Notación de Coxeter

En geometría , la notación de Coxeter (también símbolo de Coxeter ) es un sistema de clasificación de grupos de simetría que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter en una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin , con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación recibe su nombre de HSM Coxeter y fue definida de manera más completa por Norman Johnson .

Grupos de reflexión

Para los grupos de Coxeter , definidos por reflexiones puras, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y el diagrama de Coxeter-Dynkin . Los números en la notación de corchetes representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo los 2 entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Por lo tanto, el grupo A _n se representa mediante [3 ^{n −1} ], lo que implica n nodos conectados por n−1 ramas de orden 3. Ejemplo A ₂ = [3,3] = [3 ² ] o [3 ^1,1 ] representa diagramaso.

Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con posicionamiento vertical de números, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3 ^p,q ] o [3 ^p,q,r ], comenzando con [3 ^1,1,1 ] o [3,3 ^1,1 ] =o como D ₄ . Coxeter permitió ceros como casos especiales para ajustarse a la familia A _n , como A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ], como==.

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] =para el grupo de triángulos (pqr). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente como la longitud del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ], que representa el diagrama de Coxetero.se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3 ^[3] ].

También se pueden expresar con cuidado diagramas de bucles más complicados. El grupo de Coxeter paracompacto puede representarse mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles [(3,3,3)] adyacentes, y también se representa de forma más compacta como [3 ^{[ ]×[ ]} ], que representa la simetría rómbica del diagrama de Coxeter. El diagrama de grafo completo paracompactoo , se representa como [3 ^[3,3] ] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de Coxeter tetraédrico regular .

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al diagrama de un grupo finito.

Grupos desconectados

El diagrama de Coxeter normalmente deja sin dibujar las ramas de orden 2, pero la notación entre corchetes incluye un 2 explícito para conectar los subgrafos. Por lo tanto, el diagrama de Coxeter= A ₂ × A ₂ = 2 A ₂ se puede representar por [3]×[3] = [3] ² = [3,2,3]. A veces, las ramas 2 explícitas se pueden incluir con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio:o, como una presentación idéntica a [3,2,3].

Rango y dimensión

El rango del grupo de puntos de Coxeter es igual al número de nodos, que también es igual a la dimensión. Un único espejo existe en una dimensión, [ ],, mientras que en 2 dimensiones [1],o [ ]×[ ] ⁺ . El 1 es un marcador de posición, no un orden de ramificación real, sino un marcador para un espejo inactivo ortogonal. La notación [ n ,1], representa un grupo de rango 3, como [ n ]×[ ] ⁺ o. De manera similar, [1,1] como [ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ oorden 2 y [1,1] ⁺ como [ ] ⁺ ×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ o, orden 1!

Subgrupos

La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional añadiendo un operador superíndice ⁺ fuera de los corchetes, [X] ⁺ que corta el orden del grupo [X] a la mitad, por lo tanto un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando las reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se lo llama subgrupo directo porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.

Los operadores ⁺ también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y ⁺ ] o [X,(Y,Z) ⁺ ], y crean subgrupos "semidirectos" que pueden incluir generadores tanto reflexivos como no reflexivos. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a subgrupos del grupo de Coxeter que tengan ramas de orden par adyacentes a él. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice ⁺ , que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3 ⁺ ] y [4,(3,3) ⁺ ] ().

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1 ⁺ ] = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente envueltos como un pentagrama , {5/2}, y [5,3 ⁺ ] se relaciona con el triángulo de Schwarz [5/2,3], densidad 2.

^{Los grupos sin elementos +} vecinos se pueden ver en nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para politopos uniformes y los panales de abejas están relacionados con nodos huecos alrededor de los elementos ⁺ , círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Por lo tanto, el cubo romo ,tiene simetría [4,3] ⁺ (), y el tetraedro romo ,tiene simetría [4,3 ⁺ ] (), y un semicubo , h{4,3} = {3,3} (o=) tiene simetría [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (o==).

Nota: Simetría piritoédrica se puede escribir como, separando el gráfico con espacios para mayor claridad, con los generadores {0,1,2} del grupo de Coxeter, produciendo generadores piritoédricos {0,12}, una reflexión y una rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , con generadores {12,0120}.

Reducir a la mitad subgrupos y grupos extendidos

Johnson extiende el operador ⁺ para trabajar con un marcador de posición 1 ⁺ nodos, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y corta el orden del grupo a la mitad. ^[1] En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p, 1 ], [ 1 ,2p] o [ 1 ,2p, 1 ], como en el diagramao, con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter:=, o en notación entre paréntesis:[1 ⁺ ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].

