En geometría , una reflexión o transflexión de deslizamiento es una transformación geométrica que consiste en una reflexión a través de un hiperplano y una traslación ("deslizamiento") en una dirección paralela a ese hiperplano, combinadas en una sola transformación. Debido a que las distancias entre puntos no cambian bajo la reflexión de planeo, es un movimiento o isometría . Cuando el contexto es el plano euclidiano bidimensional , el hiperplano de reflexión es una línea recta llamada línea de planeo o eje de planeo . Cuando el contexto es un espacio tridimensional , el hiperplano de reflexión es un plano llamado plano de planeo . El vector de desplazamiento de la traslación se llama vector de deslizamiento .
Cuando algún objeto o configuración geométrica aparece sin cambios por una transformación, se dice que tiene simetría , y la transformación se llama operación de simetría . La simetría de deslizamiento-reflexión se ve en grupos de frisos (patrones que se repiten en una dimensión, a menudo utilizados en bordes decorativos), grupos de papel tapiz ( teselados regulares del plano) y grupos espaciales (que describen, por ejemplo, simetrías de cristales ). Los objetos con simetría de planeo-reflexión en general no son simétricos solo bajo reflexión , pero dos aplicaciones de la misma reflexión de planeo dan como resultado una doble traslación, por lo que los objetos con simetría de planeo-reflexión siempre también tienen una simetría de traslación simple .
Cuando una reflexión se compone con una traslación en dirección perpendicular al hiperplano de reflexión, la composición de las dos transformaciones es una reflexión en un hiperplano paralelo. Sin embargo, cuando una reflexión se compone de una traslación en cualquier otra dirección, la composición de las dos transformaciones es una reflexión de deslizamiento, que puede describirse únicamente como una reflexión en un hiperplano paralelo compuesta con una traslación en una dirección paralela al hiperplano.
Un solo deslizamiento se representa como grupo friso p11g. Una reflexión de deslizamiento puede verse como una reflexión limitante del rotor , donde la rotación se convierte en una traslación. También se le puede dar una notación de Schoenflies como S 2∞ , una notación de Coxeter como [∞ + , 2 + ] y una notación orbifold como ∞×.
En el plano euclidiano, las reflexiones y las reflexiones de planeo son los dos únicos tipos de isometrías indirectas (inversión de orientación) .
Por ejemplo, existe una isometría que consiste en la reflexión sobre el eje x , seguida de la traslación de una unidad paralela a él. En coordenadas, se necesita
Esta isometría asigna el eje x a sí mismo; cualquier otra línea que sea paralela al eje x se refleja en el eje x , por lo que este sistema de líneas paralelas se deja invariante.
El grupo de isometría generado simplemente por una reflexión de deslizamiento es un grupo cíclico infinito . [1]
La combinación de dos reflexiones de deslizamiento iguales da una traslación pura con un vector de traslación que es el doble que el de la reflexión de deslizamiento, por lo que las potencias pares de la reflexión de deslizamiento forman un grupo de traslación.
En el caso de la simetría de planeo-reflexión, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión de planeo y, por tanto, el grupo generado por ella. Si eso es todo lo que contiene, este tipo es el grupo friso p11g.
Patrón de ejemplo con este grupo de simetría:
Un ejemplo típico de reflejo deslizante en la vida cotidiana sería la huella dejada en la arena por una persona que camina por la playa.
Grupo friso nr. 6 (reflexiones de deslizamiento, traslaciones y rotaciones) se genera mediante una reflexión de deslizamiento y una rotación alrededor de un punto en la línea de reflexión. Es isomorfo a un producto semidirecto de Z y C 2 .
Patrón de ejemplo con este grupo de simetría:
Para cualquier grupo de simetría que contenga alguna simetría de planeo-reflexión, el vector de traslación de cualquier reflexión de planeo es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una reflexión de deslizamiento es en sí mismo un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría de reflexión de deslizamiento correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría de traslación .
La simetría de planeo-reflexión con respecto a dos líneas paralelas con la misma traslación implica que también hay simetría de traslación en la dirección perpendicular a estas líneas, con una distancia de traslación que es el doble de la distancia entre las líneas de planeo-reflexión. Esto corresponde a la página del grupo de fondos de pantalla ; con simetría adicional ocurre también en pmg, pgg y p4g.
