En matemáticas , un edificio (también llamado edificio Tits , en honor a Jacques Tits ) es una estructura combinatoria y geométrica que generaliza simultáneamente ciertos aspectos de las variedades de banderas , los planos proyectivos finitos y los espacios simétricos de Riemann . Los edificios fueron introducidos inicialmente por Jacques Tits como un medio para entender la estructura de los grupos algebraicos lineales reductivos isotrópicos sobre cuerpos arbitrarios. La teoría más especializada de los edificios de Bruhat-Tits (también llamados así en honor a François Bruhat ) desempeña un papel en el estudio de los grupos de Lie p -ádicos análogo al de la teoría de los espacios simétricos en la teoría de los grupos de Lie .
La noción de edificio fue inventada por Jacques Tits como un medio para describir grupos algebraicos simples sobre un cuerpo arbitrario . Tits demostró cómo a cada grupo G se le puede asociar un complejo simplicial Δ = Δ( G ) con una acción de G , llamada el edificio esférico de G . El grupo G impone condiciones de regularidad combinatoria muy fuertes sobre los complejos Δ que pueden surgir de esta manera. Al tratar estas condiciones como axiomas para una clase de complejos simpliciales, Tits llegó a su primera definición de edificio. Una parte de los datos que definen un edificio Δ es un grupo de Coxeter W , que determina un complejo simplicial altamente simétrico Σ = Σ( W , S ) , llamado el complejo de Coxeter . Un edificio Δ está pegado a partir de múltiples copias de Σ , llamadas sus apartamentos , de una cierta manera regular. Cuando W es un grupo de Coxeter finito, el complejo de Coxeter es una esfera topológica y se dice que los edificios correspondientes son de tipo esférico . Cuando W es un grupo de Weyl afín , el complejo de Coxeter es una subdivisión del plano afín y se habla de edificios afines o euclidianos . Un edificio afín de tipo à 1 es lo mismo que un árbol infinito sin vértices terminales.
Aunque la teoría de los grupos algebraicos semisimples proporcionó la motivación inicial para la noción de edificio, no todos los edificios surgen de un grupo. En particular, los planos proyectivos y los cuadrángulos generalizados forman dos clases de grafos estudiados en geometría de incidencia que satisfacen los axiomas de un edificio, pero que pueden no estar conectados con ningún grupo. Este fenómeno resulta estar relacionado con el bajo rango del sistema de Coxeter correspondiente (es decir, dos). Tits demostró un teorema notable: todos los edificios esféricos de rango al menos tres están conectados con un grupo; además, si un edificio de rango al menos dos está conectado con un grupo, entonces el grupo está esencialmente determinado por el edificio (Tits 1974).
Iwahori–Matsumoto, Borel–Tits y Bruhat–Tits demostraron que, en analogía con la construcción de edificios esféricos de Tits, los edificios afines también pueden construirse a partir de ciertos grupos, a saber, grupos algebraicos reductivos sobre un cuerpo local no arquimediano . Además, si el rango de división del grupo es al menos tres, está determinado esencialmente por su edificio. Tits luego reelaboró los aspectos fundamentales de la teoría de edificios utilizando la noción de un sistema de cámaras , codificando el edificio únicamente en términos de propiedades de adyacencia de símplices de dimensión máxima; esto conduce a simplificaciones tanto en casos esféricos como afines. Demostró que, en analogía con el caso esférico, cada edificio de tipo afín y rango al menos cuatro surge de un grupo.
Un edificio n -dimensional X es un complejo simplicial abstracto que es una unión de subcomplejos A llamados apartamentos tales que
Un n -símplex en A se llama cámara (originalmente chambre , es decir, habitación en francés ).
El rango del edificio se define como n + 1 .
Cada apartamento A en un edificio es un complejo de Coxeter . De hecho, por cada dos n -símplices que se intersecan en un ( n – 1) -símplice o panel , hay un único automorfismo simplicial de periodo dos de A , llamado reflexión , que lleva un n -símplice al otro y fija sus puntos comunes. Estas reflexiones generan un grupo de Coxeter W , llamado grupo de Weyl de A , y el complejo simplicial A corresponde a la realización geométrica estándar de W. Los generadores estándar del grupo de Coxeter están dados por las reflexiones en las paredes de una cámara fija en A. Dado que el apartamento A está determinado hasta el isomorfismo por el edificio, lo mismo es cierto para cualesquiera dos símplices en X que se encuentran en algún apartamento común A. Cuando W es finito, se dice que el edificio es esférico . Cuando es un grupo de Weyl afín , se dice que el edificio es afín o euclidiano .
El sistema de cámaras es el gráfico de adyacencia formado por las cámaras; cada par de cámaras adyacentes puede además ser etiquetado por uno de los generadores estándar del grupo Coxeter (ver Tits 1981).