Cada uno de estos espejos se puede eliminar de modo que h[2p] = [1 ⁺ ,2p,1] = [1,2p,1 ⁺ ] = [p], un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un símbolo ⁺ sobre el nodo:==.

Si se eliminan ambos espejos, se genera un cuarto de subgrupo, y el orden de rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:

q[2p] = [1 ⁺ ,2p,1 ⁺ ] = [p] ⁺ , un subgrupo rotacional de índice 4.

Por ejemplo, (con p=2): [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ ,4] = [2] = [ ]×[ ], orden 4. [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺ , orden 2.

Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar ^[2], que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.

[[p]] = [2p]

Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de rango superior, como la simetría tetraédrica , que es un semigrupo de un grupo octaédrico : h[4,3] = [1 ⁺ ,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en la rama 4. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter:=, h[2p,3] = [1 ⁺ ,2p,3] = [(p,3,3)].

Si los nodos están indexados, los subgrupos de la mitad se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos., generadores {0,1} tiene subgrupo=, generadores {1,010}, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También se proporciona, generadores {0,1,2}, tiene medio grupo=, generadores {1,2,010}.

La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica para invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Subgrupos radicales

Johnson también agregó un operador asterisco o estrella * para los subgrupos "radicales", ^[3] que actúa de manera similar al operador ⁺ , pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrupo [3] eliminado es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación de simetría extendida. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2], y a la inversa, [2,2] puede extenderse como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos pueden expresarse como un diagrama de Coxeter:o≅El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, [4,3 ⁺ ], índice 2, tiene generadores {0,12}; [1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3], índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ [2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, (012) ³ }; y finalmente [1 ⁺ ,4,3*], índice 12 tiene generadores {0(12) ² 0, (012) ² 01}.

Subgrupos triónicos

Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un subgrupo triónico con operador ⅄, índice 3. Para grupos de Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3 ^⅄ ] es [ ], un espejo simple. Y para [3 p ], el subgrupo triónico es [3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]. Dado, con generadores {0,1}, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ⅄ al lado del generador de espejo que se va a eliminar, o en una rama para ambos: [3 p ,1 ^⅄ ] ==, =, y [3 p ^⅄ ] ==con generadores {0,10101}, {01010,1} o {101,010}.

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica: [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], relacionando la simetría del tetraedro regular y el disfenoide tetragonal .

Para los grupos de Coxeter de rango 3, [ p ,3], hay un subgrupo triónico [ p ,3 ^⅄ ] ≅ [ p /2, p ], o=. Por ejemplo, el grupo finito [4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4], el grupo euclidiano [6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6], y el grupo hiperbólico [8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8].

Una rama adyacente de orden impar, p , no reducirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que la densidad aumenta. Por ejemplo, la simetría icosaédrica , [5,3], del icosaedro de poliedros regulares se convierte en [5/2,5], la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona los teselados hiperbólicos {p,3} y los teselados hiperbólicos en estrella {p/2,p}

Para el rango 4, [ q ,2 p ,3 ^⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))],=.

Por ejemplo, [3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3], o=, generadores {0,1,2,3} en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3,3] generadores {0,1,2,32123}. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ], y [4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4].

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica

Johnson identificó dos subgrupos triónicos específicos ^[4] de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], con [3,3] (==) generadores {0,1,2}. También se puede escribir como [(3,3,2 ^⅄ )] () como recordatorio de sus generadores {02,1}. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el difenoide tetragonal , representan un estiramiento de un tetraedro perpendicular a dos aristas opuestas.

En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado [3,3] ^Δ o [(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ (), índice 3 de [3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺ , con generadores {02,1021}, de [3,3] y sus generadores {0,1,2}.

Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con ramas vecinas, todas de orden par.

Por ejemplo, [(3,3) ⁺ ,4], [(3,3) ^⅄ ,4] y [(3,3) ^Δ ,4] son subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3) ^⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ ,8], orden 128, son {02,1,3} de los generadores de [3,3,4] {0,1,2,3}. Y [(3,3) ^Δ ,4] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]], orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Asimismo, [3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4].

También relacionado [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] tiene subgrupos triónicos: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ], orden 64, y 1=[3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺ , orden 32.

