En matemáticas , en topología general , la compactificación es el proceso o resultado de convertir un espacio topológico en un espacio compacto . [1] Un espacio compacto es un espacio en el que cada cubierta abierta del espacio contiene una subcubierta finita. Los métodos de compactificación son varios, pero cada uno es una forma de controlar que los puntos "se vayan al infinito" agregando de alguna manera "puntos en el infinito" o evitando tal "escape".
Consideremos la línea real con su topología ordinaria. Este espacio no es compacto; en cierto sentido, los puntos pueden ir al infinito hacia la izquierda o hacia la derecha. Es posible convertir la línea real en un espacio compacto añadiendo un único "punto en el infinito" que denotaremos por ∞. La compactificación resultante es homeomorfa a un círculo en el plano (que, como subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano, es compacto). Toda sucesión que se extienda al infinito en la línea real convergerá entonces a ∞ en esta compactificación. La dirección en la que un número se aproxima al infinito en la línea numérica (ya sea en la dirección - o en la dirección +) todavía se conserva en el círculo; porque si un número se aproxima al infinito desde la dirección - en la línea numérica, entonces el punto correspondiente en el círculo puede aproximarse a ∞ desde la izquierda, por ejemplo. Entonces, si un número se aproxima al infinito desde la dirección + en la línea numérica, entonces el punto correspondiente en el círculo puede aproximarse a ∞ desde la derecha.
Intuitivamente, el proceso puede representarse de la siguiente manera: primero se reduce la línea real al intervalo abierto (− π , π ) en el eje x ; luego se doblan los extremos de este intervalo hacia arriba (en la dirección y positiva ) y se acercan entre sí, hasta que se obtiene un círculo al que le falta un punto (el superior). Este punto es nuestro nuevo punto ∞ "en el infinito"; al añadirlo se completa el círculo compacto.
Un poco más formalmente: representamos un punto en el círculo unitario por su ángulo , en radianes , que va de − π a π para simplificar. Identifica cada uno de esos puntos θ en el círculo con el punto correspondiente en la línea real tan ( θ /2). Esta función no está definida en el punto π , ya que tan( π /2) no está definido; identificaremos este punto con nuestro punto ∞.
Como las tangentes y las tangentes inversas son ambas continuas, nuestra función de identificación es un homeomorfismo entre la recta real y el círculo unitario sin ∞. Lo que hemos construido se llama compactificación de un punto de Alexandroff de la recta real, que se analiza de forma más general a continuación. También es posible compactificar la recta real añadiendo dos puntos, +∞ y −∞; esto da como resultado la recta real extendida .
Una incrustación de un espacio topológico X como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactificación de X. A menudo es útil incrustar espacios topológicos en espacios compactos , debido a las propiedades especiales que tienen los espacios compactos.
Las incrustaciones en espacios compactos de Hausdorff pueden ser de particular interés. Dado que todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio de Tichonoff , y todo subespacio de un espacio de Tichonoff es de Tichonoff, concluimos que cualquier espacio que posea una compactificación de Hausdorff debe ser un espacio de Tichonoff. De hecho, lo inverso también es cierto; ser un espacio de Tichonoff es necesario y suficiente para poseer una compactificación de Hausdorff.
El hecho de que clases grandes e interesantes de espacios no compactos de hecho tengan compactificaciones de tipos particulares hace que la compactificación sea una técnica común en topología.
Para cualquier espacio topológico no compacto X, la compactificación de un punto ( de Alexandroff ) α X de X se obtiene añadiendo un punto extra ∞ (a menudo llamado punto en el infinito ) y definiendo los conjuntos abiertos del nuevo espacio como los conjuntos abiertos de X junto con los conjuntos de la forma G ∪ {∞}, donde G es un subconjunto abierto de X tal que es cerrado y compacto. La compactificación de un punto de X es de Hausdorff si y solo si X es de Hausdorff y localmente compacto . [2]
De particular interés son las compactificaciones de Hausdorff, es decir, compactificaciones en las que el espacio compacto es Hausdorff . Un espacio topológico tiene una compactificación de Hausdorff si y solo si es Tichonoff . En este caso, hay una compactificación de Hausdorff única ( salvo el homeomorfismo ) "más general", la compactificación de Stone–Čech de X , denotada por βX ; formalmente, esto exhibe la categoría de espacios de Hausdorff compactos y aplicaciones continuas como una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios de Tichonoff y aplicaciones continuas.