Cada edificio tiene una métrica de longitud canónica heredada de la realización geométrica obtenida al identificar los vértices con una base ortonormal de un espacio de Hilbert . Para edificios afines, esta métrica satisface la desigualdad de comparación CAT(0) de Alexandrov , conocida en este contexto como la condición de curvatura no positiva de Bruhat-Tits para triángulos geodésicos: la distancia desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto no es mayor que la distancia en el triángulo euclidiano correspondiente con las mismas longitudes de lado (véase Bruhat & Tits 1972).
Si un grupo G actúa simplemente sobre un edificio X , transitivamente sobre pares ( C , A ) de habitaciones C y apartamentos A que las contienen, entonces los estabilizadores de tal par definen un par ( B , N ) o sistema Tits . De hecho, el par de subgrupos
satisface los axiomas de un par ( B , N ) y el grupo de Weyl puede identificarse con N / N ∩ B .
Por el contrario, el edificio se puede recuperar a partir del par ( B , N ) , de modo que cada par ( B , N ) define canónicamente un edificio. De hecho, utilizando la terminología de los pares ( B , N ) y llamando a cualquier conjugado de B un subgrupo de Borel y a cualquier grupo que contenga un subgrupo de Borel un subgrupo parabólico,
El mismo edificio puede describirse a menudo mediante diferentes pares ( B , N ) . Además, no todos los edificios provienen de un par ( B , N ) : esto corresponde a la falla de la clasificación que da como resultado un rango y una dimensión bajos (ver más abajo).
El teorema de Solomon-Tits es un resultado que establece que el tipo de homotopía de un edificio de un grupo de tipo Lie es el mismo que el de un ramo de esferas .
La estructura simplicial de los edificios afines y esféricos asociados a SL n ( Q p ) , así como sus interconexiones, son fáciles de explicar directamente usando sólo conceptos de álgebra y geometría elementales (véase Garrett 1997). En este caso hay tres edificios diferentes, dos esféricos y uno afín. Cada uno es una unión de apartamentos , ellos mismos complejos simpliciales. Para el edificio afín, un apartamento es un complejo simplicial que tesela el espacio euclidiano E n −1 por símplices de ( n − 1) -dimensionales; mientras que para un edificio esférico es el complejo simplicial finito formado por todos los ( n − 1)! símplices con un vértice común dado en la teselación análoga en E n −2 .
Cada edificio es un complejo simplicial X que debe satisfacer los siguientes axiomas:
Sea F un cuerpo y sea X el complejo simplicial con vértices los subespacios vectoriales no triviales de V = F n . Dos subespacios U 1 y U 2 son conexos si uno de ellos es un subconjunto del otro. Los k -símplices de X están formados por conjuntos de k + 1 subespacios mutuamente conexos. La conectividad máxima se obtiene tomando n − 1 subespacios no triviales propios y el ( n − 1) -símplice correspondiente corresponde a una bandera completa
Los símplices de menor dimensión corresponden a banderas parciales con menos subespacios intermedios U i .
Para definir los departamentos en X , es conveniente definir un marco en V como base ( v i ) determinada hasta multiplicación escalar de cada uno de sus vectores v i ; en otras palabras un marco es un conjunto de subespacios unidimensionales L i = F · v i tales que cualesquiera k de ellos generan un subespacio k -dimensional. Ahora un marco ordenado L 1 , ..., L n define una bandera completa mediante
Dado que las reordenaciones de los diversos L i también dan un marco, es fácil ver que los subespacios, obtenidos como sumas de los L i , forman un complejo simplicial del tipo requerido para un apartamento de un edificio esférico. Los axiomas para un edificio pueden verificarse fácilmente utilizando el argumento clásico de refinamiento de Schreier utilizado para demostrar la unicidad de la descomposición de Jordan-Hölder .
Sea K un cuerpo que se encuentra entre Q y su completitud p -ádica Q p con respecto a la norma p -ádica no arquimediana usual ‖ x ‖ p en Q para algún primo p . Sea R el subanillo de K definido por
Cuando K = Q , R es la localización de Z en p y, cuando K = Q p , R = Z p , los enteros p -ádicos , es decir, la clausura de Z en Q p .
Los vértices del edificio X son las R -redes en V = K n , es decir, R - submódulos de la forma
donde ( v i ) es una base de V sobre K . Se dice que dos redes son equivalentes si una es un múltiplo escalar de la otra por un elemento del grupo multiplicativo K * de K (de hecho, solo se necesitan usar potencias enteras de p ). Se dice que dos redes L 1 y L 2 son adyacentes si alguna red equivalente a L 2 se encuentra entre L 1 y su subred p · L 1 : esta relación es simétrica. Las k -símplices de X son clases de equivalencia de k + 1 redes mutuamente adyacentes. Las ( n − 1) -símplices corresponden, después del reetiquetado, a cadenas
donde cada cociente sucesivo tiene orden p . Los departamentos se definen fijando una base ( v i ) de V y tomando todas las redes con base ( p a i v i ) donde ( a i ) se encuentra en Z n y se determina de forma única hasta la adición del mismo entero a cada entrada.