Inversión central

Una inversión central 2D es una rotación de 180 grados, [2] ⁺

Una inversión central , de orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [ ] ⁿ = [2 ^{n −1} ] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio n-plano de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2 ^{n −1} ] están numerados ⁠ ⁠ $0\dots n-1$ . El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es ⁠ ⁠ $-I$ , la matriz Identidad con menos uno en la diagonal.

A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa añadiendo una alternancia ⁺ a cada rama 2. La simetría de alternancia se marca en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con 2 ramas explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos doblemente abiertos compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, [2 ⁺ ,2] y [2,2 ⁺ ] son subgrupos índice 2 de [2,2],, y se representan como(o) y(o) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2 ⁺ ,2 ⁺ ], y está representado por(o), con la doble aperturamarcando un nodo compartido en las dos alternancias, y un único generador de rotoreflexión {012}.

Rotaciones y reflexiones rotatorias

Las rotaciones y reflexiones rotatorias se construyen mediante un único producto monogenerador de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2 p ]×[2 q ]×... donde mcd ( p , q ,...)=1, son isomorfos al grupo cíclico abstracto Z _n , de orden n =2 pq .

Las rotaciones dobles de cuatro dimensiones, [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] (con mcd ( p , q )=1), que incluyen un grupo central, y se expresan por Conway como ±[C _p ×C _q ], ^[5] orden 2 pq . Del diagrama de Coxeter, generadores {0,1,2,3}, requiere dos generadores para [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ],como {0123,0132}. Semigrupos, [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] ⁺ , o gráfico cíclico, [(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ )],expresado por Conway es [C _p ×C _q ], orden pq , con un generador, como {0123}.

Si hay un factor común f , la doble rotación se puede escribir como 1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] (con mcd ( p , q )=1), generadores {0123,0132}, orden 2 pqf . Por ejemplo, p = q =1, f =2, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] es orden 4. Y 1 ⁄ f [2 pf ⁺ ,2 ⁺ ,2 qf ⁺ ] ⁺ , generador {0123}, es orden pqf . Por ejemplo, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ es orden 2, una inversión central .

En general, un grupo de n -rotación, [2 p ₁⁺ ,2,2 p ₂⁺ ,2,..., p _n⁺ ] puede requerir hasta n generadores si mcd( p ₁ ,.., p _n )>1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El semigrupo, [2 p ₁⁺ ,2,2 p ₂⁺ ,2,..., p _n⁺ ] ⁺ tiene generadores al cuadrado. Las reflexiones n -rotativas son similares.

Subgrupos de conmutadores

Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo conmutador , ejemplos [3,3] ⁺ , [3,5] ⁺ , [3,3,3] ⁺ , [3,3,5] ⁺ . Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo conmutador tiene índice 2 ^c , donde c es el número de subgrafos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par. ^[6]

Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los 4 s, por lo que su subgrupo conmutador es de índice 2 ³ , y puede tener diferentes representaciones, todas con tres operadores ⁺^{: [4 +} ,4 ⁺ ] ⁺ , [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ], [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] ⁺ , o [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ )]. Se puede utilizar una notación general con + c como exponente de grupo, como [4,4] ⁺³ .

Ejemplos de subgrupos

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Los grupos de simetría diedral con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores de [4] en rojo y verde, y analiza todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4],tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión en el otro.

Subgrupos de ejemplo euclidianos de rango 3

El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índice pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflexivos puros y dominios blancos y azules alternados que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas de espejo cian, rojo y verde corresponden a los nodos del mismo color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, {0,1,2}, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter.. Un producto de dos líneas de reflexión que se intersecan produce una rotación, como {012}, {12} o {02}. Quitar un espejo provoca dos copias de espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como {010} y {212}. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como {0101} o {(01) ² }, {1212} o {(02) ² }. Un producto de los tres espejos crea una transreflexión , como {012} o {120}.

Subgrupos de ejemplo hiperbólicos

El mismo conjunto de 15 subgrupos pequeños existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:

Subgrupos parabólicos

Un subgrupo parabólico de un grupo de Coxeter se puede identificar eliminando uno o más espejos generadores representados con un diagrama de Coxeter. Por ejemplo, el grupo octaédricotiene subgrupos parabólicos,,,,,. En la notación entre corchetes [4,3] hay subgrupos parabólicos [4],[2],[3] y un único espejo []. Se conoce el orden del subgrupo y siempre es un orden de grupo divisor entero o índice. Los subgrupos parabólicos también se pueden escribir con x nodos, como=[4,3] subgrupo eliminando el segundo espejo:o== [4,1 ^× ,3] = [2].

