Curvatura seccional

En geometría de Riemann , la curvatura seccional es una de las formas de describir la curvatura de las variedades de Riemann . La curvatura seccional K (σ _p ) depende de un subespacio lineal bidimensional σ _p del espacio tangente en un punto p de la variedad. Puede definirse geométricamente como la curvatura gaussiana de la superficie que tiene el plano σ _p como plano tangente en p , obtenida a partir de geodésicas que comienzan en p en las direcciones de σ _p (en otras palabras, la imagen de σ _p bajo la función exponencial en p ). La curvatura seccional es una función de valor real en el fibrado de Grassmann 2 sobre la variedad.

La curvatura seccional determina completamente el tensor de curvatura .

Definición

Dada una variedad de Riemann y dos vectores tangentes linealmente independientes en el mismo punto, u y v , podemos definir

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

Aquí R es el tensor de curvatura de Riemann , definido aquí por la convención Algunas fuentes usan la convención opuesta, en cuyo caso K(u,v) debe definirse con en el numerador en lugar de ^[1] ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$ ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,}$ ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Nótese que la independencia lineal de u y v obliga a que el denominador en la expresión anterior sea distinto de cero, de modo que K(u,v) está bien definido. En particular, si u y v son ortonormales , entonces la definición toma la forma simple

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Es sencillo comprobar que si son linealmente independientes y abarcan el mismo subespacio lineal bidimensional del espacio tangente que , entonces Por lo tanto, se puede considerar la curvatura seccional como una función de valor real cuya entrada es un subespacio lineal bidimensional de un espacio tangente. ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$

Definiciones alternativas

Alternativamente, la curvatura seccional puede caracterizarse por la circunferencia de círculos pequeños. Sea un plano bidimensional en . Sea para suficientemente pequeño denotar la imagen bajo el mapa exponencial en del círculo unitario en , y sea denotar la longitud de . Entonces se puede demostrar que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l_{P}(r)}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$

${\displaystyle l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),}$

como , para algún número . Este número en es la curvatura seccional de en . ^[2] ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

Colectores con curvatura seccional constante

Se dice que una variedad de Riemann tiene "curvatura constante " si para todos los subespacios lineales bidimensionales y para todos ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

El lema de Schur establece que si (M,g) es una variedad riemanniana conexa con dimensión al menos tres, y si existe una función tal que para todos los subespacios lineales bidimensionales y para todos entonces f debe ser constante y, por lo tanto , (M,g) tiene curvatura constante. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M,}$

Una variedad de Riemann con curvatura seccional constante se denomina forma espacial . Si denota el valor constante de la curvatura seccional, entonces el tensor de curvatura se puede escribir como ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

Para cualquiera ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M.}$

Dado que cualquier métrica de Riemann es paralela con respecto a su conexión de Levi-Civita, esto demuestra que el tensor de Riemann de cualquier espacio de curvatura constante también es paralelo. El tensor de Ricci está dado por y la curvatura escalar es En particular, cualquier espacio de curvatura constante es Einstein y tiene una curvatura escalar constante. ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$

Los ejemplos de modelos

Dado un número positivo define ${\displaystyle a,}$

• ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ser la estructura estándar de Riemann
• ${\displaystyle \left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)}$ser la esfera con dada por el retroceso de la estructura riemanniana estándar en por el mapa de inclusión ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle \left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)}$ser la pelota con ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.}$

En la terminología habitual, estas variedades de Riemann se denominan espacio euclidiano , n-esfera y espacio hiperbólico . Aquí, el punto es que cada una es una variedad de Riemann suave, completamente conexa y con curvatura constante. Para ser precisos, la métrica de Riemann tiene una curvatura constante 0, la métrica de Riemann tiene una curvatura constante y la métrica de Riemann tiene una curvatura constante. ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle 1/a^{2},}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ ${\displaystyle -1/a^{2}.}$

