Espacio de Tichonoff

Tipo de espacio regular de Hausdorff

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Tichonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación . Un espacio de Tichonoff es cualquier espacio completamente regular que también es un espacio de Hausdorff ; existen espacios completamente regulares que no son de Tichonoff (es decir, no son de Hausdorff).

Paul Urysohn había utilizado la noción de espacio completamente regular en un artículo de 1925 ^[1] sin darle un nombre. Pero fue Andrey Tychonoff quien introdujo el término completamente regular en 1930. ^[2]

Definiciones

Separación de un punto de un conjunto cerrado mediante una función continua.

Un espacio topológico se denomina completamente regular si los puntos se pueden separar de los conjuntos cerrados mediante funciones continuas de valores reales (acotadas). En términos técnicos, esto significa: para cualquier conjunto cerrado y cualquier punto existe una función continua de valores reales tal que y (equivalentemente, se pueden elegir dos valores cualesquiera en lugar de y e incluso exigir que sea una función acotada). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle f\vert _{A}=0.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f}$

Un espacio topológico se denomina espacio de Tichonoff (alternativamente: espacio T _3½ , o espacio T _π , o espacio completamente T ₃ ) si es un espacio de Hausdorff completamente regular .

Observación. Los espacios completamente regulares y los espacios de Tichonoff están relacionados a través de la noción de equivalencia de Kolmogorov . Un espacio topológico es de Tichonoff si y solo si es completamente regular y T 0 . Por otra parte, un espacio es completamente regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es de Tichonoff.

Convenciones de nombres

En la literatura matemática se aplican diferentes convenciones cuando se trata del término "completamente regular" y los axiomas "T". Las definiciones de esta sección se encuentran en el uso típico moderno. Sin embargo, algunos autores intercambian los significados de los dos tipos de términos o usan todos los términos indistintamente. En Wikipedia, los términos "completamente regular" y "Tychonoff" se usan libremente y generalmente se evita la notación "T". Por lo tanto, en la literatura estándar se recomienda tener cuidado para averiguar qué definiciones está usando el autor. Para más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .

Ejemplos

Casi todos los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son de Tichonoff, o al menos completamente regulares. Por ejemplo, la línea real es de Tichonoff según la topología euclidiana estándar . Otros ejemplos incluyen:

• Todo espacio métrico es de Tichonoff; todo espacio pseudométrico es completamente regular.
• Todo espacio regular localmente compacto es completamente regular y, por lo tanto, todo espacio de Hausdorff localmente compacto es de Tichonoff.
• En particular, toda variedad topológica es de Tichonoff.
• Todo conjunto totalmente ordenado con topología de orden es Tichonoff.
• Cada grupo topológico es completamente regular.
• Todo espacio pseudometrizable es completamente regular, pero no el de Tichonoff si el espacio no es de Hausdorff.
• Todo espacio seminormado es completamente regular (tanto porque es pseudometrizable como porque es un espacio vectorial topológico , por tanto un grupo topológico). Pero no será de Tichonoff si la seminorma no es una norma.
• Generalizando tanto los espacios métricos como los grupos topológicos, todo espacio uniforme es completamente regular. La inversa también es cierta: todo espacio completamente regular es uniformizable.
• Cada complejo CW es Tychonoff.
• Todo espacio regular normal es completamente regular, y todo espacio normal de Hausdorff es de Tichonoff.
• El plano de Niemytzki es un ejemplo de un espacio de Tichonoff que no es normal .

Existen espacios regulares de Hausdorff que no son completamente regulares, pero estos ejemplos son complicados de construir. Uno de ellos es el llamado sacacorchos de Tichonoff , ^{[3] [4]} que contiene dos puntos tales que cualquier función continua de valor real en el espacio tiene el mismo valor en estos dos puntos. Una construcción aún más complicada comienza con el sacacorchos de Tichonoff y construye un espacio regular de Hausdorff llamado sacacorchos condensado de Hewitt , ^{[5] [6]} que no es completamente regular en un sentido más fuerte, es decir, toda función continua de valor real en el espacio es constante.

Propiedades

Preservación

La regularidad completa y la propiedad de Tichonoff se comportan bien con respecto a las topologías iniciales . En concreto, la regularidad completa se conserva al tomar topologías iniciales arbitrarias y la propiedad de Tichonoff se conserva al tomar topologías iniciales que separan puntos. De ello se deduce que:

• Cada subespacio de un espacio completamente regular o de Tichonoff tiene la misma propiedad.
• Un espacio de producto no vacío es completamente regular (respectivamente, Tychonoff) si y solo si cada espacio de factores es completamente regular (respectivamente, Tychonoff).

Como todos los axiomas de separación, la regularidad completa no se conserva al tomar topologías finales . En particular, los cocientes de espacios completamente regulares no necesitan ser regulares . Los cocientes de espacios de Tichonoff ni siquiera necesitan ser Hausdorff , siendo un contraejemplo elemental la línea con dos orígenes . Hay cocientes cerrados del plano de Moore que proporcionan contraejemplos.

