En matemáticas , la gonalidad de una curva algebraica C se define como el grado más bajo de una aplicación racional no constante desde C hasta la línea proyectiva . En términos más algebraicos, si C se define sobre el campo K y K ( C ) denota el campo funcional de C , entonces la gonalidad es el valor mínimo tomado por los grados de extensiones de campo.
del campo de función sobre sus subcampos generados por funciones individuales f .
Si K es algebraicamente cerrado, entonces la gonalidad es 1 precisamente para curvas de género 0. La gonalidad es 2 para curvas de género 1 ( curvas elípticas ) y para curvas hiperelípticas (esto incluye todas las curvas de género 2). Para el género g ≥ 3 ya no se da el caso de que el género determine la gonalidad. La gonalidad de la curva genérica de género g es la función suelo de
Las curvas trigonales son aquellas que tienen gonalidad 3, y este caso dio origen al nombre en general. Las curvas trigonales incluyen las curvas de Picard, de género tres y dadas por una ecuación
donde Q es de grado 4.
La conjetura de gonalidad , de M. Green y R. Lazarsfeld, predice que la gonalidad de la curva algebraica C puede calcularse por medios de álgebra homológica , a partir de una resolución mínima de un haz invertible de alto grado. En muchos casos la gonalidad es dos más que el índice de Clifford . La conjetura de Green-Lazarsfeld es una fórmula exacta en términos de los números de Betti graduados para un grado d de incrustación en r dimensiones, para d grande con respecto al género. Escribiendo b ( C ), con respecto a una determinada incrustación de C y la resolución libre mínima para su anillo de coordenadas homogéneo , para el índice mínimo i para el cual β i , i + 1 es cero, entonces la fórmula conjeturada para la gonalidad es
Según la charla ICM de 1900 de Federico Amodeo , la noción (pero no la terminología) se originó en la Sección V de la Teoría de las funciones abelianas de Riemann . Amodeo utilizó el término "gonalità" ya en 1893.