Colector Calabi-Yau

Variedad de Riemann con holonomía SU (n)

Un corte 2D de una variedad quíntica Calabi-Yau 6D.

En geometría algebraica y diferencial , una variedad de Calabi-Yau , también conocida como espacio de Calabi-Yau , es un tipo particular de variedad que tiene propiedades, como la planitud de Ricci , que produce aplicaciones en física teórica . Particularmente en la teoría de supercuerdas , a veces se conjetura que las dimensiones adicionales del espacio-tiempo toman la forma de una variedad Calabi-Yau de seis dimensiones, lo que llevó a la idea de la simetría especular . Su nombre fue acuñado por Candelas et al. (1985), después de Eugenio Calabi  (1954, 1957), quien fue el primero en conjeturar que tales superficies podrían existir, y Shing-Tung Yau  (1978), quien demostró la conjetura de Calabi .

Las variedades Calabi-Yau son variedades complejas que son generalizaciones de superficies K3 en cualquier número de dimensiones complejas (es decir, cualquier número par de dimensiones reales ). Originalmente se definieron como variedades Kähler compactas con una primera clase Chern en desaparición y una métrica plana de Ricci, aunque a veces se utilizan muchas otras definiciones similares pero no equivalentes.

Definiciones

La definición motivacional dada por Shing-Tung Yau es la de un colector Kähler compacto con una primera clase Chern que desaparece, que también es plana de Ricci. ^[1]

Hay muchas otras definiciones de variedad Calabi-Yau utilizadas por diferentes autores, algunas no equivalentes. Esta sección resume algunas de las definiciones más comunes y las relaciones entre ellas.

Una variedad Calabi-Yau o variedad Calabi-Yau de dimensión (compleja) a veces se define como una variedad Kähler compacta y dimensional que satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• El paquete canónico de es trivial. ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$tiene una forma holomorfa que no desaparece en ninguna parte. ${\displaystyle n}$
• El grupo estructural del paquete tangente de se puede reducir del grupo unitario al grupo unitario especial . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con holonomía global contenida en . ${\displaystyle SU(n)}$

Estas condiciones implican que la primera clase integral de Chern desaparece. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Los ejemplos más simples donde esto sucede son las superficies hiperelípticas , cocientes finitos de un toro complejo de dimensión compleja 2, que tienen una primera clase Chern integral de desaparición pero un paquete canónico no trivial. ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Para una variedad Kähler compacta de dimensiones, las siguientes condiciones son equivalentes entre sí, pero son más débiles que las condiciones anteriores, aunque a veces se utilizan como definición de una variedad Calabi-Yau: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$ha desaparecido la primera clase real de Chern.
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci que desaparece.
• ${\displaystyle M}$tiene una métrica de Kähler con holonomía local contenida en . ${\displaystyle SU(n)}$
• Una potencia positiva del paquete canónico de es trivial. ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$tiene una cobertura finita que tiene un paquete canónico trivial.
• ${\displaystyle M}$tiene una cubierta finita que es producto de un toro y una variedad simplemente conectada con un haz canónico trivial.

Si una variedad Kähler compacta está simplemente conectada, entonces la definición débil anterior es equivalente a la definición más fuerte. Las superficies de Enriques dan ejemplos de variedades complejas que tienen métricas planas de Ricci, pero sus paquetes canónicos no son triviales, por lo que son variedades de Calabi-Yau según la segunda definición anterior, pero no la primera. Por otro lado, sus cubiertas dobles son variedades Calabi-Yau para ambas definiciones (de hecho, superficies K3).

Con diferencia, la parte más difícil de demostrar las equivalencias entre las diversas propiedades anteriores es demostrar la existencia de métricas planas de Ricci. Esto se desprende de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi , que implica que una variedad compacta de Kähler con una primera clase Chern real evanescente tiene una métrica de Kähler en la misma clase con curvatura de Ricci evanescente. (La clase de una métrica de Kähler es la clase de cohomología de su forma 2 asociada). Calabi demostró que dicha métrica es única.

