El decimoctavo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert incluidos en una célebre lista compilada en 1900 por el matemático David Hilbert . Plantea tres cuestiones independientes sobre redes y empaquetamiento de esferas en el espacio euclidiano. [1]
La primera parte del problema plantea la pregunta de si en el espacio euclidiano de dimensión 1 sólo hay un número finito de grupos espaciales esencialmente diferentes. Bieberbach respondió afirmativamente a esta pregunta .
La segunda parte del problema plantea la pregunta de si existe un poliedro que forme mosaicos en el espacio euclidiano tridimensional pero que no sea la región fundamental de ningún grupo espacial; es decir, que forme mosaicos pero que no admita un mosaico isoédrico ( transitivo de mosaicos ). Tales mosaicos se conocen ahora como anisoédricos . Al plantear el problema en tres dimensiones, Hilbert probablemente estaba asumiendo que no existe tal mosaico en dos dimensiones; esta suposición más tarde resultó ser incorrecta.
El primer mosaico de este tipo en tres dimensiones fue encontrado por Karl Reinhardt en 1928. El primer ejemplo en dos dimensiones fue encontrado por Heesch en 1935. [2] El problema de Einstein relacionado pide una forma que pueda revestir el espacio pero no con un grupo cíclico infinito de simetrías.
La tercera parte del problema busca el empaquetamiento más denso de esferas o de otras formas especificadas. Aunque incluye expresamente formas distintas de las esferas, generalmente se considera equivalente a la conjetura de Kepler .
En 1998, el matemático estadounidense Thomas Callister Hales presentó una prueba asistida por computadora de la conjetura de Kepler. Muestra que la forma más eficiente en términos de espacio de empaquetar esferas es en forma de pirámide. [3]
