forma diagonal

Tipo de polinomio homogéneo

En matemáticas , una forma diagonal es una forma algebraica ( polinomio homogéneo ) sin términos cruzados que impliquen diferentes indeterminados . Es decir, es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

para algún grado dado m .

Tales formas F , y las hipersuperficies F = 0 que definen en el espacio proyectivo , son muy especiales en términos geométricos, con muchas simetrías. También incluyen casos famosos como las curvas de Fermat , y otros ejemplos muy conocidos de la teoría de las ecuaciones diofánticas .

Se ha trabajado mucho sobre su teoría: geometría algebraica , funciones zeta locales mediante sumas de Jacobi , método del círculo de Hardy-Littlewood .

Ejemplos

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$es el círculo unitario en P ²

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$es la hipérbola unitaria en P ² .

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$da la superficie cúbica de Fermat en P ³ con 27 líneas. Las 27 líneas de este ejemplo son fáciles de describir explícitamente: son las 9 líneas de la forma ( x  : ax  : y  : by ) donde a y b son números fijos con cubo −1, y sus 18 conjugados bajo permutaciones de coordenadas.

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$da una superficie K3 en P ³ .