curva de Fermat

La superficie cúbica de Fermat ${\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}}$

En matemáticas , la curva de Fermat es la curva algebraica en el plano proyectivo complejo definido en coordenadas homogéneas ( X : Y : Z ) por la ecuación de Fermat:

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

Por tanto, en términos del plano afín su ecuación es:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

Una solución entera de la ecuación de Fermat correspondería a una solución de números racionales distintos de cero de la ecuación afín, y viceversa. Pero por el último teorema de Fermat ahora se sabe que (para n  > 2) no hay soluciones enteras no triviales para la ecuación de Fermat; por tanto, la curva de Fermat no tiene puntos racionales no triviales.

La curva de Fermat no es singular y tiene género :

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

Esto significa género 0 para el caso n = 2 (una cónica ) y género 1 solo para n = 3 (una curva elíptica ). Se ha estudiado en profundidad la variedad jacobiana de la curva de Fermat. Es isógeno a un producto de variedades abelianas simples con multiplicación compleja .

La curva de Fermat también tiene gonalidad :

${\displaystyle n-1.\ }$

Variedades Fermat

Las ecuaciones estilo Fermat en más variables definen como variedades proyectivas las variedades Fermat .

Estudios relacionados

• Panadero, Mateo; González-Jiménez, Enrique; González, Josep; Poonen, Bjorn (2005), "Resultados de finitud para curvas modulares de género al menos 2", American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325–1387, arXiv : math/0211394 , doi :10.1353/ajm.2005.0037, JSTOR  40068023 , S2CID  8578601
• Bruto, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978), "Algunos resultados sobre el grupo Mordell-Weil del jacobiano de la curva de Fermat" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi :10.1007/BF01403161, S2CID  121819622 , archivado desde el original (PDF) el 13 de julio de 2011
• Klassen, Mateo J.; Debarre, Olivier (1994), "Puntos de bajo grado en curvas planas suaves", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81–88, arXiv : alg-geom/9210004 , doi :10.1515/crll.1994.446 .81, S2CID  7967465
• Tzermias, Pavlos (2004), "Puntos de bajo grado en las curvas de Hurwitz-Klein", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 356 (3): 939–951, doi : 10.1090/S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR  1195002