Cada extensión abeliana finita de Q está contenida dentro de algún campo ciclotómico
En teoría algebraica de números , se puede demostrar que cada campo ciclotómico es una extensión abeliana del campo de números racionales Q , teniendo un grupo de Galois de la forma . El teorema de Kronecker-Weber proporciona una inversa parcial: cada extensión abeliana finita de Q está contenida dentro de algún campo ciclotómico. En otras palabras, todo entero algebraico cuyo grupo de Galois sea abeliano puede expresarse como una suma de raíces de la unidad con coeficientes racionales. Por ejemplo,![{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y![{\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El teorema lleva el nombre de Leopold Kronecker y Heinrich Martin Weber .
Formulación de teoría de campo.
El teorema de Kronecker-Weber se puede expresar en términos de campos y extensiones de campos . Precisamente, el teorema de Kronecker-Weber establece: toda extensión abeliana finita de los números racionales Q es un subcampo de un campo ciclotómico. Es decir, siempre que un campo numérico algebraico tiene un grupo de Galois sobre Q que es un grupo abeliano , el campo es un subcampo de un campo obtenido al unir una raíz de la unidad a los números racionales.
Para una extensión abeliana dada K de Q existe un campo ciclotómico mínimo que la contiene. El teorema permite definir el conductor de K como el entero más pequeño n tal que K se encuentra dentro del campo generado por la n -ésima raíz de la unidad. Por ejemplo los campos cuadráticos tienen como conductor el valor absoluto de su discriminante , hecho generalizado en la teoría de campos de clases .
Historia
El teorema fue expuesto por primera vez por Kronecker (1853), aunque su argumento no estaba completo para extensiones de grado una potencia de 2. Weber (1886) publicó una demostración, pero tenía algunas lagunas y errores que fueron señalados y corregidos por Neumann (1981). ). La primera prueba completa la dio Hilbert (1896).
Generalizaciones
Lubin y Tate (1965, 1966) demostraron el teorema local de Kronecker-Weber que establece que cualquier extensión abeliana de un campo local puede construirse utilizando extensiones ciclotómicas y extensiones de Lubin-Tate . Hazewinkel (1975), Rosen (1981) y Lubin (1981) dieron otras pruebas.
El duodécimo problema de Hilbert pide generalizaciones del teorema de Kronecker-Weber para campos base distintos de los números racionales, y pide analogías de las raíces de la unidad para esos campos. La teoría de campos de clases ofrece un enfoque diferente a las extensiones abelianas .
Referencias
- Ghate, Eknath (2000), "El teorema de Kronecker-Weber" (PDF) , en Adhikari, SD; Katré, SA; Thakur, Dinesh (eds.), Campos ciclotómicos y temas relacionados (Pune, 1999) , Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, págs. 135-146, MR 1802379
- Greenberg, MJ (1974). "Una prueba elemental del teorema de Kronecker-Weber". Mensual Matemático Estadounidense . 81 (6): 601–607. doi :10.2307/2319208. JSTOR 2319208.
- Hazewinkel, Michiel (1975), "La teoría de campos de clases locales es fácil" (PDF) , Avances en Matemáticas , 18 (2): 148–181, doi : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 , ISSN 0001-8708 , señor 0389858
- Hilbert, David (1896), "Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper.", Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (en alemán): 29–39
- Kronecker, Leopold (1853), "Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen", Berlín K. Akad. Wiss. (en alemán): 365–374, ISBN 9780821849828, Obras completas volumen 4
- Kronecker, Leopold (1877), "Über Abelsche Gleichungen", Berlín K. Akad. Wiss. (en alemán): 845–851, ISBN 9780821849828, Obras completas volumen 4
- Lemmermeyer, Franz (2005), "Kronecker-Weber via Stickelberger", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 17 (2): 555–558, arXiv : 1108.5671 , doi :10.5802/jtnb.507, ISSN 1246-7405, SEÑOR 2211307
- Lubin, Jonathan (1981), "El teorema local de Kronecker-Weber", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 267 (1): 133–138, doi : 10.2307/1998574 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1998574, SEÑOR 0621978
- Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), "Multiplicación compleja formal en campos locales", Annals of Mathematics , segunda serie, 81 (2): 380–387, doi :10.2307/1970622, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970622, MR 0172878
- Lubin, Jonathan; Tate, John (1966), "Módulos formales para grupos de Lie formales de un parámetro", Bulletin de la Société Mathématique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033/bsmf.1633 , ISSN 0037-9484, MR 0238854
- Neumann, Olaf (1981), "Dos pruebas del teorema de Kronecker-Weber" según Kronecker y Weber"", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 323 (323): 105–126, doi :10.1515/crll.1981.323 .105, ISSN 0075-4102, SEÑOR 0611446
- Rosen, Michael (1981), "Una prueba elemental del teorema local de Kronecker-Weber", Transactions of the American Mathematical Society , 265 (2): 599–605, doi : 10.2307/1999753 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1999753, Señor 0610968
- Šafarevič, IR (1951), Una nueva prueba del teorema de Kronecker-Weber, Trudy Mat. Inst. Steklov. (en ruso), vol. 38, Moscú: Izdat. Akád. Nauk SSSR, págs. 382–387, SEÑOR 0049233
- Schappacher, Norbert (1998), "Sobre la historia del duodécimo problema de Hilbert: una comedia de errores", Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX e siècle (Niza, 1996) , Sémin. Congreso, vol. 3, París: Société Mathématique de France , págs. 243–273, ISBN 978-2-85629-065-1, señor 1640262
- Weber, H. (1886), "Theorie der Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica (en alemán), 8 : 193–263, doi : 10.1007/BF02417089 , ISSN 0001-5962
enlaces externos
Wikisource tiene texto original relacionado con este artículo:
Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper.