complejo de coxeter

Complejo simple

En matemáticas, el complejo de Coxeter , llamado así por HSM Coxeter , es una estructura geométrica (un complejo simplicial ) asociada a un grupo de Coxeter . Los complejos de Coxeter son los objetos básicos que permiten la construcción de edificios ; Forman los apartamentos de un edificio.

Construcción

La representación lineal canónica

El primer ingrediente en la construcción del complejo de Coxeter asociado a un sistema Coxeter es una determinada representación de , llamada representación canónica de . ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Sea un sistema Coxeter con matriz Coxeter . La representación canónica viene dada por un espacio vectorial con base de símbolos formales , que está dotado de la forma bilineal simétrica . En particular, . La acción de on viene entonces dada por . ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle M=(m(s,t))_{s,t\in S}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (e_{s})_{s\in S}}$ ${\displaystyle B(e_{s},e_{t})=-\cos \left({\frac {\pi }{m(s,t)}}\right)}$ ${\displaystyle B(e_{s},e_{s})=1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s(v)=v-2B(e_{s},v)e_{s}}$

Esta representación tiene varias propiedades fundamentales en la teoría de los grupos de Coxeter; por ejemplo, es positivo definido si y sólo si es finito. Es una fiel representación de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Cámaras y el cono de tetas

Esta representación se describe como un grupo de reflexión , con la salvedad de que podría no ser positiva definitiva. Se vuelve importante entonces distinguir la representación de su dualidad . Los vectores se encuentran en y tienen vectores duales correspondientes en dado por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle e_{s}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{s}^{\vee }}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \langle e_{s}^{\vee },v\rangle =2B(e_{s},v),}$

donde los corchetes angulares indican el emparejamiento natural entre y . ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

Ahora actúa y la acción está dada por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle s(f)=f-\langle f,e_{s}\rangle e_{s}^{\vee },}$

para y cualquiera . Entonces hay un reflejo en el hiperplano . Uno tiene la cámara fundamental ; este tiene frentes a los llamados muros, . Las otras cámaras se pueden obtener mediante traducción: son las para . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H_{s}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle =0\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle >0\ \forall s\in S\}}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle w{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle w\in W}$

El cono de tetas es . Esto no tiene por qué ser todo . De gran importancia es el hecho de que es convexo. El cierre de es un dominio fundamental para la acción de on . ${\displaystyle X=\bigcup _{w\in W}w{\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$

El complejo de Coxeter

El complejo de Coxeter con respecto a es , donde es el grupo multiplicativo de reales positivos. ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma (W,S)=(X\setminus \{0\})/\mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Ejemplos

Grupos diédricos finitos

Los grupos diédricos (de orden 2 n ) son grupos de Coxeter, del tipo correspondiente . Estos tienen la presentación . ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$ ${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2},(st)^{n}\right\rangle \right.}$

La representación lineal canónica de es la representación de reflexión habitual del grupo diédrico, actuando sobre un -gón en el plano ( en este caso). Por ejemplo, en el caso obtenemos el grupo de Coxeter de tipo , que actúa sobre un triángulo equilátero en el plano. Cada reflexión tiene un hiperplano asociado en el espacio vectorial dual (que puede identificarse canónicamente con el espacio vectorial mismo usando la forma bilineal , que es un producto interno en este caso como se comentó anteriormente); estas son las paredes. Cortaron cámaras, como se ve a continuación: ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(3)=\mathrm {A} _{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle B}$

El complejo de Coxeter es entonces el -gón correspondiente, como en la imagen de arriba. Este es un complejo simple de dimensión 1 y se puede colorear por cotipo. ${\displaystyle 2n}$

El grupo diédrico infinito

Otro ejemplo motivador es el grupo diédrico infinito . Este puede verse como el grupo de simetrías de la recta real que conserva el conjunto de puntos con coordenadas enteras; es generado por las reflexiones en y . Este grupo tiene la presentación de Coxeter . ${\displaystyle D_{\infty }}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x={1 \over 2}}$ ${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2}\right\rangle \right.}$

En este caso, ya no es posible identificarse con su espacio dual , como está degenerado. Entonces es mejor trabajar únicamente con , que es donde se definen los hiperplanos. Esto da entonces la siguiente imagen: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$

En este caso, el cono de Tetas no es todo el plano, sino sólo el medio plano superior. Tomando el cociente por los reales positivos se obtiene otra copia de la recta real, con puntos marcados en los números enteros. Este es el complejo de Coxeter del grupo diédrico infinito.

Construcción alternativa del complejo Coxeter.

Otra descripción del complejo Coxeter utiliza clases laterales estándar del grupo Coxeter . Una clase lateral estándar es una clase lateral de la forma , donde para algún subconjunto adecuado de . Por ejemplo, y . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wW_{J}}$ ${\displaystyle W_{J}=\langle J\rangle }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W_{S}=W}$ ${\displaystyle W_{\emptyset }=\{1\}}$

El complejo de Coxeter es entonces el conjunto de clases laterales estándar, ordenado por inclusión inversa. Tiene una estructura canónica de complejo simplicial, al igual que todos los posets que satisfacen: ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$

• Dos elementos cualesquiera tienen un límite inferior máximo.
• El conjunto de elementos menores o iguales a cualquier elemento dado es isomorfo al conjunto de subconjuntos de para algún número entero  n . ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$

Propiedades

El complejo de Coxeter asociado a tiene dimensión . Es homeomorfo a una esfera si W es finito y es contráctil si W es infinito. ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle |S|-1}$ ${\displaystyle (|S|-1)}$

Cada apartamento de un edificio esférico de Boobs es un complejo de Coxeter. ^[1]

Ver también

• Edificios
• grupo weyl
• Sistema raíz

Referencias

1. https://dept.math.lsa.umich.edu/~lji/building-curve-complex-handbook.pdf pág. 8, definición 2.5

Fuentes

• Peter Abramenko y Kenneth S. Brown , Edificios, teoría y aplicaciones . Saltador, 2008.