Si también hay líneas de reflexión verdaderas en la misma dirección, entonces están espaciadas uniformemente entre las líneas de reflexión de deslizamiento. Una línea de reflexión de planeo paralela a una línea de reflexión verdadera ya implica esta situación. Esto corresponde al grupo de papel pintado cm. La simetría traslacional está dada por vectores de traslación oblicuos desde un punto en una línea de reflexión verdadera a dos puntos en el siguiente, sosteniendo un rombo con la línea de reflexión verdadera como una de las diagonales. Con simetría adicional ocurre también en cmm, p3m1, p31m, p4m y p6m.
En el plano euclidiano, 3 de 17 grupos de papel tapiz requieren generadores de reflexión deslizante. p2gg tiene reflejos de deslizamiento ortogonales y rotaciones dobles. cm tiene espejos y deslizadores paralelos, y pg tiene deslizadores paralelos. (Los reflejos del planeo se muestran a continuación como líneas discontinuas)
Los planos de planeo se indican en la notación de Hermann-Mauguin mediante a , b o c , dependiendo del eje a lo largo del cual se realiza el planeo. (La orientación del avión está determinada por la posición del símbolo en la designación de Hermann-Mauguin). Si el eje no está definido, entonces el plano de planeo puede indicarse mediante g . Cuando el plano de deslizamiento es paralelo a la pantalla, estos planos pueden indicarse mediante una flecha doblada en la que la punta de la flecha indica la dirección del deslizamiento. Cuando el plano de deslizamiento es perpendicular a la pantalla, estos planos se pueden representar mediante líneas discontinuas cuando el deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o líneas de puntos cuando el deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Además, una red centrada puede hacer que exista un plano de planeo en dos direcciones al mismo tiempo. Este tipo de plano de deslizamiento puede indicarse mediante una flecha doblada con puntas de flecha en ambos lados cuando el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o una línea discontinua y de dos puntos cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. . También está el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que se realiza a lo largo de un cuarto de una cara o una diagonal espacial de la celda unitaria . Este último a menudo se denomina plano de deslizamiento del diamante, ya que forma parte de la estructura del diamante. El plano de deslizamiento n puede indicarse mediante una flecha diagonal cuando es paralelo al plano de la pantalla o una línea de puntos y trazos cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Un plano de deslizamiento d puede indicarse mediante una media flecha diagonal si el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o una línea de puntos y trazos con flechas si el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Si un plano de deslizamiento d está presente en un sistema cristalino, entonces ese cristal debe tener una red centrada. [2]
En la versión actual de la notación Hermann-Mauguin, el símbolo e se utiliza en los casos en que hay dos formas posibles de designar la dirección de planeo porque ambas son verdaderas. Por ejemplo, si un cristal tiene una red de Bravais centrada en la base y centrada en la cara C, entonces un deslizamiento de media unidad de celda en la dirección a da el mismo resultado que un deslizamiento de media unidad de celda en la dirección b .
El grupo de isometría generado simplemente por una reflexión de deslizamiento es un grupo cíclico infinito . La combinación de dos operaciones iguales en el plano de planeo da una traslación pura con un vector de traslación que es el doble que el de la reflexión de planeo, por lo que las potencias pares de la reflexión de planeo forman un grupo de traslación.
En el caso de la simetría de planeo-reflexión, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión de planeo y el grupo generado por ella. Para cualquier grupo de simetría que contenga una reflexión de deslizamiento, el vector de deslizamiento es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una operación del plano de planeo es en sí mismo un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría del plano de planeo correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría de traslación .
La simetría de planeo se puede observar en la naturaleza entre ciertos fósiles de la biota de Ediacara ; los machaeridianos ; y ciertos gusanos paleoscolecidos . [3] También se puede ver en muchos grupos existentes de plumas marinas . [4]
En El juego de la vida de Conway , un patrón común llamado planeador se llama así porque repite su configuración de células, desplazada por un reflejo de planeo, después de dos pasos del autómata. Después de cuatro pasos y dos reflejos de deslizamiento, el patrón vuelve a su orientación original, desplazado diagonalmente una unidad. Siguiendo de esta manera, se desplaza por el conjunto del juego. [5]