Por definición, cada departamento tiene la forma requerida y su unión es el todo de X. El segundo axioma se desprende de una variante del argumento de refinamiento de Schreier. El último axioma se desprende de un argumento de conteo simple basado en los órdenes de grupos abelianos finitos de la forma
Un argumento de compacidad estándar muestra que X es, de hecho, independiente de la elección de K. En particular, tomando K = Q , se sigue que X es numerable. Por otra parte, tomando K = Q p , la definición muestra que GL n ( Q p ) admite una acción simplicial natural sobre el edificio.
El edificio viene equipado con un etiquetado de sus vértices con valores en Z / n Z . En efecto, fijando una red de referencia L , la etiqueta de M viene dada por
para k suficientemente grande. Los vértices de cualquier ( n – 1) -símplex en X tienen etiquetas distintas, que recorren todo Z / n Z . Cualquier automorfismo simplicial φ de X define una permutación π de Z / n Z tal que etiqueta( φ ( M )) = π (etiqueta( M )) . En particular para g en GL n ( Q p ) ,
Por lo tanto, g conserva las etiquetas si g se encuentra en SL n ( Q p ) .
Tits demostró que cualquier automorfismo que preserva las etiquetas del edificio afín surge de un elemento de SL n ( Q p ) . Dado que los automorfismos del edificio permutan las etiquetas, existe un homomorfismo natural
La acción de GL n ( Q p ) da lugar a un n -ciclo τ . Otros automorfismos del edificio surgen de automorfismos externos de SL n ( Q p ) asociados a automorfismos del diagrama de Dynkin . Tomando la forma bilineal simétrica estándar con base ortonormal v i , la función que envía una red a su red dual da un automorfismo cuyo cuadrado es la identidad, dando la permutación σ que envía cada etiqueta a su módulo negativo n . La imagen del homomorfismo anterior es generada por σ y τ y es isomorfa al grupo diedro D n de orden 2 n ; cuando n = 3 , da el total de S 3 .
Si E es una extensión finita de Galois de Q p y el edificio se construye a partir de SL n ( E ) en lugar de SL n ( Q p ) , el grupo de Galois Gal( E / Q p ) también actuará mediante automorfismos sobre el edificio.
Los edificios esféricos surgen de dos maneras bastante diferentes en relación con el edificio afín X para SL n ( Q p ) :
Cuando L es un cuerpo local arquimediano, entonces sobre el edificio para el grupo SL 2 ( L ) se puede imponer una estructura adicional de un edificio con multiplicación compleja. Estas fueron introducidas por primera vez por Martin L. Brown (Brown 2004). Estas construcciones surgen cuando una extensión cuadrática de L actúa sobre el espacio vectorial L 2 . Estas construcciones con multiplicación compleja se pueden extender a cualquier cuerpo global. Describen la acción de los operadores de Hecke sobre los puntos de Heegner en la curva modular clásica X 0 ( N ) así como en la curva modular de Drinfeld XBeber
0( I ) . Estos edificios con multiplicación compleja están completamente clasificados para el caso de SL 2 ( L ) en Brown 2004
Tits demostró que todos los edificios esféricos irreducibles (es decir, con grupo de Weyl finito ) de rango mayor que 2 están asociados a grupos algebraicos o clásicos simples.
Un resultado similar se aplica a los edificios afines irreducibles de dimensión mayor que 2 (sus edificios "en el infinito" son esféricos de rango mayor que dos). En un rango o dimensión inferior, no existe tal clasificación. De hecho, cada estructura de incidencia da un edificio esférico de rango 2 (véase Pott 1995); y Ballmann y Brin demostraron que todo complejo simplicial bidimensional en el que los vínculos de los vértices son isomorfos al complejo de banderas de un plano proyectivo finito tiene la estructura de un edificio, no necesariamente clásico. Muchos edificios afines bidimensionales se han construido utilizando grupos de reflexión hiperbólica u otras construcciones más exóticas conectadas con orbifolds .
Tits también demostró que cada vez que un edificio es descrito por un par ( B , N ) en un grupo, entonces en casi todos los casos los automorfismos del edificio corresponden a automorfismos del grupo (ver Tits 1974).
La teoría de edificios tiene importantes aplicaciones en varios campos bastante dispares. Además de las conexiones ya mencionadas con la estructura de grupos algebraicos reductivos sobre campos generales y locales, los edificios se utilizan para estudiar sus representaciones . Los resultados de Tits sobre la determinación de un grupo por su edificio tienen profundas conexiones con los teoremas de rigidez de George Mostow y Grigory Margulis , y con la aritmeticidad de Margulis.
En las matemáticas discretas se estudian tipos especiales de edificios, y la idea de un enfoque geométrico para caracterizar grupos simples resultó muy fructífera en la clasificación de grupos simples finitos . La teoría de edificios de tipo más general que el esférico o afín aún está relativamente poco desarrollada, pero estos edificios generalizados ya han encontrado aplicaciones para la construcción de grupos de Kac-Moody en álgebra, y para variedades de curvatura no positiva y grupos hiperbólicos en topología y teoría geométrica de grupos .