Funciones continuas de valor real

Para cualquier espacio topológico, sea la familia de funciones continuas de valores reales en y sea el subconjunto de funciones continuas de valores reales acotadas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$

Los espacios completamente regulares se pueden caracterizar por el hecho de que su topología está completamente determinada por o En particular: ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$

• Un espacio es completamente regular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X).}$
• Un espacio es completamente regular si y sólo si cada conjunto cerrado puede escribirse como la intersección de una familia de conjuntos cero en (es decir, los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio es completamente regular si y sólo si los conjuntos co-cero de forman una base para la topología de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Dado un espacio topológico arbitrario existe una forma universal de asociar un espacio completamente regular con Sea ρ la topología inicial en inducida por o, equivalentemente, la topología generada por la base de conjuntos cocero en Entonces ρ será la topología completamente regular más fina en que es más burda que Esta construcción es universal en el sentido de que cualquier función continua a un espacio completamente regular será continua en En el lenguaje de la teoría de categorías , el funtor que envía a es adjunto izquierdo al funtor de inclusión CReg → Top . Por lo tanto, la categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflexiva de Top , la categoría de espacios topológicos . Tomando los cocientes de Kolmogorov , se ve que la subcategoría de espacios de Tichonoff también es reflexiva. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\tau }(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ $${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\rho ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$

Se puede demostrar que en la construcción anterior los anillos y normalmente sólo se estudian para espacios completamente regulares. ${\displaystyle C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

La categoría de espacios de Tichonoff realcompactos es antiequivalente a la categoría de los anillos (donde es realcompacto) junto con los homomorfismos de anillos como aplicaciones. Por ejemplo, se puede reconstruir a partir de cuando es (real) compacto. La teoría algebraica de estos anillos es, por tanto, objeto de estudios intensivos. Una amplia generalización de esta clase de anillos que todavía se asemeja a muchas propiedades de los espacios de Tichonoff, pero que también es aplicable en geometría algebraica real , es la clase de anillos reales cerrados . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

Incrustaciones

Los espacios de Tichonoff son precisamente aquellos espacios que pueden ser incluidos en espacios compactos de Hausdorff . Más precisamente, para cada espacio de Tichonoff existe un espacio compacto de Hausdorff tal que es homeomorfo a un subespacio de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K.}$

De hecho, siempre se puede elegir que sea un cubo de Tichonoff (es decir, un producto posiblemente infinito de intervalos unitarios ). Todo cubo de Tichonoff es un Hausdorff compacto como consecuencia del teorema de Tichonoff . Como todo subespacio de un espacio de Hausdorff compacto es de Tichonoff, se tiene: ${\displaystyle K}$

Un espacio topológico es de Tichonoff si y sólo si puede ser incluido en un cubo de Tichonoff .

Compactificaciones

De particular interés son aquellas incrustaciones donde la imagen de es densa en estas se llaman compactificaciones de Hausdorff de Dada cualquier incrustación de un espacio de Tychonoff en un espacio compacto de Hausdorff, el cierre de la imagen de en es una compactificación de En el mismo artículo de 1930 ^[2] donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio de Tychonoff tiene una compactificación de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

Entre esas compactificaciones de Hausdorff, hay una única "más general", la compactificación de Stone-Čech. Se caracteriza por la propiedad universal de que, dada una función continua de a cualquier otro espacio compacto de Hausdorff, existe una única función continua que se extiende en el sentido de que es la composición de y ${\displaystyle \beta X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle g:\beta X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle j.}$

Estructuras uniformes

La regularidad completa es precisamente la condición necesaria para la existencia de estructuras uniformes en un espacio topológico. En otras palabras, todo espacio uniforme tiene una topología completamente regular y todo espacio completamente regular es uniformizable . Un espacio topológico admite una estructura uniforme separada si y sólo si es de Tichonoff. ${\displaystyle X}$

Dado un espacio completamente regular, normalmente hay más de una uniformidad en que es compatible con la topología de Sin embargo, siempre habrá una uniformidad compatible más fina, llamada uniformidad fina en Si es Tychonoff, entonces la estructura uniforme puede elegirse de modo que se convierta en la compleción del espacio uniforme ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta X}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Compactación de Stone-Čech  : concepto en topología

Citas

1. Urysohn, Paul (1925). "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen". Annalen Matemáticas . 94 (1): 262–295. doi :10.1007/BF01208659.Véase las páginas 291 y 292.
2. Tychonoff, A. (1930). "Über die topologische Erweiterung von Räumen". Annalen Matemáticas . 102 (1): 544–561. doi :10.1007/BF01782364.
3. Willard 1970, Problema 18G.
4. Steen y Seebach 1995, Ejemplo 90.
5. Steen y Seebach 1995, Ejemplo 92.
6. Hewitt, Edwin (1946). "Sobre dos problemas de Urysohn". Anales de Matemáticas . 47 (3): 503–509. doi :10.2307/1969089.

Bibliografía

• Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer (1960). Anillos de funciones continuas. Textos de posgrado en matemáticas, n.º 43 (edición reimpresa de Dover). Nueva York: Springer-Verlag. pág. xiii. ISBN 978-048681688-3.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general (edición reimpresa de Dover). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.