Además, estos son los ejemplos "universales" en el sentido de que si es una variedad riemanniana completa suave, conexa y simplemente conexa con curvatura constante, entonces es isométrica a uno de los ejemplos anteriores; el ejemplo particular está dictado por el valor de la curvatura constante de de acuerdo con las curvaturas constantes de los ejemplos anteriores. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g,}$

Si es una variedad de Riemann completa suave y conexa con curvatura constante, pero no se supone que sea simplemente conexa, entonces considere el espacio de recubrimiento universal con la métrica de Riemann de pullback. Dado que es, por principios topológicos, un mapa de recubrimiento, la variedad de Riemann es localmente isométrica a , y por lo tanto es una variedad de Riemann completa suave, conexa y simplemente conexa con la misma curvatura constante que Entonces debe ser isométrica uno de los ejemplos de modelos anteriores. Nótese que las transformaciones de cubierta de la cobertura universal son isometrías relativas a la métrica. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$

El estudio de las variedades de Riemann con curvatura negativa constante se denomina geometría hiperbólica .

Escalada

Sea una variedad suave y sea un número positivo. Consideremos la variedad de Riemann El tensor de curvatura, como una función multilineal, no cambia con esta modificación. Sean vectores linealmente independientes en . Entonces ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (M,\lambda g).}$ ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

Por lo tanto, la multiplicación de la métrica por multiplica todas las curvaturas seccionales por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}.}$

Teorema de Toponogov

El teorema de Toponogov permite caracterizar la curvatura seccional en términos de cómo se ven los triángulos geodésicos "gordos" cuando se los compara con sus contrapartes euclidianas. La intuición básica es que, si un espacio tiene una curvatura positiva, entonces el borde de un triángulo opuesto a un vértice dado tenderá a curvarse alejándose de ese vértice, mientras que si un espacio tiene una curvatura negativa, entonces el borde opuesto del triángulo tenderá a curvarse hacia el vértice.

Más precisamente, sea M una variedad riemanniana completa , y sea xyz un triángulo geodésico en M (un triángulo cuyos lados son geodésicas que minimizan la longitud). Finalmente, sea m el punto medio de la geodésica xy . Si M tiene curvatura no negativa, entonces para todos los triángulos suficientemente pequeños

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

donde d es la función de distancia en M . El caso de igualdad se cumple precisamente cuando la curvatura de M se anula, y el lado derecho representa la distancia desde un vértice hasta el lado opuesto de un triángulo geodésico en el espacio euclidiano que tiene las mismas longitudes de lado que el triángulo xyz . Esto hace preciso el sentido en el que los triángulos son "más gruesos" en espacios de curvatura positiva. En espacios de curvatura no positiva, la desigualdad va en sentido inverso:

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

Si se conocen límites más estrictos para la curvatura de la sección, entonces esta propiedad se generaliza para dar un teorema de comparación entre triángulos geodésicos en M y aquellos en una forma espacial simplemente conexa adecuada; véase el teorema de Toponogov . Las consecuencias simples de la versión que se indica aquí son:

• Una variedad riemanniana completa tiene curvatura seccional no negativa si y sólo si la función es 1- cóncava para todos los puntos p . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$
• Una variedad de Riemann completa simplemente conexa tiene curvatura seccional no positiva si y sólo si la función es 1- convexa . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$

Colectores con curvatura seccional no positiva

En 1928, Élie Cartan demostró el teorema de Cartan-Hadamard : si M es una variedad completa con curvatura seccional no positiva, entonces su recubrimiento universal es difeomorfo a un espacio euclidiano . En particular, es asférico : los grupos de homotopía para i ≥ 2 son triviales. Por lo tanto, la estructura topológica de una variedad completa de curvatura no positiva está determinada por su grupo fundamental . El teorema de Preissman restringe el grupo fundamental de las variedades compactas de curvatura negativa. La conjetura de Cartan-Hadamard establece que la desigualdad isoperimétrica clásica debería cumplirse en todos los espacios simplemente conexos de curvatura no positiva, que se denominan variedades de Cartan-Hadamard . ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$

