Conductor (teoría de campos de clases)

En la teoría de números algebraicos , el conductor de una extensión abeliana finita de campos locales o globales proporciona una medida cuantitativa de la ramificación en la extensión. La definición del conductor está relacionada con la función de Artin .

Conductor local

Sea L / K una extensión abeliana finita de cuerpos locales no arquimedianos . El conductor de L / K , denotado , es el entero no negativo más pequeño n tal que el grupo unitario superior ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}}$

está contenido en N _{L / K} ( L ^× ), donde N _{L / K} es el mapa de norma de campo y es el ideal máximo de K . ^[1] De manera equivalente, n es el entero más pequeño tal que el mapa de Artin local es trivial en . A veces, el conductor se define como donde n es como se indicó anteriormente. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$ ${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}}$

El conductor de una extensión mide la ramificación. Cualitativamente, la extensión no está ramificada si, y solo si, el conductor es cero, ^[3] y está ramificada de manera dócil si, y solo si, el conductor es 1. ^[4] Más precisamente, el conductor calcula la no trivialidad de los grupos de ramificación superior : si s es el entero más grande para el cual el grupo de ramificación superior de " numeración inferior " G _s es no trivial, entonces , donde η _{L / K} es la función que traduce de "numeración inferior" a " numeración superior " de los grupos de ramificación superior. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$

El conductor de L / K también está relacionado con los conductores Artin de caracteres del grupo de Galois Gal( L / K ). En concreto, ^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

donde χ varía sobre todos los caracteres complejos multiplicativos de Gal( L / K ), es el conductor de Artin de χ, y mcm es el mínimo común múltiplo . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$

Campos más generales

El conductor puede definirse de la misma manera para L / K una extensión de Galois finita no necesariamente abeliana de los campos locales. ^[7] Sin embargo, sólo depende de L ^ab / K , la extensión abeliana máxima de K en L , debido al "teorema de limitación de la norma", que establece que, en esta situación, ^{[8] [9]}

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

Además, el conductor puede definirse cuando se permite que L y K sean ligeramente más generales que locales, es decir, si son campos de valores completos con un campo de residuos cuasi-finito . ^[10]

Campos de Arquímedes

Principalmente por el bien de los conductores globales, el conductor de la extensión trivial R / R se define como 0, y el conductor de la extensión C / R se define como 1. ^[11]

Conductor global

Campos de números algebraicos

El conductor de una extensión abeliana L / K de cuerpos de números se puede definir, de manera similar al caso local, utilizando la función Artin. Específicamente, sea θ : I ^m → Gal( L / K ) la función Artin global donde el módulo m es un módulo definitorio para L / K ; decimos que la reciprocidad Artin se cumple para m si θ se factoriza a través del grupo de clases de rayos módulo m . Definimos el conductor de L / K , denotado , como el máximo común divisor de todos los módulos para los que se cumple la reciprocidad; de hecho, la reciprocidad se cumple para , por lo que es el módulo más pequeño de dichos módulos. ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Ejemplo

• Tomando como base el cuerpo de los números racionales, el teorema de Kronecker-Weber establece que un cuerpo de números algebraicos K es abeliano sobre Q si y sólo si es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico , donde denota una raíz n- ésima primitiva de la unidad. ^[15] Si n es el entero más pequeño para el cual esto se cumple, el conductor de K es entonces n si K está fijado por conjugación compleja y de otro modo. ${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n\infty }$
• Sea L / K donde d es un entero sin cuadrados . Entonces , ^[16] ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}}$

donde es el discriminante de . ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

Relación con los conductores locales y ramificación

El conductor global es el producto de los conductores locales: ^[17]

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

En consecuencia, un primo finito se ramifica en L / K si, y sólo si, divide a . ^[18] Un primo infinito v ocurre en el conductor si, y sólo si, v es real y se vuelve complejo en L . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Notas

1. Serre 1967, §4.2
2. Como en Neukirch 1999, definición V.1.6
3. Neukirch 1999, propuesta V.1.7
4. Milne 2008, I.1.9
5. Serre 1967, §4.2, proposición 1
6. Artin & Tate 2009, corolario del teorema XI.14, pág. 100
7. Como en Serre 1967, §4.2
8. Serre 1967, §2.5, proposición 4
9. Milne 2008, teorema III.3.5
10. Como en Artin & Tate 2009, §XI.4. Esta es la situación en la que funciona el formalismo de la teoría de campos de clases locales .
11. Cohen 2000, definición 3.4.1
12. Milne 2008, observación V.3.8
13. Janusz 1973, págs. 158, 168-169
14. Algunos autores omiten lugares infinitos del conductor, por ejemplo Neukirch 1999, §VI.6
15. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
16. Milne 2008, ejemplo V.3.11
17. Para la parte finita Neukirch 1999, proposición VI.6.5, y para la parte infinita Cohen 2000, definición 3.4.1
18. Neukirch 1999, corolario VI.6.6

Referencias

• Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1967], Teoría de campos de clases , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4426-7, Sr.  2467155
• Cohen, Henri (2000), Temas avanzados en teoría de números computacionales , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
• Janusz, Gerald (1973), Campos numéricos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl  0307.12001
• Milne, James (2008), Teoría de campos de clases (edición v4.0) , consultado el 22 de febrero de 2010
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría de campos de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia instructiva en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 , Londres: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, Sr.  0220701