Subgrupo de Petrie

Un subgrupo de Petrie de un grupo de Coxeter irreducible puede crearse mediante el producto de todos los generadores. Puede verse en el polígono de Petrie regular oblicuo de un politopo regular . El orden del nuevo grupo se denomina número de Coxeter del grupo de Coxeter original. El número de Coxeter de un grupo de Coxeter es 2 m / n , donde n es el rango y m es el número de reflexiones. Un subgrupo de Petrie puede escribirse con un superíndice $π$ . Por ejemplo, [3,3] ^$π$ es el subgrupo de Petrie de un grupo tetraédrico, grupo cíclico de orden 4, generado por una rotorreflexión . Un grupo de Coxeter de rango 4 tendrá un generador de doble rotación , como [4,3,3] ^$π$ es de orden 8.

Simetría extendida

La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, [[X]] para expresar simetría automórfica dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó una duplicación alternativa mediante corchetes angulares <[X]>. Johnson también agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].

Por ejemplo, en 3D estos diagramas geométricos rectangulares y rómbicos equivalentes son : ${\tilde {A}}_{3}$ y, el primero duplicado con corchetes, [[3 ^[4] ]] o duplicado dos veces como [2[3 ^[4] ]], con [2], simetría superior de orden 4. Para diferenciar el segundo, se utilizan corchetes angulares para duplicar, <[3 ^[4] ]> y duplicado dos veces como <2[3 ^[4] ]>, también con una simetría diferente de [2], orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes puede representarse por [4[3 ^[4] ]], con la simetría de orden 8, [4] del cuadrado . Pero al considerar el dominio fundamental del disfenoides tetragonal , la simetría extendida [4] del grafo cuadrado puede marcarse más explícitamente como [(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]] o [2 ⁺ ,4[3 [ ^4] ]].

Existe simetría adicional en los diagramas cíclicos y ramificados , y . tiene simetría de orden 2 n de un n -gono regular, { n }, y se representa por [ n [3 ^[ⁿ^] ]]. y se representan por [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] y [3[3 ^2,2,2 ]] respectivamente mientras que por [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular , {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto = [3 ^1,1,1,1,1 ], ${\tilde {A}}_{n}$ $D_{3}$ ${\tilde {E}}_{6}$ ${\tilde {D}}_{4}$ ${\tilde {A}}_{n}$ $D_{3}$ ${\tilde {E}}_{6}$ ${\tilde {D}}_{4}$ ${\bar {L}}_{5}$ , contiene la simetría de una celda de 5 , {3,3,3}, y por lo tanto está representada por [(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3].

Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, que crea subgrupos radicales eliminando espejos conectados de orden impar. ^[7]

Ejemplos:

Al observar los generadores, la doble simetría se ve como la adición de un nuevo operador que mapea posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, haciendo que algunos generadores originales sean redundantes. Para los grupos espaciales 3D y los grupos puntuales 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], [[X] ⁺ ], que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto parece similar a [[X]] ⁺ , que es el subgrupo quiral de [[X]]. Entonces, por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) y [[4,3,4] ⁺ ] (Pm 3 n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im 3 m, 229).

Grupos de primer rango

En una dimensión, el grupo bilateral [ ] representa una simetría especular única, abstracta Dih ₁ o Z ₂ , orden de simetría 2. Se representa como un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo,El grupo identidad es el subgrupo directo [ ] ⁺ , Z ₁ , orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran las reflexiones especulares alternadas, lo que deja al grupo identidad en este caso más simple. Coxeter utilizó un solo nodo abierto para representar una alternancia,.

Clasifique dos grupos

En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto D ₂² o D ₄ , también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], al ser el producto de dos grupos bilaterales, representa dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter,, con orden 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, comocon orden de ramificación explícito 2. El grupo rómbico , [2] ⁺ (o), la mitad del grupo rectangular, la simetría de reflexión puntual , Z ₂ , orden 2.

Notación de Coxeter para permitir un marcador de posición 1 para grupos de rango inferior, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1 ⁺ ] o [1] ⁺ es lo mismo que [ ] ⁺ y diagrama de Coxeter.

El grupo p-gonal completo [p], grupo diedro abstracto D _{2 p} , ( no abeliano para p>2), de orden 2 p , es generado por dos espejos en ángulo π / p , representado por el diagrama de Coxeter. El subgrupo p-gonal [p] ⁺ , grupo cíclico Z _p , de orden p , generado por un ángulo de rotación de π / p .

