Un grupo de líneas es una forma matemática de describir simetrías asociadas con el movimiento a lo largo de una línea. Estas simetrías incluyen la repetición a lo largo de esa línea, haciendo de esa línea una red unidimensional. Sin embargo, los grupos de líneas pueden tener más de una dimensión y pueden involucrar esas dimensiones en sus isometrías o transformaciones de simetría.
Uno construye un grupo de líneas tomando un grupo de puntos en las dimensiones completas del espacio y luego agregando traslaciones o desplazamientos a lo largo de la línea a cada uno de los elementos del grupo de puntos, en la forma de construir un grupo espacial . Estos desplazamientos incluyen las repeticiones y una fracción de la repetición, una fracción para cada elemento. Por conveniencia, las fracciones se escalan al tamaño de la repetición; por tanto, están dentro del segmento de celda unitaria de la línea .
Hay 2 grupos de líneas unidimensionales . Son los límites infinitos de los grupos de puntos bidimensionales discretos C n y D n :
Hay 7 grupos de frisos , que involucran reflexiones a lo largo de la línea, reflexiones perpendiculares a la línea y rotaciones de 180° en las dos dimensiones.
Hay 13 familias infinitas de grupos de líneas tridimensionales, [1] derivadas de las 7 familias infinitas de grupos de puntos tridimensionales axiales . Como ocurre con los grupos espaciales en general, los grupos de líneas con el mismo grupo de puntos pueden tener diferentes patrones de desplazamientos. Cada una de las familias se basa en un grupo de rotaciones alrededor del eje de orden n . Los grupos se enumeran en notación de Hermann-Mauguin , y para los grupos de puntos, en notación de Schönflies . No parece haber una notación comparable para los grupos de líneas. Estos grupos también pueden interpretarse como patrones de grupos de papel tapiz [2] enrollados alrededor de un cilindro n veces y que se repiten infinitamente a lo largo del eje del cilindro, de manera muy similar a los grupos de puntos tridimensionales y los grupos de frisos. Una tabla de estos grupos:
Los tipos de compensación son:
Tenga en cuenta que los grupos de fondos de pantalla pm, pg, cm y pmg aparecen dos veces. Cada apariencia tiene una orientación diferente con respecto al eje del grupo de líneas; reflexión paralela (h) o perpendicular (v). Los otros grupos no tienen esa orientación: p1, p2, pmm, pgg, cmm.
Si el grupo de puntos está obligado a ser un grupo de puntos cristalográfico , una simetría de alguna red tridimensional, entonces el grupo de líneas resultante se llama grupo de barras . Hay 75 grupos de varillas.
Yendo al límite del continuo , con n a ∞, los posibles grupos de puntos se convierten en C ∞ , C ∞h , C ∞v , D ∞ y D ∞h , y los grupos de líneas tienen los desplazamientos posibles apropiados, con la excepción del zigzag. .
Los grupos C n ( q ) y D n ( q ) expresan las simetrías de objetos helicoidales. C n ( q ) es para n hélices orientadas en la misma dirección, mientras que D n ( q ) es para n hélices no orientadas y 2n hélices con orientaciones alternas. Invertir el signo de q crea una imagen especular, invirtiendo la quiralidad o lateralidad de las hélices.
Los ácidos nucleicos , ADN y ARN , son bien conocidos por su simetría helicoidal. Los ácidos nucleicos tienen una dirección bien definida, dando hebras simples C 1 ( q ). Las hebras dobles tienen direcciones opuestas y están en lados opuestos del eje de la hélice, lo que les da D 1 ( q ).