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grupo espacial

El grupo espacial del hielo hexagonal H 2 O es P6 3 / mmc . La primera m indica el plano del espejo perpendicular al eje c (a), la segunda m indica los planos del espejo paralelos al eje c (b) y la c indica los planos de deslizamiento (b) y (c). Los cuadros negros delinean la celda unitaria.

En matemáticas , física y química , un grupo espacial es el grupo de simetría de un patrón que se repite en el espacio, generalmente en tres dimensiones . [1] Los elementos de un grupo espacial (sus operaciones de simetría ) son las transformaciones rígidas del patrón que lo dejan sin cambios. En tres dimensiones, los grupos espaciales se clasifican en 219 tipos distintos, o 230 tipos si las copias quirales se consideran distintas. Los grupos espaciales son grupos compactos discretos de isometrías de un espacio euclidiano orientado en cualquier número de dimensiones. En dimensiones distintas de 3, a veces se les llama grupos de Bieberbach .

En cristalografía , los grupos espaciales también reciben el nombre de grupos cristalográficos o de Fedorov , y representan una descripción de la simetría del cristal. Una fuente definitiva sobre los grupos espaciales tridimensionales son las Tablas Internacionales de Cristalografía Hahn (2002).

Historia

Los grupos espaciales en 2 dimensiones son los 17 grupos de papel tapiz que se conocen desde hace varios siglos, aunque la prueba de que la lista estaba completa no se dio hasta 1891, después de que se hubiera completado en gran medida la clasificación mucho más difícil de los grupos espaciales. [2]

En 1879 el matemático alemán Leonhard Sohncke enumeró los 65 grupos espaciales (llamados grupos de Sohncke) cuyos elementos conservan la quiralidad . [3] Más exactamente, enumeró 66 grupos, pero tanto el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov como el matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies notaron que dos de ellos eran realmente iguales. Los grupos espaciales en tres dimensiones fueron enumerados por primera vez en 1891 por Fedorov [4] (cuya lista tenía dos omisiones (I 4 3d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después en 1891 fueron enumerados de forma independiente por Schönflies [5] (cuya lista tuvo cuatro omisiones (I 4 3d, Pc, Cc, ?) y una duplicación (P 4 2 1 m)). La lista correcta de 230 grupos espaciales se encontró en 1892 durante la correspondencia entre Fedorov y Schönflies. [6] William Barlow  (1894) enumeró más tarde los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 1 d y P 4 2 1 c) a pesar de que ya tenía la lista correcta de 230 grupos de Fedorov y Schönflies; la afirmación común de que Barlow desconocía su trabajo es incorrecta. [ cita necesaria ] Burckhardt (1967) describe en detalle la historia del descubrimiento de los grupos espaciales.

Elementos

Los grupos espaciales en tres dimensiones están formados por combinaciones de los 32 grupos de puntos cristalográficos con las 14 redes de Bravais , cada una de las cuales pertenece a uno de los 7 sistemas de redes . Lo que esto significa es que la acción de cualquier elemento de un grupo espacial determinado puede expresarse como la acción de un elemento del grupo de puntos apropiado seguido opcionalmente de una traducción. Por lo tanto, un grupo espacial es una combinación de la simetría traslacional de una celda unitaria (incluido el centrado de la red ), las operaciones de simetría del grupo de puntos de reflexión , rotación y rotación impropia (también llamada rotoinversión) y las operaciones de simetría del eje del tornillo y del plano de deslizamiento . La combinación de todas estas operaciones de simetría da como resultado un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las simetrías cristalinas posibles.

El número de réplicas de la unidad asimétrica en una celda unitaria es, por tanto, el número de puntos de la red en la celda multiplicado por el orden del grupo de puntos. Esto varía de 1 en el caso del grupo espacial P1 a 192 para un grupo espacial como Fm 3 m, la estructura NaCl .

Elementos que fijan un punto.

Los elementos del grupo espacial que fijan un punto del espacio son el elemento identidad, las reflexiones, las rotaciones y las rotaciones impropias , incluidos los puntos de inversión .

Traducciones

Las traducciones forman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamado red de Bravais (llamada así en honor al físico francés Auguste Bravais ). Hay 14 tipos posibles de celosía de Bravais. El cociente del grupo espacial por la red de Bravais es un grupo finito que es uno de los 32 grupos de puntos posibles .

