Suma de cuña

Una suma de cuña de dos círculos

En topología , la suma de cuña es una "unión de un punto" de una familia de espacios topológicos . Específicamente, si X e Y son espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos de base distinguidos y ), la suma de cuña de X e Y es el espacio cociente de la unión disjunta de X e Y mediante la identificación ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$

$${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

¿Dónde está el cierre de equivalencia de la relación? Más generalmente, supongamos que es una familia indexada de espacios puntiagudos con puntos base. La suma de la cuña de la familia viene dada por: ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$

$${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$

homogéneos ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

La suma de la cuña es nuevamente un espacio puntiagudo y la operación binaria es asociativa y conmutativa (hasta el homeomorfismo).

A veces, la suma de la cuña se denomina producto de la cuña , pero este no es el mismo concepto que el producto exterior , que también suele denominarse producto de la cuña.

Ejemplos

La suma de cuña de dos círculos es homeomorfa a un espacio en forma de ocho . La suma de cuña de círculos a menudo se llama ramo de círculos , mientras que un producto de cuña de esferas arbitrarias a menudo se llama ramo de esferas . ${\displaystyle n}$

Una construcción común en homotopía es identificar todos los puntos a lo largo del ecuador de una esfera . Al hacerlo, se obtienen dos copias de la esfera, unidas en el punto que era el ecuador: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$

$${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

Sea el mapa es decir, de identificar el ecuador hasta un solo punto. Entonces, la suma de dos elementos del grupo de homotopía dimensional de un espacio en el punto distinguido puede entenderse como la composición de y con : ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$ ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Psi }$

$${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

Aquí hay mapas que llevan un punto distinguido al punto. Tenga en cuenta que lo anterior utiliza la suma de cuña de dos funciones, lo cual es posible precisamente porque concuerdan en el punto común a la suma de cuña de los espacios subyacentes. ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ ${\displaystyle s_{0},}$

Descripción categórica

La suma de cuña puede entenderse como el coproducto en la categoría de espacios puntiagudos . Alternativamente, la suma de la cuña puede verse como la salida del diagrama en la categoría de espacios topológicos (donde está cualquier espacio de un punto). ${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Propiedades

El teorema de Van Kampen da ciertas condiciones (que generalmente se cumplen para espacios que se comportan bien , como los complejos CW ) bajo las cuales el grupo fundamental de la cuña suma de dos espacios y es el producto libre de los grupos fundamentales de y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Ver también

• Producto aplastante
• Pendiente hawaiano , un espacio topológico que se asemeja, pero no es igual, a una suma en cuña de un número contable de círculos

Referencias

• Rotman, José. Introducción a la topología algebraica , Springer, 2004, p. 153. ISBN  0-387-96678-1