Teorema de Thaine

Análogo del teorema de Stickelberger para campos abelianos reales

En matemáticas, el teorema de Thaine es un análogo del teorema de Stickelberger para cuerpos abelianos reales, introducido por Thaine (1988). El método de Thaine se ha utilizado para abreviar la prueba del teorema de Mazur-Wiles (Washington 1997), para demostrar que algunos grupos de Tate-Shafarevich son finitos y en la prueba del teorema de Mihăilescu (Schoof 2008).

Formulación

Sean y primos impares distintos que no dividen a . Sea el grupo de Galois de sobre , sea su grupo de unidades, sea el subgrupo de unidades ciclotómicas y sea su grupo de clases. Si se aniquila, entonces se aniquila a . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle G^{+}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (\zeta _{p}^{+})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Cl^{+}}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Z} [G^{+}]}$ ${\displaystyle E/CE^{q}}$ ${\displaystyle Cl^{+}/Cl^{+q}}$

Referencias

• Schoof, René (2008), La conjetura del catalán , Universitext, Londres: Springer-Verlag London, Ltd., ISBN 978-1-84800-184-8, Sr.  2459823Véase en particular el Capítulo 14 (págs. 91-94) para el uso del teorema de Thaine para demostrar el teorema de Mihăilescu , y el Capítulo 16 "Teorema de Thaine" (págs. 107-115) para la prueba de un caso especial del teorema de Thaine.
• Thaine, Francisco (1988), "Sobre los grupos de clases ideales de cuerpos de números abelianos reales" , Annals of Mathematics , 2.ª ser., 128 (1): 1–18, doi :10.2307/1971460, JSTOR  1971460, MR  0951505
• Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94762-0, Sr.  1421575Véase en particular el Capítulo 15 (págs. 332-372) para el teorema de Thaine (sección 15.2) y su aplicación al teorema de Mazur-Wiles .