En matemáticas , una suma de Jacobi es un tipo de suma de caracteres formada con caracteres de Dirichlet . Ejemplos simples serían las sumas de Jacobi J ( χ , ψ ) para los caracteres de Dirichlet χ , ψ módulo un número primo p , definido por
donde la suma se ejecuta sobre todos los residuos a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (para los cuales ni a ni 1 − a son 0). Las sumas de Jacobi son análogas para cuerpos finitos de la función beta . Dichas sumas fueron introducidas por CGJ Jacobi a principios del siglo XIX en conexión con la teoría de la ciclotomía . Las sumas de Jacobi J se pueden factorizar genéricamente en productos de potencias de sumas de Gauss g . Por ejemplo, cuando el carácter χψ no es trivial,
análoga a la fórmula para la función beta en términos de funciones gamma . Puesto que las sumas de Gauss no triviales g tienen valor absoluto p 1 ⁄ 2 , se deduce que J ( χ , ψ ) también tiene valor absoluto p 1 ⁄ 2 cuando los caracteres χψ , χ , ψ no son triviales. Las sumas de Jacobi J se encuentran en campos ciclotómicos más pequeños que las sumas de Gauss no triviales g . Los sumandos de J ( χ , ψ ) , por ejemplo, no implican ninguna raíz p ésima de la unidad , sino que implican simplemente valores que se encuentran en el campo ciclotómico de las raíces ( p − 1) ésimas de la unidad. Al igual que las sumas de Gauss, las sumas de Jacobi tienen factorizaciones ideales primas conocidas en sus campos ciclotómicos; véase el teorema de Stickelberger .
Cuando χ es el símbolo de Legendre ,
En general, los valores de las sumas de Jacobi se dan en relación con las funciones zeta locales de las formas diagonales . El resultado del símbolo de Legendre equivale a la fórmula p + 1 para el número de puntos de una sección cónica que es una línea proyectiva sobre el cuerpo de p elementos. Un artículo de André Weil de 1949 revivió mucho el tema. De hecho, a través de la relación de Hasse-Davenport de finales del siglo XX, las propiedades formales de las potencias de las sumas de Gauss habían vuelto a cobrar actualidad.
Además de señalar la posibilidad de escribir funciones zeta locales para hipersuperficies diagonales por medio de sumas generales de Jacobi, Weil (1952) demostró las propiedades de las sumas de Jacobi como caracteres de Hecke . Esto iba a ser importante una vez que se estableció la multiplicación compleja de variedades abelianas . Los caracteres de Hecke en cuestión eran exactamente los que se necesitan para expresar las funciones L de Hasse-Weil de las curvas de Fermat , por ejemplo. Los conductores exactos de estos caracteres, una cuestión que Weil había dejado abierta, se determinaron en trabajos posteriores.