Aviones de planeo

Un plano de planeo es una reflexión en un plano, seguida de una traslación paralela a ese plano. Esto se indica mediante , o , dependiendo del eje a lo largo del cual se realiza el deslizamiento. También está el deslizamiento, que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento, que es un cuarto del camino a lo largo de una cara o una diagonal espacial de la celda unitaria. Este último se denomina plano de deslizamiento del diamante, ya que forma parte de la estructura del diamante . En 17 grupos espaciales, debido al centrado de la celda, los deslizamientos se producen simultáneamente en dos direcciones perpendiculares, es decir , el mismo plano de deslizamiento puede denominarse b o c , a o b , a o c . Por ejemplo, el grupo Abm2 también podría denominarse Acm2, el grupo Ccca podría denominarse Cccb. En 1992, se sugirió utilizar el símbolo e para dichos aviones. Se han modificado los símbolos de cinco grupos espaciales:

Ejes de tornillo

Un eje de tornillo es una rotación alrededor de un eje, seguida de una traslación a lo largo de la dirección del eje. Estos se indican con un número, n , para describir el grado de rotación, donde el número es cuántas operaciones se deben aplicar para completar una rotación completa (por ejemplo, 3 significaría una rotación de un tercio alrededor del eje cada vez) . Luego, el grado de traslación se agrega como un subíndice que muestra qué tan lejos está la traslación a lo largo del eje, como una porción del vector reticular paralelo. Entonces, 2 1 es una rotación doble seguida de una traslación de 1/2 del vector reticular.

Formula general

La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial es

y = M . x + D

donde M es su matriz, D es su vector y donde el elemento transforma el punto x en el punto y . En general, D = D ( red ) + D ( M ), donde D ( M ) es una función única de M que es cero para M siendo la identidad. Las matrices M forman un grupo de puntos que es la base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo de puntos, pero la estructura cristalina en sí puede no ser simétrica bajo ese grupo de puntos aplicada a cualquier punto en particular (es decir, sin una traslación). Por ejemplo, la estructura cúbica de diamante no tiene ningún punto donde se aplique el grupo de puntos cúbicos .

La dimensión de la red puede ser menor que la dimensión general, lo que da como resultado un grupo espacial "subperiódico". Para (dimensión total, dimensión de red):

quiralidad

Los 65 grupos espaciales "Sohncke", que no contienen espejos, puntos de inversión, rotaciones impropias o planos de deslizamiento, producen cristales quirales , no idénticos a su imagen especular; mientras que los grupos espaciales que incluyen al menos uno de ellos dan cristales aquirales. Las moléculas aquirales a veces forman cristales quirales, pero las moléculas quirales siempre forman cristales quirales, en uno de los grupos espaciales que lo permiten.

Entre los 65 grupos de Sohncke hay 22 que se presentan en 11 pares enantiomórficos .

Combinaciones

En un grupo espacial sólo son posibles determinadas combinaciones de elementos de simetría. Las traducciones siempre están presentes y el grupo espacial P1 solo tiene traducciones y el elemento de identidad. La presencia de espejos implica también planos de deslizamiento, y la presencia de ejes de rotación implica también ejes de tornillo, pero lo contrario no es cierto. Una inversión y un espejo implican ejes de tornillo dobles, y así sucesivamente.

Notación

Existen al menos diez métodos para nombrar grupos espaciales. Algunos de estos métodos pueden asignar varios nombres diferentes al mismo grupo espacial, por lo que en total hay miles de nombres diferentes.

