Teorema de Herbrand-Ribet

Resultado sobre el grupo de clases de ciertos cuerpos de números, reforzando el teorema de Ernst Kummer

En matemáticas , el teorema de Herbrand-Ribet es un resultado del grupo de clases de ciertos cuerpos de números . Es un fortalecimiento del teorema de Ernst Kummer en el sentido de que el primo p divide al número de clase del cuerpo ciclotómico de raíces p - ésimas de la unidad si y solo si p divide al numerador del n -ésimo número de Bernoulli B _n para algún n , 0 < n < p − 1. El teorema de Herbrand-Ribet especifica qué significa, en particular, cuando p divide a tal B _n .

Declaración

El grupo de Galois Δ del campo ciclotómico de las raíces p -ésimas de la unidad para un primo impar p , Q (ζ) con ζ ^p = 1, consiste en los p − 1 elementos del grupo σ _a , donde . Como consecuencia del pequeño teorema de Fermat , en el anillo de números enteros p -ádicos tenemos p − 1 raíces de la unidad, cada una de las cuales es congruente módulo p con algún número en el rango de 1 a p − 1; por lo tanto, podemos definir un carácter de Dirichlet ω (el carácter de Teichmüller) con valores en al requerir que para n primo relativo a p , ω( n ) sea congruente con n módulo p . La parte p del grupo de clases es un -módulo (ya que es p -primario), por lo tanto, un módulo sobre el anillo de grupos . Ahora definimos elementos idempotentes del anillo de grupo para cada n desde 1 hasta p − 1, como ${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[\Delta ]}$

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.}$

Es fácil ver que y donde es el delta de Kronecker . Esto nos permite descomponer la parte p del grupo de clases ideal G de Q (ζ) por medio de los idempotentes; si G es la parte p -primaria del grupo de clases ideal, entonces, dejando G _n = ε _n ( G ), tenemos . ${\displaystyle \sum \epsilon _{n}=1}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle G=\oplus G_{n}}$

El teorema de Herbrand-Ribet establece que para n impar , G _n no es trivial si y solo si p divide al número de Bernoulli B _{p − n} . ^[1]

El teorema no hace ninguna afirmación acerca de valores pares de n , pero no hay ningún p conocido para el cual G _n no sea trivial para cualquier n par : la trivialidad para todo p sería una consecuencia de la conjetura de Vandiver . ^[2]

Pruebas

La parte que dice que p divide a B _{p − n} si G _n no es trivial se debe a Jacques Herbrand . ^[3] La inversa, que si p divide a B _{p − n} entonces G _n no es trivial se debe a Kenneth Ribet , y es considerablemente más difícil. Por la teoría de cuerpos de clases , esto solo puede ser cierto si hay una extensión no ramificada del cuerpo de raíces p ésimas de la unidad por una extensión cíclica de grado p que se comporta de la manera especificada bajo la acción de Σ ; Ribet prueba esto construyendo realmente tal extensión usando métodos en la teoría de formas modulares . Una prueba más elemental de la inversa de Ribet al teorema de Herbrand, una consecuencia de la teoría de sistemas de Euler , se puede encontrar en el libro de Washington. ^[4]

Generalizaciones

Los métodos de Ribet fueron desarrollados aún más por Barry Mazur y Andrew Wiles para demostrar la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , ^[5] cuyo corolario es un fortalecimiento del teorema de Herbrand-Ribet: la potencia de p dividiendo B _{p − n} es exactamente la potencia de p dividiendo el orden de G _n .

Véase también

• Teoría de Iwasawa

Notas

1. Ribet, Ken (1976). "Una construcción modular de p-extensiones no ramificadas de (μ _p )". Inv. Math. 34 (3): 151–162. doi :10.1007/bf01403065. S2CID  120199454. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. Coates, John ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores zeta . Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag . págs. 3–4. ISBN 3-540-33068-2.Zbl 1100.11002  .
3. Herbrand, J. (1932). "Sobre las clases de cuerpos circulares". J. Matemáticas. Pures Appl . Serie IX (en francés). 11 : 417–441. ISSN  0021-7824. Zbl  0006.00802.
4. Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
5. Mazur, Barry y Wiles, Andrew (1984). "Campos de clases de extensión abeliana de ". Inv. Math . 76 (2): 179–330. Bibcode :1984InMat..76..179M. doi :10.1007/bf01388599. S2CID  122576427. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$