Teorema de Stickelberger

Proporciona información sobre la estructura del módulo Galois de grupos de clases de campos ciclotómicos.

En matemáticas , el teorema de Stickelberger es el resultado de la teoría algebraica de números , que proporciona cierta información sobre la estructura del módulo de Galois de los grupos de clases de campos ciclotómicos . Ernst Kummer (1847) demostró por primera vez un caso especial , mientras que el resultado general se debe a Ludwig Stickelberger (1890). ^[1]

El elemento Stickelberger y el ideal Stickelberger

Sea Km el _m - ésimo campo ciclotómico , es decir, la extensión de los números racionales obtenidos al unir las m - ésimas raíces de la unidad (donde m ≥ 2 es un número entero). Es una extensión de Galois con grupo de Galois G _m isomorfo al grupo multiplicativo de números enteros módulo m ( / m ) ^× . El elemento de Stickelberger ( de nivel mo de K m ₎ es un elemento en el anillo de grupo [ G _m ] y el ideal de Stickelberger ( de nivel mo de K _m ) es un ideal en el anillo de grupo [ G _m ] . Se definen de la siguiente manera. Sea ζ _m una raíz m primitiva de la unidad . El isomorfismo de ( / m ) ^× a G _m viene dado enviando a a σ _a definido por la relación ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a}}$.

El elemento Stickelberger de nivel m se define como

${\displaystyle \theta (K_{m})={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{m}].}$

El ideal de Stickelberger de nivel m , denotado I ( K _m ) , es el conjunto de múltiplos integrales de θ ( K _m ) que tienen coeficientes integrales, es decir

${\displaystyle I(K_{m})=\theta (K_{m})\mathbb {Z} [G_{m}]\cap \mathbb {Z} [G_{m}].}$

De manera más general, si F es cualquier campo numérico abeliano cuyo grupo de Galois se denota como _GF , entonces se pueden definir el elemento de Stickelberger de F y el ideal de Stickelberger de F. Según el teorema de Kronecker-Weber, existe un número entero m tal que F está contenido en K _m . Fije el menor m (esta es la (parte finita del) conductor de F sobre ). Existe un homomorfismo de grupo natural G _m → G _F dado por restricción, es decir, si σ ∈ G _m , su imagen en G _F es su restricción a F denotada res _m σ . El elemento de Stickelberger de F se define entonces como ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \theta (F)={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \mathrm {res} _{m}\sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{F}].}$

El ideal de Stickelberger de F , denotado I ( F ) , se define como en el caso de K _m , es decir

${\displaystyle I(F)=\theta (F)\mathbb {Z} [G_{F}]\cap \mathbb {Z} [G_{F}].}$

En el caso especial donde F = K _m , el ideal de Stickelberger I ( K _m ) se genera por ( a − σ _a ) θ ( K _m ) cuando a varía sobre / m . Esto no es cierto para el general F . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplos

Si F es un campo totalmente real del conductor m , entonces ^[3]

${\displaystyle \theta (F)={\frac {\varphi (m)}{2[F:\mathbb {Q} ]}}\sum _{\sigma \in G_{F}}\sigma ,}$

donde φ es la función totiente de Euler y [ F  : ] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es el grado de F sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Declaración del teorema

Teorema de Stickelberger ^[4]
Sea F un cuerpo numérico abeliano. Entonces, el ideal de Stickelberger de F aniquila el grupo de clases de F.

Tenga en cuenta que θ ( F ) en sí no tiene por qué ser un aniquilador, pero cualquier múltiplo de él en [ G _F ] sí lo es. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Explícitamente, el teorema dice que si α ∈ [ G _F ] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es tal que

${\displaystyle \alpha \theta (F)=\sum _{\sigma \in G_{F}}a_{\sigma }\sigma \in \mathbb {Z} [G_{F}]}$

y si J es cualquier ideal fraccionario de F , entonces

${\displaystyle \prod _{\sigma \in G_{F}}\sigma \left(J^{a_{\sigma }}\right)}$

es un ideal principal .

Ver también

• Fórmula de Gross-Koblitz
• Teorema de Herbrand-Ribet
• teorema de thaine
• suma jacobi
• Suma de Gauss

Notas

1. Washington 1997, Notas al capítulo 6
2. Washington 1997, Lema 6.9 y los comentarios que le siguen
3. Washington 1997, §6.2
4. Washington 1997, teorema 6.10

Referencias

• Cohen, Henri (2007). Teoría de números - Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 239. Springer-Verlag . págs. 150-170. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl  1119.11001.
• Boas Erez, Darstellungen von Gruppen in der Algebraischen Zahlentheorie: eine Einführung
• Frohlich, A. (1977). "Stickelberger sin sumas de Gauss". En Fröhlich, A. (ed.). Campos de números algebraicos, Proc. Síntoma. Matemáticas de Londres. Soc., Univ. Durham 1975 . Prensa académica. págs. 589–607. ISBN 0-12-268960-7. Zbl  0376.12002.
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 84 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1. SEÑOR  1070716.
• Kummer, Ernst (1847), "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1847 (35): 327–367, doi :10.1515/crll.1847.35.327 , S2CID  123230326
• Stickelberger, Ludwig (1890), "Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung", Mathematische Annalen , 37 (3): 321–367, doi :10.1007/bf01721360, JFM  22.0100.01, MR  1510649, S2CID  121239748
• Washington, Lawrence (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, SEÑOR  1421575

enlaces externos

• Página PlanetMath