Número
La Unión Internacional de Cristalografía publica tablas de todos los tipos de grupos espaciales y asigna a cada uno un número único del 1 al 230. La numeración es arbitraria, excepto que los grupos con el mismo sistema cristalino o grupo de puntos reciben números consecutivos.
Notación de símbolos internacionales
Notación de Hermann-Mauguin
La notación Hermann-Mauguin (o internacional) describe la red y algunos generadores del grupo. Tiene una forma abreviada llamada símbolo corto internacional , que es el más utilizado en cristalografía, y suele estar formado por un conjunto de cuatro símbolos. El primero describe el centrado de la red de Bravais ( P , A , C , I , R o F ). Los tres siguientes describen la operación de simetría más prominente visible cuando se proyecta a lo largo de una de las direcciones de alta simetría del cristal. Estos símbolos son los mismos que se utilizan en los grupos de puntos , con la adición de planos de deslizamiento y ejes de tornillo, descritos anteriormente. A modo de ejemplo, el grupo espacial del cuarzo es P3 1 21, lo que demuestra que presenta un centrado primitivo del motivo (es decir, una vez por unidad de celda), con un eje de tornillo triple y un eje de rotación doble. Tenga en cuenta que no contiene explícitamente el sistema cristalino , aunque este es único para cada grupo espacial (en el caso de P 3 1 21, es trigonal).
En el símbolo corto internacional, el primer símbolo (3 1 en este ejemplo) denota la simetría a lo largo del eje mayor (eje c en casos trigonales), el segundo (2 en este caso) a lo largo de ejes de importancia secundaria (a y b) y el tercer símbolo la simetría en otra dirección. En el caso trigonal también existe un grupo espacial P3 1 12. En este grupo espacial los dos ejes no están a lo largo de los ejes a y b sino en una dirección girada 30°.
Los símbolos internacionales y los símbolos cortos internacionales para algunos de los grupos espaciales se cambiaron ligeramente entre 1935 y 2002, por lo que varios grupos espaciales tienen 4 símbolos internacionales diferentes en uso.

Las direcciones de visualización de los 7 sistemas de cristal se muestran a continuación.

Notación Hall [7]
Notación de grupo espacial con origen explícito. Los símbolos de rotación, traslación y dirección del eje están claramente separados y los centros de inversión están definidos explícitamente. La construcción y el formato de la notación la hacen particularmente adecuada para la generación de información de simetría por computadora. Por ejemplo, el grupo número 3 tiene tres símbolos Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Notación de Schönflies
Los grupos espaciales con un grupo de puntos determinado se numeran con 1, 2, 3, ... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo de puntos. Por ejemplo, los grupos números 3 a 5 cuyo grupo de puntos es C 2 tienen símbolos de Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.
Notación Fedorov
Símbolo de Shubnikov
Designación Strukturbericht
Una notación relacionada para estructuras cristalinas dada una letra y un índice: A Elementos (monoatómicos), B para compuestos AB, C para compuestos AB 2 , D para compuestos A m  B n , ( E , F , ..., K Compuestos más complejos ), L Aleaciones, O Compuestos orgánicos, S Silicatos. Algunas designaciones de estructuras comparten los mismos grupos espaciales. Por ejemplo, el grupo espacial 225 es A 1 , B 1 y C 1 . El grupo espacial 221 es Ah y B 2 . [8] Sin embargo, los cristalógrafos no usarían la notación Strukturbericht para describir el grupo espacial, sino que se usaría para describir una estructura cristalina específica (por ejemplo, grupo espacial + disposición atómica (motivo)).
Notación Orbifold (2D)
Notación fibrifold (3D)
Como sugiere el nombre, la notación orbifold describe el orbifold, dado por el cociente del espacio euclidiano por el grupo espacial, en lugar de los generadores del grupo espacial. Fue introducido por Conway y Thurston y no se utiliza mucho fuera de las matemáticas. Algunos de los grupos espaciales tienen varios fibripliegues diferentes asociados a ellos, por lo que tienen varios símbolos de fibripliegues diferentes.
Notación de Coxeter
Grupos de simetría espacial y puntual, representados como modificaciones de los grupos de Coxeter reflexivos puros .
Notación geométrica [9]
Una notación de álgebra geométrica .

Sistemas de clasificación

Hay (al menos) 10 formas diferentes de clasificar grupos espaciales en clases. Las relaciones entre algunos de ellos se describen en la siguiente tabla. Cada sistema de clasificación es un refinamiento de los que se encuentran debajo. Para comprender una explicación dada aquí, puede que sea necesario comprender la siguiente.

Conway , Delgado Friedrichs y Huson et al. (2001) dieron otra clasificación de los grupos espaciales, llamada notación fibríptica , según las estructuras fibrípticas en el orbifold correspondiente . Dividieron los 219 grupos espaciales afines en grupos reducibles e irreducibles. Los grupos reducibles se dividen en 17 clases correspondientes a los 17 grupos de papel tapiz , y los 35 grupos irreducibles restantes son los mismos que los grupos cúbicos y se clasifican por separado.