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una duplicación automórfica de la simetría mediante la adición de un espejo bisectriz al dominio fundamental . Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, bajando a una dimensión, el grupo apeirogonal completo se obtiene cuando el ángulo tiende a cero, por lo que [∞], abstractamente el grupo diedro infinito D _∞ , representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter.. El grupo apeirogonal [∞] ⁺ ,, de manera abstracta, el grupo cíclico infinito Z _∞ , isomorfo al grupo aditivo de los números enteros , se genera mediante una única traslación distinta de cero.

En el plano hiperbólico, hay un grupo pseudogonal completo [ iπ/λ ], y un subgrupo pseudogonal [ iπ/λ ] ⁺ ,Estos grupos existen en polígonos regulares de lados infinitos, con una longitud de arista λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea.

Grupos de tres rangos

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar en notación entre corchetes relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:

En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], abstractamente Z ₂³ , orden 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados).). También se puede representar como un producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

En primer lugar, existe un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico , [2,2 ⁺ ] (o), de manera abstracta Z ₂ × Z ₂ , de orden 4. Cuando el superíndice + se da dentro de los corchetes, significa reflexiones generadas solo desde los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter,) se alternan. En general, los órdenes de ramificación vecinos al nodo + deben ser pares. En este caso [2,2 ⁺ ] y [2 ⁺ ,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararómbico [2,2] ⁺ (o), también de orden 4, y finalmente el grupo central [2 ⁺ ,2 ⁺ ] (o) de orden 2.

A continuación está el grupo ortogonal completo , [2,p] (), de manera abstracta Z ₂ ×D _{2 p} , de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/ p , y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También se representa mediante el diagrama de Coxeter como.

El subgrupo directo se llama grupo para- p -gonal, [2,p] ⁺ (o), de manera abstracta D _{2 p} , de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p ⁺ ] () de forma abstracta Z ₂ × Z _p , también de orden 2p.

El grupo giro-p-gonal completo , [2 ⁺ ,2 p ] (o), de manera abstracta D _{4 p} , de orden 4 p . El grupo giro- p -gonal, [2 ⁺ ,2p ⁺ ] (o), de manera abstracta Z _{2 p} , de orden 2 p es un subgrupo tanto de [2 ⁺ ,2 p ] como de [2,2 p ⁺ ].

Los grupos poliédricos se basan en la simetría de los sólidos platónicos : el tetraedro , el octaedro , el cubo , el icosaedro y el dodecaedro , con símbolos de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () llamada simetría tetraédrica completa , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , con órdenes de 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, las reflexiones alternas se pueden eliminar produciendo el tetraedro rotacional [3,3] ⁺ (), octaédrico [3,4] ⁺ (), y icosaédrica [3,5] ⁺ () grupos de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo de índice 2 único llamado grupo de simetría piritoédrica , [3 ⁺ ,4] (o), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y reflexiva. La simetría piritoédrica es también un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica:-->, con espejo virtual 1 en 0 , {010} y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3] (), tiene una duplicación [[3,3]] (que puede representarse mediante nodos coloreados), mapeando el primer y el último espejo entre sí, y esto produce el [3,4] (o) grupo. El subgrupo [3,4,1 ⁺ ] (o) es lo mismo que [3,3], y [3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (o) es lo mismo que [3,3] ⁺ .

Afín

En el plano euclidiano hay 3 grupos reflexivos fundamentales generados por 3 espejos, representados por diagramas de Coxeter.,, y, y se les da la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3,3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tienen una notación abreviada [3 ^[3] ].

[[4,4]] como una duplicación del grupo [4,4] produjo la misma simetría rotada π/4 del conjunto original de espejos.

Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4] ⁺ , [6,3] ⁺ , y [(3,3,3)] ⁺ . [4 ⁺ ,4] y [6,3 ⁺ ] son subgrupos semidirectos.

Dados en notación de Coxeter ( notación orbifold ), algunos subgrupos afines de índice bajo son:

Grupos de cuatro rangos

Grupos de puntos

Los grupos de rango cuatro definen los grupos de puntos de cuatro dimensiones :

Subgrupos

Grupos espaciales

Grupos de líneas

Los grupos de rango cuatro también definen los grupos de líneas tridimensionales :

Grupo duoprismático

Los grupos de rango cuatro definen los grupos duoprismáticos de cuatro dimensiones. En el límite, cuando p y q tienden al infinito, degeneran en dos dimensiones y en los grupos de papel tapiz.

