe ser 2.
Ahora la enumeración de todos los grupos de fondos de pantalla se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características con valores que suman 2.
Las cadenas de características con otras sumas no son una tontería; implican teselados no planares, que no se analizan aquí. (Cuando la característica de Euler orbifold es negativa, el teselado es hiperbólico ; cuando es positivo, esférico o malo ).
Para determinar qué grupo de papel pintado corresponde a un diseño determinado, se puede utilizar la siguiente tabla. [4]
Vea también este resumen con diagramas.
Cada uno de los grupos de esta sección tiene dos diagramas de estructura celular, que deben interpretarse de la siguiente manera (lo importante es la forma, no el color):
En los diagramas del lado derecho, las diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría están coloreadas (y rotadas) de manera diferente.
El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental , es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.
Los diagramas de la derecha muestran la celda de la red correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área mayor.
Las dos traducciones (lados de la celda) pueden tener longitudes diferentes y pueden formar cualquier ángulo.
(Los tres primeros tienen un eje de simetría vertical y los dos últimos tienen cada uno un eje diagonal diferente).
![Una de las coloraciones del mosaico cuadrado chato; las líneas de reflexión de deslizamiento están en la dirección superior izquierda / inferior derecha; ignorando los colores, hay mucha más simetría que solo pg, entonces es p4g (vea allí esta imagen con triángulos de colores iguales)[5]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Tile_33434.svg/1280px-Tile_33434.svg.png)
Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag el tapete es pmg; con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg.
Ignorando los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento es pgg.
La simetría rotacional de orden 2 con centros de rotación en los centros de los lados del rombo es una consecuencia de las otras propiedades.
El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:
Un patrón p 4 puede considerarse como una repetición en filas y columnas de piezas cuadradas iguales con simetría rotacional cuádruple. También puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez de dos de esas piezas, un factor √ 2 más pequeño y rotado 45°.
Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez de dos de esos cuadrados.
Ejemplos mostrados con las traducciones más pequeñas horizontales y verticales (como en el diagrama):
Ejemplos mostrados con la diagonal de traducción más pequeña:
Un patrón p 4 g puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una pieza cuadrada con simetría rotacional cuádruple y su imagen reflejada. Alternativamente, puede considerarse (desplazando la mitad de una pieza) como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una pieza simétrica horizontal y verticalmente y su versión rotada 90°. Nótese que ninguna de estas dos opciones se aplica a un patrón de tablero de ajedrez simple de piezas blancas y negras, este es el grupo p4m (con celdas de traslación diagonal).
Imaginemos una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en el que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, pero los dos no son iguales, ni imagen especular el uno del otro, ni ambos simétricos (si los dos son iguales es p 6 , si son imagen especular el uno del otro es p 31 m , si ambos son simétricos es p 3 m 1 ; si se aplican dos de los tres, entonces también se aplica el tercero, y es p 6 m ). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices, es decir, para cualquier teselación son posibles dos desplazamientos. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Equivalentemente, imaginemos una teselación del plano con hexágonos regulares, con lados iguales a la distancia de traslación más pequeña dividida por √ 3 . Entonces este grupo de papel tapiz corresponde al caso de que todos los hexágonos sean iguales (y en la misma orientación) y tengan simetría rotacional de orden tres, mientras que no tengan simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis es p 6 , si son simétricos con respecto a las diagonales principales es p 31 m , si son simétricos con respecto a las líneas perpendiculares a los lados es p 3 m 1 ; si se aplican dos de las tres, entonces la tercera también, es p 6 m ). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con un tercio de los centros de rotación como centros de los hexágonos. En términos de la imagen: los centros de los hexágonos pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Al igual que para p3 , imaginemos una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en el que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, y ambos son simétricos, pero los dos no son iguales, y no son la imagen especular del otro. Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Al igual que para p 3 y p 3 m 1 , imaginemos una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en el que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres y son la imagen especular del otro, pero no son simétricos entre sí, ni iguales. Para una imagen dada, solo es posible una teselación de este tipo. En términos de la imagen: los vértices deben ser los triángulos rojos, no los triángulos azules.
Un patrón con esta simetría puede considerarse como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría C3 , o equivalentemente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría C6 ( con los bordes de los mosaicos no necesariamente como parte del patrón).
Un patrón con esta simetría puede considerarse como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría D 3 , o equivalentemente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría D 6 (los bordes de los mosaicos no necesariamente forman parte del patrón). Por lo tanto, los ejemplos más simples son una red triangular con o sin líneas de conexión y un mosaico hexagonal con un color para delinear los hexágonos y otro para el fondo.
Existen cinco tipos de retículas o retículas de Bravais , correspondientes a los cinco grupos de papel tapiz posibles de la propia retícula. El grupo de papel tapiz de un patrón con esta retícula de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la propia retícula.
El grupo de simetría propiamente dicho debe distinguirse del grupo de papel tapiz. Los grupos de papel tapiz son conjuntos de grupos de simetría. Hay 17 conjuntos de estos grupos, pero para cada conjunto hay infinitos grupos de simetría, en el sentido de verdaderos grupos de isometrías. Estos dependen, además del grupo de papel tapiz, de una serie de parámetros para los vectores de traslación, la orientación y posición de los ejes de reflexión y los centros de rotación.
Los números de grados de libertad son:
Sin embargo, dentro de cada grupo de papel tapiz, todos los grupos de simetría son algebraicamente isomorfos.
Algunos isomorfismos de grupos de simetría:
Obsérvese que cuando una transformación disminuye la simetría, una transformación del mismo tipo (la inversa) obviamente aumenta la simetría para algunos patrones. Una propiedad tan especial de un patrón (por ejemplo, la expansión en una dirección produce un patrón con simetría cuádruple) no se considera una forma de simetría adicional.
El cambio de colores no afecta al grupo de fondos de pantalla si dos puntos que tienen el mismo color antes del cambio, también tienen el mismo color después del cambio, y dos puntos que tienen colores diferentes antes del cambio, también tienen colores diferentes después del cambio.
Si se aplica lo primero, pero no lo segundo, como al convertir una imagen en color a una en blanco y negro, entonces las simetrías se conservan, pero pueden aumentar, de modo que el grupo de fondos de pantalla puede cambiar.
Existen varias herramientas gráficas de software que le permitirán crear patrones 2D utilizando grupos de simetría de papel tapiz. Por lo general, puede editar el mosaico original y sus copias en todo el patrón se actualizan automáticamente.