Colectores con curvatura seccional positiva

Se sabe poco sobre la estructura de las variedades de curvatura positiva. El teorema del alma (Cheeger y Gromoll 1972; Gromoll y Meyer 1969) implica que una variedad completa no compacta y de curvatura no negativa es difeomorfa respecto de un fibrado normal sobre una variedad compacta de curvatura no negativa. En cuanto a las variedades compactas de curvatura positiva, hay dos resultados clásicos:

• Del teorema de Myers se deduce que el grupo fundamental de dicha variedad es finito.
• Del teorema de Synge se deduce que el grupo fundamental de una variedad de este tipo en dimensiones pares es 0, tanto si es orientable como si no. En dimensiones impares, una variedad de curvatura positiva es siempre orientable. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Además, hay relativamente pocos ejemplos de variedades compactas de curvatura positiva, lo que deja muchas conjeturas (por ejemplo, la conjetura de Hopf sobre si existe una métrica de curvatura seccional positiva en ). La forma más típica de construir nuevos ejemplos es el siguiente corolario de las fórmulas de curvatura de O'Neill: si es una variedad de Riemann que admite una acción isométrica libre de un grupo de Lie G, y M tiene curvatura seccional positiva en todos los 2-planos ortogonales a las órbitas de G, entonces la variedad con la métrica cociente tiene curvatura seccional positiva. Este hecho permite construir los espacios clásicos de curvatura positiva, que son esferas y espacios proyectivos, así como estos ejemplos (Ziller 2007): ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M/G}$

• Los espacios de Berger y . ${\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)}$ ${\displaystyle B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$
• Los espacios de Wallach (o variedades de bandera homogéneas): , y . ${\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}}$ ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$
• Los espacios de Aloff-Wallach . ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$
• Los espacios de Eschenburg ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• Los espacios de Bazaikin , donde . ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)}$

Colectores con curvatura seccional no negativa

Cheeger y Gromoll demostraron su teorema del alma, que establece que cualquier variedad completa no compacta y no negativamente curvada tiene una subvariedad compacta totalmente convexa tal que es difeomorfa al fibrado normal de . Tal variedad se denomina alma de . En particular, este teorema implica que es homotópica con respecto a su alma , que tiene una dimensión menor que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Véase también

• Tensor de curvatura de Riemann
• Curvatura de las variedades de Riemann
• Curvatura
• Curvatura seccional holomórfica

Referencias

1. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.A.2.
2. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, sección 3.D.4.

• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008). Teoremas de comparación en geometría de Riemann (reimpresión revisada de la edición original de 1975). Providence, RI: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5.MR  2394158.Zbl 1142.53003  .​
• Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "Sobre la estructura de variedades completas de curvatura no negativa", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 96 (3), Anales de Matemáticas: 413–443, doi :10.2307/1970819, JSTOR  1970819, MR  0309010.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría riemanniana . Universitext (Tercera ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8.MR  2088027.Zbl 1068.53001  .​
• Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "Sobre variedades abiertas completas de curvatura positiva", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 90 (1), Anales de Matemáticas: 75–90, doi :10.2307/1970682, JSTOR  1970682, MR  0247590, S2CID  122543838.
• Milnor, J. (1963). Teoría de Morse . Anales de estudios matemáticos. Vol. 51. Princeton, NJ: Princeton University Press . MR  0163331. Zbl  0108.10401.
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1.MR  0719023.Zbl 0531.53051  .​
• Petersen, Peter (2016). Geometría de Riemann . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 171 (tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN . 978-3-319-26652-7.MR 3469435.Zbl 1417.53001  . ​
• Ziller, Wolfgang (2007). "Ejemplos de variedades con curvatura seccional no negativa". En Cheeger, Jeffrey ; Grove, Karsten (eds.). Geometría métrica y de comparación . Surveys in Differential Geometry. Vol. XI. Sommerville, MA: International Press. págs. 63–102. arXiv : math/0701389 . doi : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN 978-1-57146-117-9.MR  2408264.Zbl 1153.53033  .​