"El más general" o formalmente "reflexivo" significa que el espacio βX se caracteriza por la propiedad universal de que cualquier función continua desde X hasta un espacio de Hausdorff compacto K puede extenderse a una función continua desde βX hasta K de una manera única. Más explícitamente, βX es un espacio de Hausdorff compacto que contiene a X tal que la topología inducida en X por βX es la misma que la topología dada en X , y para cualquier función continua f : X → K , donde K es un espacio de Hausdorff compacto, hay una función continua única g : βX → K para la cual g restringida a X es idénticamente f .
La compactificación de Stone–Čech se puede construir explícitamente de la siguiente manera: sea C el conjunto de funciones continuas desde X hasta el intervalo cerrado [0, 1] . Entonces cada punto en X se puede identificar con una función de evaluación en C . Por lo tanto, X se puede identificar con un subconjunto de [0, 1] C , el espacio de todas las funciones desde C hasta [0, 1] . Como este último es compacto por el teorema de Tichonoff , la clausura de X como un subconjunto de ese espacio también será compacta. Esta es la compactificación de Stone–Čech. [3] [4]
Walter Benz e Isaak Yaglom han demostrado cómo se puede utilizar la proyección estereográfica sobre un hiperboloide de una sola hoja para proporcionar una compactificación para números complejos divididos . De hecho, el hiperboloide es parte de una cuádrica en un espacio proyectivo real. El método es similar al utilizado para proporcionar una variedad base para la acción grupal del grupo conforme del espacio-tiempo . [5]
El espacio proyectivo real RP n es una compactificación del espacio euclidiano R n . Para cada "dirección" posible en la que los puntos en R n pueden "escapar", se añade un nuevo punto en el infinito (pero cada dirección se identifica con su opuesta). La compactificación de un punto de Alexandroff de R que construimos en el ejemplo anterior es, de hecho, homeomorfa a RP 1 . Nótese, sin embargo, que el plano proyectivo RP 2 no es la compactificación de un punto del plano R 2 ya que se añade más de un punto.
El espacio proyectivo complejo CP n es también una compactificación de C n ; la compactificación de un punto de Alexandroff del plano C es (homeomorfa a) la línea proyectiva compleja CP 1 , que a su vez puede identificarse con una esfera, la esfera de Riemann .
Pasar al espacio proyectivo es una herramienta común en geometría algebraica porque los puntos agregados en el infinito conducen a formulaciones más simples de muchos teoremas. Por ejemplo, dos líneas diferentes cualesquiera en RP 2 se intersecan precisamente en un punto, una afirmación que no es cierta en R 2 . De manera más general, el teorema de Bézout , que es fundamental en la teoría de intersecciones , se cumple en el espacio proyectivo pero no en el espacio afín. Este comportamiento distinto de las intersecciones en el espacio afín y el espacio proyectivo se refleja en la topología algebraica en los anillos de cohomología : la cohomología del espacio afín es trivial, mientras que la cohomología del espacio proyectivo no es trivial y refleja las características clave de la teoría de intersecciones (dimensión y grado de una subvariedad, siendo la intersección un dual de Poincaré del producto de copa ).
La compactificación de espacios de módulos generalmente requiere permitir ciertas degeneraciones (por ejemplo, permitir ciertas singularidades o variedades reducibles). Esto se utiliza en particular en la compactificación de Deligne-Mumford del espacio de módulos de curvas algebraicas .
En el estudio de subgrupos discretos de grupos de Lie , el espacio cociente de clases laterales es a menudo un candidato para una compactificación más sutil para preservar la estructura a un nivel más rico que el meramente topológico.
Por ejemplo, las curvas modulares se compactifican mediante la adición de puntos individuales para cada cúspide , lo que las convierte en superficies de Riemann (y, por lo tanto, dado que son compactas, curvas algebraicas ). Aquí las cúspides están allí por una buena razón: las curvas parametrizan un espacio de retículos , y esos retículos pueden degenerar ('irse al infinito'), a menudo de varias maneras (teniendo en cuenta alguna estructura auxiliar de nivel ). Las cúspides representan esas diferentes 'direcciones al infinito'.
Eso es todo para las redes en el plano. En el espacio euclidiano de n dimensiones se pueden plantear las mismas preguntas, por ejemplo, sobre Esto es más difícil de compactificar. Hay una variedad de compactificaciones, como la compactificación de Borel-Serre, la compactificación de Borel-Serre reductiva y las compactificaciones de Satake, que se pueden formar.
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