En matemáticas , una suma de Jacobi es un tipo de suma de caracteres formada con caracteres de Dirichlet . Ejemplos simples serían las sumas de Jacobi J ( χ , ψ ) para los caracteres de Dirichlet χ , ψ módulo de un número primo p , definido por
donde la suma abarca todos los residuos a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (para los cuales ni a ni 1 − a son 0). Las sumas de Jacobi son análogas a los campos finitos de la función beta . Estas sumas fueron introducidas por CGJ Jacobi a principios del siglo XIX en relación con la teoría de la ciclotomía . Las sumas de Jacobi J se pueden descomponer genéricamente en productos de potencias de sumas de Gauss g . Por ejemplo, cuando el carácter χψ no es trivial,
análoga a la fórmula de la función beta en términos de funciones gamma . Dado que las sumas no triviales de Gauss g tienen valor absoluto p 1 ⁄ 2 , se deduce que J ( χ , ψ ) también tiene valor absoluto p 1 ⁄ 2 cuando los caracteres χψ , χ , ψ no son triviales. Las sumas de Jacobi J se encuentran en campos ciclotómicos más pequeños que las no triviales sumas de Gauss g . Los sumandos de J ( χ , ψ ), por ejemplo, no involucran una p - ésima raíz de la unidad , sino que involucran solo valores que se encuentran en el campo ciclotómico de ( p -1) -ésimas raíces de la unidad. Al igual que las sumas de Gauss, las sumas de Jacobi han conocido factorizaciones ideales primas en sus campos ciclotómicos; ver teorema de Stickelberger .
Cuando χ es el símbolo de Legendre ,
En general, los valores de las sumas de Jacobi ocurren en relación con las funciones zeta locales de formas diagonales . El resultado en el símbolo de Legendre equivale a la fórmula p + 1 para el número de puntos en una sección cónica que es una línea proyectiva sobre el campo de p elementos. Un artículo de André Weil de 1949 revivió mucho el tema. De hecho, a través de la relación Hasse-Davenport de finales del siglo XX, las propiedades formales de las potencias de las sumas de Gauss habían vuelto a estar vigentes una vez más.
Además de señalar la posibilidad de escribir funciones zeta locales para hipersuperficies diagonales mediante sumas generales de Jacobi, Weil (1952) demostró las propiedades de las sumas de Jacobi como caracteres de Hecke . Esto iba a adquirir importancia una vez que se estableció la compleja multiplicación de variedades abelianas . Los caracteres de Hecke en cuestión eran exactamente los que se necesitan para expresar las funciones L de Hasse-Weil de las curvas de Fermat , por ejemplo. Los conductores exactos de estos personajes, una cuestión que Weil había dejado abierta, se determinaron en trabajos posteriores.