Grupos de fondos de pantalla

Los grupos de rango cuatro también definieron algunos de los grupos de papel tapiz bidimensionales , como casos límite de los grupos de duoprismas de cuatro dimensiones:

Subgroups of [∞,2,∞], (*2222) can be expressed down to its index 16 commutator subgroup:

Complex reflections

Coxeter notation has been extended to Complex space, Cⁿ where nodes are unitary reflections of period 2 or greater. Nodes are labeled by an index, assumed to be 2 for ordinary real reflection if suppressed. Complex reflection groups are called Shephard groups rather than Coxeter groups, and can be used to construct complex polytopes.

In $\mathbb {C} ^{1}$ , a rank 1 Shephard group , order p, is represented as _p[ ], [ ]_p or ]_p[. It has a single generator, representing a 2π/p radian rotation in the Complex plane: $e^{2\pi i/p}$ .

Coxeter writes the rank 2 complex group, _p[q]_r represents Coxeter diagram . The p and r should only be suppressed if both are 2, which is the real case [q]. The order of a rank 2 group _p[q]_r is $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ .^[9]

The rank 2 solutions that generate complex polygons are: _p[4]₂ (p is 2,3,4,...), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, and ₅[4]₃ with Coxeter diagrams , , , , , , , , , , , , .

Infinite groups are ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄, and ₆[3]₆ or , , , , , , .

Index 2 subgroups exists by removing a real reflection: _p[2q]₂ → _p[q]_p. Also index r subgroups exist for 4 branches: _p[4]_r → _p[r]_p.

For the infinite family _p[4]₂, for any p = 2, 3, 4,..., there are two subgroups: _p[4]₂ → [p], index p, while and _p[4]₂ → _p[ ]×_p[ ], index 2.

Computation with reflection matrices as symmetry generators

A Coxeter group, represented by Coxeter diagram , is given Coxeter notation [p,q] for the branch orders. Each node in the Coxeter diagram represents a mirror, by convention called ρ_i (and matrix R_i). The generators of this group [p,q] are reflections: ρ₀, ρ₁, and ρ₂. Rotational subsymmetry is given as products of reflections: By convention, σ_0,1 (and matrix S_0,1) = ρ₀ρ₁ represents a rotation of angle π/p, and σ_1,2 = ρ₁ρ₂ is a rotation of angle π/q, and σ_0,2 = ρ₀ρ₂ represents a rotation of angle π/2.

[p,q]⁺, , is an index 2 subgroup represented by two rotation generators, each a products of two reflections: σ_0,1, σ_1,2, and representing rotations of π/p, and π/q angles respectively.

With one even branch, [p⁺,2q], or , is another subgroup of index 2, represented by rotation generator σ_0,1, and reflectional ρ₂.

With even branches, [2p⁺,2q⁺], , is a subgroup of index 4 with two generators, constructed as a product of all three reflection matrices: By convention as: ψ_0,1,2 and ψ_1,2,0, which are rotary reflections, representing a reflection and rotation or reflection.

In the case of affine Coxeter groups like , or , one mirror, usually the last, is translated off the origin. A translation generator τ_0,1 (and matrix T_0,1) is constructed as the product of two (or an even number of) reflections, including the affine reflection. A transreflection (reflection plus a translation) can be the product of an odd number of reflections φ_0,1,2 (and matrix V_0,1,2), like the index 4 subgroup : [4⁺,4⁺] = .

Another composite generator, by convention as ζ (and matrix Z), represents the inversion, mapping a point to its inverse. For [4,3] and [5,3], ζ = (ρ₀ρ₁ρ₂)^h/2, where h is 6 and 10 respectively, the Coxeter number for each family. For 3D Coxeter group [p,q] (), this subgroup is a rotary reflection [2⁺,h⁺].

Coxeter groups are categorized by their rank, being the number of nodes in its Coxeter-Dynkin diagram. The structure of the groups are also given with their abstract group types: In this article, the abstract dihedral groups are represented as Dih_n, and cyclic groups are represented by Z_n, with Dih₁=Z₂.

Rank 2

Example, in 2D, the Coxeter group [p] () is represented by two reflection matrices R₀ and R₁, The cyclic symmetry [p]⁺ () is represented by rotation generator of matrix S_0,1.

