Colector Hantzsche-Wendt

Plano cerrado de 3 colectores

La variedad Hantzsche-Wendt , también conocida como variedad HW o didicosm , ^[1] es una variedad 3 plana , compacta y orientable , estudiada por primera vez por Walter Hantzsche y Hilmar Wendt en 1934. ^[2] Es la única variedad plana cerrada 3 -colector con el primer Betti número cero. Su grupo de holonomía es . ^[3] Se ha sugerido como una posible forma del universo porque su complicada geometría puede oscurecer las características del fondo cósmico de microondas que surgirían si el universo fuera una variedad plana cerrada , como el 3-toro . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$

Construcción

La variedad Hantzsche-Wendt está hecha de dos cubos apilados uno encima del otro pegando las caras marcadas idénticamente de modo que las marcas se alineen. ^[5]

El colector HW se puede construir a partir de dos cubos que comparten una cara. Una construcción procede de la siguiente manera: ^[5]

1. Las caras superior e inferior están pegadas entre sí.
2. Uno de los lados restantes se pega al lado opuesto con una rotación de 180°.
3. Una de las caras restantes del cubo superior está pegada a la cara correspondiente del cubo inferior, reflejada a través de un eje paralelo al eje largo del cubo doble.
4. Repita el paso 3 para el par de caras restantes.

Generalizaciones

Además de la orientable (la variedad Hantzsche-Wendt), hay dos variedades 3 planas no orientables con grupo holonómico , conocidas como primer y segundo anfidicosmos , ambas con el primer número 1 de Betti. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$

Se pueden construir variedades planas de n dimensiones similares con holonomía , conocidas como variedades de Hantzsche-Wendt generalizadas , para cualquier n ≥2, pero las orientables sólo existen en dimensiones impares. ^[1] El número de variedades HW orientables hasta el difeomorfismo aumenta exponencialmente con la dimensión. ^[3] Todos estos tienen el primer número de Betti β ₁ 0 o 1. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n-1}}$

Trivialidades

El didicosm tiene su mismo nombre y juega un papel central en el cuento de ciencia ficción " Didicosm " de Greg Egan .

Referencias

1. Rossetti, Juan P.; Szczepański, Andrzej (2005). "Variedades planas generalizadas de Hantzsche-Wendt". Revista Matemática Iberoamericana . 21 (3): 1053-1070. arXiv : matemáticas/0208205 . doi :10.4171/RMI/445. S2CID  8222899.
2. Hantzsche, Walter; Wendt, Hilmar (1935). "Dreidimensionale euklidische Raumformen". Annalen Matemáticas . 110 (1): 593–611. doi :10.1007/bf01448045. ISSN  0025-5831. S2CID  119961050.
3. Miatello, RJ; Rossetti, JP (29 de octubre de 1999). "Múltiples isoespectrales de Hantzsche-Wendt". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 1999 (515): 1–23. doi :10.1515/crll.1999.077. ISSN  1435-5345.
4. Aurich, R; Lustig, S (21 de agosto de 2014). "La variedad Hantzsche-Wendt en topología cósmica". Gravedad clásica y cuántica . 31 (16): 165009. arXiv : 1403.2190 . Código Bib : 2014CQGra..31p5009A. doi :10.1088/0264-9381/31/16/165009. ISSN  0264-9381. S2CID  119223504.
5. Demianski, Marek (2003). "Topología del universo y la radiación cósmica de fondo de microondas". En Sánchez, Norma; Parijskij, Yuri (eds.). El universo primitivo y el fondo cósmico de microondas: teoría y observaciones . Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. págs. 166-169. ISBN 978-1-4020-1800-8.