Función de distancia de Weyl

En geometría combinatoria , la función de distancia de Weyl es una función que se comporta en cierto modo como la función de distancia de un espacio métrico , pero en lugar de tomar valores en los números reales positivos, toma valores en un grupo de reflexiones , llamado grupo de Weyl ( llamado así por Hermann Weyl ). Esta función de distancia se define sobre el conjunto de cámaras en una estructura matemática conocida como edificio , y su valor sobre un par de cámaras una secuencia mínima de reflexiones (en el grupo de Weyl) para ir de una cámara a la otra. Una secuencia adyacente de cámaras en un edificio se conoce como galería, por lo que la función de distancia de Weyl es una forma de codificar la información de una galería mínima entre dos cámaras. En particular, el número de reflexiones que van de una cámara a otra coincide con la longitud de la galería mínima entre las dos cámaras, y así da una métrica natural (la métrica de la galería) del edificio. Según Abramenko y Brown (2008), la función de distancia de Weyl es algo así como un vector geométrico : codifica tanto la magnitud (distancia) entre dos cámaras de un edificio, como la dirección entre ellas.

Definiciones

Registramos aquí definiciones de Abramenko y Brown (2008). Sea Σ( W , S ) el complejo de Coxeter asociado a un grupo W generado por un conjunto de reflexiones S . Los vértices de Σ( W , S ) son los elementos de W , y las cámaras del complejo son las clases laterales de S en W . Los vértices de cada cámara pueden ser coloreados de manera uno a uno por los elementos de S de modo que ningún vértice adyacente del complejo reciba el mismo color. Este colorido, aunque esencialmente canónico, no es del todo único. La coloración de una cámara determinada no está determinada únicamente por su realización como una clase lateral de S. Pero una vez que se ha fijado el color de una sola cámara, el resto del complejo de Coxeter tiene un color único. Arregle tal coloración del complejo.

Una galería es una secuencia de cámaras adyacentes.

${\displaystyle C_{0},C_{1},\dots ,C_{n}.}$

Debido a que estas cámaras son adyacentes, cualquier par consecutivo de cámaras comparte todos los vértices menos uno. Denota el color de este vértice por . La función de distancia de Weyl entre y está definida por ${\displaystyle C_{i-1},C_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}.}$

Se puede demostrar que esto no depende de la elección de la galería que conecta y . ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Ahora bien, un edificio es un complejo simple que se organiza en apartamentos, cada uno de los cuales es un complejo de Coxeter (que satisface algunos axiomas de coherencia). Los edificios se pueden colorear, ya que los complejos de Coxeter que los componen son colorables. La coloración de un edificio está asociada a una elección uniforme del grupo Weyl para los complejos de Coxeter que lo componen, lo que permite considerarlo como una colección de palabras sobre el conjunto de colores con relaciones. Ahora, si hay una galería en un edificio, entonces defina la distancia de Weyl entre y por ${\displaystyle C_{0},\dots ,C_{n}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$

donde son como arriba. Como en el caso de los complejos de Coxeter, esto no depende de la elección de la galería que conecta las cámaras y . ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

La distancia de la galería se define como la longitud mínima de palabra necesaria para expresarse en el grupo Weyl. Simbólicamente, . ${\displaystyle d(C_{0},C_{n})}$ ${\displaystyle \delta (C_{0},C_{n})}$ ${\displaystyle d(C_{0},C_{n})=\ell (\delta (C_{0},C_{n}))}$

Propiedades

La función de distancia de Weyl satisface varias propiedades que son paralelas a las de las funciones de distancia en espacios métricos:

• ${\displaystyle \delta (C,D)=1}$si y solo si (el elemento del grupo 1 corresponde a la palabra vacía en S ). Esto corresponde a la propiedad si y sólo si de la métrica de la galería (Abramenko & Brown 2008, p. 199): ${\displaystyle C=D}$ ${\displaystyle d(C,D)=0}$ ${\displaystyle C=D}$
• ${\displaystyle \delta (C,D)=\delta (D,C)^{-1}}$(la inversión corresponde a la inversión de palabras del alfabeto S ). Esto corresponde a la simetría de la métrica de la galería. ${\displaystyle d(C,D)=d(D,C)}$
• Si y , entonces es w o sw . Es más, si , entonces . Esto corresponde a la desigualdad del triángulo. ${\displaystyle \delta (C',C)=s\in S}$ ${\displaystyle \delta (C,D)=w}$ ${\displaystyle \delta (C',D)}$ ${\displaystyle \ell (sw)=\ell (w)+1}$ ${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$

Caracterización abstracta de edificios.

Además de las propiedades enumeradas anteriormente, la función de distancia de Weyl satisface la siguiente propiedad:

• Si , entonces para cualquiera hay una cámara , tal que y . ${\displaystyle \delta (C,D)=w}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle \delta (C',C)=s}$ ${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$

De hecho, esta propiedad junto con las dos enumeradas en la sección "Propiedades" proporciona una caracterización "métrica" ​​abstracta de los edificios, como sigue. Supongamos que ( W , S ) es un sistema de Coxeter que consta de un grupo de Weyl W generado por reflexiones que pertenecen al subconjunto S. Un edificio de tipo ( W , S ) es un par formado por un conjunto C de cámaras y una función:

${\displaystyle \delta :C\times C\to W}$

tal que se cumplan las tres propiedades enumeradas anteriormente. Entonces C lleva la estructura canónica de un edificio, en la que δ es la función de distancia de Weyl.

Referencias

• Abramenko, P.; Brown, K. (2008), Edificios: teoría y aplicaciones , Springer

enlaces externos

• Mike Davis, Cohomología de grupos y edificios de Coxeter, MSRI 2007.