Rank 3

The finite rank 3 Coxeter groups are [1,p], [2,p], [3,3], [3,4], and [3,5].

To reflect a point through a plane $ax+by+cz=0$ (which goes through the origin), one can use $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ , where $\mathbf {I}$ is the 3×3 identity matrix and $\mathbf {N}$ is the three-dimensional unit vector for the vector normal of the plane. If the L2 norm of $a,b,$ and $c$ is unity, the transformation matrix can be expressed as:

\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]

[p,2]

The reducible 3-dimensional finite reflective group is dihedral symmetry, [p,2], order 4p, . The reflection generators are matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. [p,2]⁺ () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. An order p rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

[3,3]

The simplest irreducible 3-dimensional finite reflective group is tetrahedral symmetry, [3,3], order 24, . The reflection generators, from a D₃=A₃ construction, are matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. [3,3]⁺ () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. A trionic subgroup, isomorphic to [2⁺,4], order 8, is generated by S_0,2 and R₁. An order 4 rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

[4,3]

Another irreducible 3-dimensional finite reflective group is octahedral symmetry, [4,3], order 48, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. Chiral octahedral symmetry, [4,3]⁺, () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. Pyritohedral symmetry [4,3⁺], () is generated by reflection R₀ and rotation S_1,2. A 6-fold rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

[5,3]

A final irreducible 3-dimensional finite reflective group is icosahedral symmetry, [5,3], order 120, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. [5,3]⁺ () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. A 10-fold rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

Rank 4

There are 4 irreducible Coxeter groups in 4 dimensions: [3,3,3], [4,3,3], [3^1,1,1], [3,4,4], [5,3,3], as well as an infinite family of duoprismatic groups [p,2,q].

[p,2,q]

The duprismatic group, [p,2,q], has order 4pq.

[[p,2,p]]

The duoprismatic group can double in order, to 8p², with a 2-fold rotation between the two planes.

[3,3,3]

Hypertetrahedral symmetry, [3,3,3], order 120, is easiest to represent with 4 mirrors in 5-dimensions, as a subgroup of [4,3,3,3].

[[3,3,3]]

The extended group [[3,3,3]], order 240, is doubled by a 2-fold rotation matrix T, here reversing coordinate order and sign: There are 3 generators {T, R₀, R₁}. Since T is self-reciprocal R₃=TR₀T, and R₂=TR₁T.

[4,3,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is hyperoctahedral group (or hexadecachoric group (for 16-cell), B₄=[4,3,3], order 384, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral hyperoctahedral symmetry, [4,3,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Hyperpyritohedral symmetry [4,(3,3)⁺], () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. An 8-fold double rotation is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[3,3^1,1]

A half group of [4,3,3] is [3,3^1,1], , order 192. It shares 3 generators with [4,3,3] group, but has two copies of an adjacent generator, one reflected across the removed mirror.

[3,4,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is Icositetrachoric group (for 24-cell), F₄=[3,4,3], order 1152, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral icositetrachoric symmetry, [3,4,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Ionic diminished [3,4,3⁺] group, () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. A 12-fold double rotation is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[[3,4,3]]

The group [[3,4,3]] extends [3,4,3] by a 2-fold rotation, T, doubling order to 2304.

[5,3,3]

The hyper-icosahedral symmetry, [5,3,3], order 14400, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²=Identity. [5,3,3]⁺ () is generated by 3 rotations: S_0,1 = R₀×R₁, S_1,2 = R₁×R₂, S_2,3 = R₂×R₃, etc.

Rank 8

[3^4,2,1]

The E8 Coxeter group, [3^4,2,1], , has 8 mirror nodes, order 696729600 (192x10!). E7 and E6, [3^3,2,1], , and [3^2,2,1], can be constructed by ignoring the first mirror or the first two mirrors respectively.

Affine rank 2

Affine matrices are represented by adding an extra row and column, the last row being zero except last entry 1. The last column represents a translation vector.

[∞]

The affine group [∞], , can be given by two reflection matrices, x=0 and x=1.

Affine rank 3

[4,4]

The affine group [4,4], , (p4m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), a diagonal (x=y), and the affine reflection across the line (x=1). [4,4]⁺ () (p4) is generated by S_0,1 S_1,2, and S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) is generated by 2-fold rotation S_0,2 and glide reflection (transreflection) V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) is generated by S_0,1 and R₃. The group [(4,4,2⁺)] () (cmm), is generated by 2-fold rotation S_1,3 and reflection R₂.