En otras dimensiones

teoremas de bieberbach

En n dimensiones, un grupo espacial afín, o grupo de Bieberbach , es un subgrupo discreto de isometrías de n -espacio euclidiano dimensional con un dominio fundamental compacto. Bieberbach (1911, 1912) demostró que el subgrupo de traducciones de cualquier grupo contiene n traducciones linealmente independientes, y es un subgrupo abeliano libre de índice finito, y también es el único subgrupo abeliano normal máximo. También demostró que en cualquier dimensión n sólo hay un número finito de posibilidades para la clase de isomorfismo del grupo subyacente de un grupo espacial y, además, la acción del grupo en el espacio euclidiano es única hasta la conjugación por transformaciones afines. Esto responde a parte del decimoctavo problema de Hilbert . Zassenhaus (1948) demostró que, a la inversa, cualquier grupo que sea la extensión [ cuando se define como? ] de Z n por un grupo finito que actúa fielmente es un grupo espacial afín . La combinación de estos resultados muestra que clasificar grupos espaciales en n dimensiones hasta la conjugación mediante transformaciones afines es esencialmente lo mismo que clasificar clases de isomorfismo para grupos que son extensiones de Z n por un grupo finito que actúa fielmente.

En los teoremas de Bieberbach es esencial suponer que el grupo actúa como isometrías; los teoremas no se generalizan a grupos cocompactos discretos de transformaciones afines del espacio euclidiano. Un contraejemplo lo da el grupo tridimensional de Heisenberg de los números enteros que actúa mediante traslaciones sobre el grupo Heisenberg de los reales, identificado con el espacio euclidiano tridimensional. Este es un grupo cocompacto discreto de transformaciones afines del espacio, pero no contiene un subgrupo Z 3 .

Clasificación en pequeñas dimensiones.

Esta tabla proporciona la cantidad de tipos de grupos espaciales en dimensiones pequeñas, incluida la cantidad de varias clases de grupos espaciales. Los números de pares enantiomórficos se dan entre paréntesis.

  1. ^ Grupo trivial
  2. ^ Uno es el grupo de los números enteros y el otro es el grupo diédrico infinito ; ver grupos de simetría en una dimensión .
  3. ^ Estos grupos de espacios 2D también se denominan grupos de fondos de pantalla o grupos de planos .
  4. ^ En 3D, hay 230 tipos de grupos espaciales cristalográficos, lo que se reduce a 219 tipos de grupos espaciales afines debido a que algunos tipos son diferentes de su imagen especular; se dice que se diferencian por su carácter enantiomorfo (por ejemplo, P3 1 12 y P3 2 12). Por lo general, el grupo espacial se refiere a 3D. Fueron enumerados de forma independiente por Barlow (1894), Fedorov (1891a) y Schönflies (1891).
  5. ^ Los 4895 grupos de 4 dimensiones fueron enumerados por Harold Brown, Rolf Bülow y Joachim Neubüser et al. (1978) Neubüser, Souvignier y Wondratschek (2002) corrigieron el número de grupos enantiomórficos de 112 a 111, por lo que el número total de grupos es 4783 + 111 = 4894 . Hay 44 grupos de puntos enantiomórficos en un espacio de 4 dimensiones. Si consideramos los grupos enantiomórficos como diferentes, el número total de grupos de puntos es 227 + 44 = 271 .
  6. ^ Plesken & Schulz (2000) enumeraron los de dimensión 5. Souvignier (2003) contó los enantiomorfos.
  7. ^ Plesken & Schulz (2000) enumeraron los de dimensión 6, posteriormente se encontraron las cifras corregidas. [11] El número publicado inicialmente de 826 tipos de Lattice en Plesken & Hanrath (1984) se corrigió a 841 en Opgenorth, Plesken & Schulz (1998). Véase también Janssen et al. (2002). Souvignier (2003) contó los enantiomorfos, pero ese artículo se basó en datos antiguos y erróneos de CARAT para la dimensión 6.

Grupos magnéticos e inversión del tiempo.

Además de los grupos espaciales cristalográficos, también existen grupos espaciales magnéticos (también llamados grupos cristalográficos de dos colores (blanco y negro) o grupos Shubnikov ). Estas simetrías contienen un elemento conocido como inversión del tiempo. Tratan el tiempo como una dimensión adicional, y los elementos del grupo pueden incluir la inversión del tiempo como reflejo en él. Son de importancia en estructuras magnéticas que contienen espines no apareados ordenados, es decir, estructuras ferro , ferri o antiferromagnéticas estudiadas por difracción de neutrones . El elemento de inversión de tiempo invierte un giro magnético dejando todas las demás estructuras iguales y se puede combinar con otros elementos de simetría. Incluyendo la inversión del tiempo, hay 1651 grupos espaciales magnéticos en 3D (Kim 1999, p.428). También ha sido posible construir versiones magnéticas para otras dimensiones generales y de red (artículos de Daniel Litvin, (Litvin 2008), (Litvin 2005)). Los grupos de friso son grupos de líneas magnéticas 1D y los grupos de capas son grupos de papel tapiz magnético, y los grupos de puntos axiales 3D son grupos de puntos magnéticos 2D. Número de grupos originales y magnéticos por dimensión (general, reticular): (Palistrant 2012) (Souvignier 2006)

