Variedad afín

En geometría diferencial , una variedad afín es una variedad diferenciable equipada con una conexión plana y libre de torsión .

De manera equivalente, es una variedad que está (si está conexa) cubierta por un subconjunto abierto de , con monodromía actuando por transformaciones afines . Esta equivalencia es un corolario fácil del teorema de Cartan–Ambrose–Hicks . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

De manera equivalente, es una variedad equipada con un atlas, llamado estructura afín , de modo que todas las funciones de transición entre cartas son transformaciones afines (es decir, tienen una matriz jacobiana constante); ^[1] dos atlas son equivalentes si la variedad admite un atlas subyugado a ambos, siendo afines las transiciones de ambos atlas a un atlas más pequeño. Una variedad que tiene una estructura afín distinguida se llama variedad afín y las cartas que están relacionadas afínmente con las de la estructura afín se llaman cartas afines . En cada dominio de coordenadas afines, los campos de vectores de coordenadas forman una paralelización de ese dominio, por lo que hay una conexión asociada en cada dominio. Estas conexiones definidas localmente son las mismas en las partes superpuestas, por lo que hay una conexión única asociada con una estructura afín. Nótese que hay un vínculo entre la conexión lineal (también llamada conexión afín ) y una red .

Definición formal

Una variedad afín es una variedad real con gráficos tales que para todo donde denota el grupo de Lie de transformaciones afines. En palabras más elegantes, es una variedad (G, X) donde y es el grupo de transformaciones afines. ${\displaystyle M\,}$ ${\displaystyle \psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle i,j\,,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$

Una variedad afín se llama completa si su recubrimiento universal es homeomorfo a . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

En el caso de una variedad afín compacta , sea el grupo fundamental de y su recubrimiento universal . Se puede demostrar que cada variedad afín -dimensional viene con una función en desarrollo , y un homomorfismo , tal que es una inmersión y equivariante con respecto a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varphi }$

Un grupo fundamental de una variedad afín plana completa compacta se denomina grupo cristalográfico afín . La clasificación de los grupos cristalográficos afines es un problema difícil, lejos de ser resuelto. Los grupos cristalográficos de Riemann (también conocidos como grupos de Bieberbach ) fueron clasificados por Ludwig Bieberbach , respondiendo a una pregunta planteada por David Hilbert . En su trabajo sobre el 18.º problema de Hilbert , Bieberbach demostró que cualquier grupo cristalográfico de Riemann contiene un subgrupo abeliano de índice finito.

Conjeturas importantes de larga data

La geometría de variedades afines es esencialmente una red de conjeturas de larga data; la mayoría de ellas probadas en baja dimensión y en algunos otros casos especiales.

Los más importantes de ellos son:

• Conjetura de Markus (1962) que establece que una variedad afín compacta es completa si y sólo si tiene volumen paralelo. Conocida en dimensión 2.
• Conjetura de Auslander (1964) ^{[2] [3]} que establece que cualquier grupo cristalográfico afín contiene un subgrupo policíclico de índice finito . Conocido en dimensiones de hasta 6, ^[4] y cuando la holonomía de la conexión plana conserva una métrica de Lorentz . ^[5] Dado que cada grupo cristalográfico virtualmente policíclico conserva una forma de volumen, la conjetura de Auslander implica la parte "sólo si" de la conjetura de Markus. ^[6]
• Conjetura de Chern (1955) La clase de Euler de una variedad afín se desvanece. ^[7]

Notas

1. Bishop y Goldberg 1968, págs. 223-224.
2. Auslander, Louis (1964). "La estructura de variedades afines localmente completas". Topología . 3 (Suplemento 1): 131–139. doi : 10.1016/0040-9383(64)90012-6 .
3. Fried, Davis; Goldman, William M. (1983). "Grupos cristalográficos afines tridimensionales". Avances en Matemáticas . 47 (1): 1–49. doi : 10.1016/0001-8708(83)90053-1 .
4. Abels, Herbert; Margulis, Grigori A.; Soifer, Grigori A. (2002). "Sobre el cierre de Zariski de la parte lineal de un grupo propiamente discontinuo de transformaciones afines". Journal of Differential Geometry . 60 (2): 315–344. doi : 10.4310/jdg/1090351104 .
5. Goldman, William M.; Kamishima, Yoshinobu (1984). "El grupo fundamental de una forma espacial plana compacta de Lorentz es virtualmente policíclico". Journal of Differential Geometry . 19 (1): 233–240. doi : 10.4310/jdg/1214438430 .
6. Abels, Herbert (2001). "Grupos propiamente discontinuos de transformaciones afines: un estudio". Geometriae Dedicata . 87 : 309–333. doi : 10.1023/A:1012019004745 .
7. Kostant, Bertram ; Sullivan, Dennis (1975). "La característica de Euler de una forma espacial afín es cero". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 81 (5): 937–938. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13896-1 .

Referencias

• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), Geometría diferencial afín , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44177-3
• Sharpe, Richard W. (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Bishop, Richard L. ; Goldberg, Samuel I. (1968). Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.