[3,6]

The affine group [3,6], , (p6m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), line y=(√3/2)x, and vertical line x=1.

[3^[3]]

The affine group [3^[3]] can be constructed as a half group of . R₂ is replaced by R'₂ = R₂×R₁×R₂, presented by the hyperplane: y+(√3/2)x=2. The fundamental domain is an equilateral triangle with edge length 2.

Affine rank 4

[4,3,4]

The affine group is [4,3,4] (), can be given by four reflection matrices. Mirror R₀ can be put on z=0 plane. Mirror R₁ can be put on plane y=z. Mirror R₂ can be put on x=y plane. Mirror R₃ can be put on x=1 plane. [4,3,4]⁺ () is generated by S_0,1, S_1,2, and S_2,3.

[[4,3,4]]

The extended group [[4,3,4]] doubles the group order, adding with a 2-fold rotation matrix T, with a fixed axis through points (1,1/2,0) and (1/2,1/2,1/2). The generators are {R₀,R₁,T}. R₂ = T×R₁×T and R₃ = T×R₀×T.

[4,3^1,1]

The group [4,3^1,1] can be constructed from [4,3,4], by computing [4,3,4,1⁺], , as R'₃=R₃×R₂×R₃, with new R'₃ as an image of R₂ across R₃.

[3^[4]]

The group [3^[4]] can be constructed from [4,3,4], by removing first and last mirrors, [1⁺,4,3,4,1⁺], , by R'₁=R₀×R₁×R₀ and R'₃=R₃×R₂×R₃.

Notes

^ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups
^ a b Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space
^ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup
^ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups
^ Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II
^ Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126
^ Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). "Quaternionic modular groups". Linear Algebra and Its Applications. 295 (1–3): 159–189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.
^ The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

References

H.S.M. Coxeter:
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
  - (Paper 22) Coxeter, H.S.M. (1940), "Regular and Semi Regular Polytopes I", Math. Z., 46: 380–407, doi:10.1007/bf01181449, S2CID 186237114
  - (Paper 23) Coxeter, H.S.M. (1985), "Regular and Semi-Regular Polytopes II", Math. Z., 188 (4): 559–591, doi:10.1007/bf01161657, S2CID 120429557
  - (Paper 24) Coxeter, H.S.M. (1988), "Regular and Semi-Regular Polytopes III", Math. Z., 200: 3–45, doi:10.1007/bf01161745, S2CID 186237142
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
- Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups Archived 2023-03-26 at the Wayback Machine PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
- N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 [3] PDF
Conway, John Horton ; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "Sobre grupos espaciales tridimensionales", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, SEÑOR 1865535
John H. Conway y Derek A. Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 Cap. 22 35 grupos espaciales primos , cap. 25 184 grupos espaciales compuestos , cap. 26 Más arriba , grupos puntuales 4D

Notación de Coxeter

Grupos de reflexión

Grupos desconectados

Rango y dimensión

Subgrupos

Reducir a la mitad subgrupos y grupos extendidos

Subgrupos radicales

Subgrupos triónicos

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica

Inversión central

Rotaciones y reflexiones rotatorias

Subgrupos de conmutadores

Ejemplos de subgrupos

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Subgrupos de ejemplo euclidianos de rango 3

Subgrupos de ejemplo hiperbólicos

Subgrupos parabólicos

Subgrupo de Petrie

Simetría extendida

Grupos de primer rango

Clasifique dos grupos

Grupos de tres rangos

Afín

Grupos de cuatro rangos

Grupos de puntos

Subgrupos

Grupos espaciales

Grupos de líneas

Grupo duoprismático

Grupos de fondos de pantalla

Complex reflections

Computation with reflection matrices as symmetry generators

Rank 2

Rank 3

[p,2]

[3,3]

[4,3]

[5,3]

Rank 4

[p,2,q]

[[p,2,p]]

[3,3,3]

[[3,3,3]]

[4,3,3]

[3,31,1]

[3,4,3]

[[3,4,3]]

[5,3,3]

Rank 8

[34,2,1]

Affine rank 2

[∞]

Affine rank 3

[4,4]

[3,6]

[3[3]]

Affine rank 4

[4,3,4]

[[4,3,4]]

[4,31,1]

[3[4]]

Notes

References

[3,3^1,1]

[3^4,2,1]

[3^[3]]

[4,3^1,1]

[3^[4]]