Tabla de grupos espaciales en 2 dimensiones (grupos de fondos de pantalla)

Tabla de grupos de papel tapiz según la clasificación de los grupos espaciales bidimensionales:

Para cada clase geométrica, las posibles clases aritméticas son

Tabla de grupos espaciales en 3 dimensiones.

Nota: Un plano e es un avión de doble deslizamiento, uno que se desliza en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, cinco tetragonales y cinco cúbicos, todos con red centrada. El uso del símbolo e se hizo oficial con Hahn (2002).

El sistema reticular se puede encontrar de la siguiente manera. Si el sistema cristalino no es trigonal entonces el sistema reticular es del mismo tipo. Si el sistema cristalino es trigonal, entonces el sistema reticular es hexagonal a menos que el grupo espacial sea uno de los siete en el sistema reticular romboédrico que consta de los 7 grupos espaciales trigonales en la tabla anterior cuyo nombre comienza con R. (El término sistema romboédrico es también se utiliza a veces como nombre alternativo para todo el sistema trigonal.) El sistema de red hexagonal es más grande que el sistema cristalino hexagonal y consta del sistema cristalino hexagonal junto con los 18 grupos del sistema cristalino trigonal distintos de los siete cuyos nombres comienzan con R.

La red de Bravais del grupo espacial está determinada por el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, que para los grupos no romboédricos es P, I, F, A o C, que representa la principal, centrada en el cuerpo y centrada en las caras. , Retículos centrados en la cara A o centrados en la cara C. Hay siete grupos espaciales romboédricos, con la letra inicial R.

Derivación de la clase de cristal del grupo espacial.

  1. Deja fuera el tipo Bravais
  2. Convierta todos los elementos de simetría con componentes traslacionales en sus respectivos elementos de simetría sin simetría de traslación (los planos de deslizamiento se convierten en planos especulares simples; los ejes de tornillo se convierten en ejes de rotación simples)
  3. Los ejes de rotación, los ejes de rotoinversión y los planos especulares permanecen sin cambios.

Referencias

  1. ^ Hiller, Howard (1986). "Cristalografía y cohomología de grupos". El Mensual Matemático Estadounidense . 93 (10): 765–779. doi :10.2307/2322930. JSTOR  2322930.
  2. ^ Fedorov (1891b).
  3. ^ Sohncke, Leonhard (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [ El desarrollo de una teoría de la estructura cristalina ] (en alemán). Leipzig, Alemania: BG Teubner .
  4. ^ Fedorov (1891a).
  5. ^ Schönflies, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ Sistemas cristalinos y estructura cristalina ] (en alemán). Leipzig, Alemania: BG Teubner.
  6. ^ von Fedorow, E. (1892). "Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen" [Recopilación de los resultados cristalográficos del señor Schoenflies y míos]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (en alemán). 20 : 25–75.
  7. ^ Sydney R. Salón; Ralf W. Grosse-Kunstleve. "Símbolos concisos de grupos espaciales".
  8. ^ "Strukturbericht - Wikimedia Commons". commons.wikimedia.org .
  9. ^ David Hestenes; Jeremy Holt (enero de 2007). "Los grupos espaciales cristalográficos en álgebra geométrica" ​​(PDF) . Revista de Física Matemática . 48 (2): 023514. Código bibliográfico : 2007JMP....48b3514H. doi : 10.1063/1.2426416. Archivado desde el original (PDF) el 20 de octubre de 2020 . Consultado el 9 de abril de 2013 .
  10. ^ JCH Spence y JM Zuo (1994). "Sobre el número mínimo de haces necesarios para distinguir enantiomorfos en difracción de rayos X y electrones". Acta Crystallographica Sección A. 50 (5): 647–650. doi :10.1107/S0108767394002850.
  11. ^ "La página de inicio de CARAT" . Consultado el 11 de mayo de 2015 .

enlaces externos

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