Hay muchas otras definiciones no equivalentes de variedades Calabi-Yau que a veces se utilizan, que difieren en las siguientes formas (entre otras):

• La primera clase de Chern puede desaparecer como clase integral o como clase real.
• La mayoría de las definiciones afirman que las variedades Calabi-Yau son compactas, pero algunas permiten que no sean compactas. En la generalización a variedades no compactas, la diferencia debe desaparecer asintóticamente. Aquí está la forma de Kähler asociada con la métrica de Kähler ( Gang Tian ; Shing-Tung Yau  1990, 1991). ${\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$
• Algunas definiciones imponen restricciones al grupo fundamental de una variedad Calabi-Yau, como exigir que sea finita o trivial. Cualquier variedad Calabi-Yau tiene una cubierta finita que es el producto de un toroide y una variedad Calabi-Yau simplemente conectada.
• Algunas definiciones requieren que la holonomía sea exactamente igual a la misma en lugar de un subgrupo de ella, lo que implica que los números de Hodge desaparecen para . Las superficies abelianas tienen una métrica plana de Ricci con holonomía estrictamente más pequeña que (de hecho trivial), por lo que no son variedades de Calabi-Yau según tales definiciones. ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle h^{i,0}}$ ${\displaystyle 0<i<\dim(M)}$ ${\displaystyle SU(2)}$
• La mayoría de las definiciones suponen que una variedad Calabi-Yau tiene una métrica de Riemann, pero algunas las tratan como variedades complejas sin métrica.
• La mayoría de las definiciones asumen que la variedad no es singular, pero algunas permiten singularidades leves. Si bien la clase Chern no está bien definida para Calabi-Yau singulares, el paquete canónico y la clase canónica aún pueden definirse si todas las singularidades son Gorenstein , y por lo tanto pueden usarse para extender la definición de una variedad Calabi-Yau suave a una variedad Calabi-Yau posiblemente singular.

Ejemplos

El hecho fundamental es que cualquier variedad algebraica suave incrustada en un espacio proyectivo es una variedad de Kähler, porque existe una métrica natural del Estudio de Fubini en un espacio proyectivo que se puede restringir a la variedad algebraica. Por definición, si ω es la métrica de Kähler en la variedad algebraica X y el paquete canónico K _X es trivial, entonces X es Calabi-Yau. Además, existe una métrica de Kähler única ω en X tal que [ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), un hecho que fue conjeturado por Eugenio Calabi y demostrado por Shing-Tung Yau (ver conjetura de Calabi ).

Curvas algebraicas de Calabi-Yau

En una dimensión compleja, los únicos ejemplos compactos son los tori , que forman una familia de un solo parámetro. La métrica plana de Ricci en un toro es en realidad una métrica plana , de modo que la holonomía es el grupo trivial SU(1). Una variedad Calabi-Yau unidimensional es una curva elíptica compleja y, en particular, algebraica .

Superficies algebraicas CY

En dos dimensiones complejas, las superficies K3 proporcionan los únicos colectores Calabi-Yau compactos y simplemente conectados. Estos se pueden construir como superficies cuárticas en , como la variedad algebraica compleja definida por el lugar geométrico de fuga de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$para ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]\in \mathbb {P} ^{3}}$

Otros ejemplos se pueden construir como fibraciones elípticas, ^[2] como cocientes de superficies abelianas, ^[3] o como intersecciones completas .

Ejemplos no simplemente conectados los dan las superficies abelianas , que son cuatro toros reales equipados con una estructura múltiple compleja. Las superficies de Enriques y las superficies hiperelípticas tienen la primera clase de Chern que desaparece como elemento del grupo de cohomología real, pero no como elemento del grupo de cohomología integral, por lo que el teorema de Yau sobre la existencia de una métrica plana de Ricci todavía se aplica a ellas, pero son a veces no se consideran variedades Calabi-Yau. Las superficies abelianas a veces se excluyen de la clasificación de Calabi-Yau, ya que su holonomía (de nuevo el grupo trivial) es un subgrupo propio de SU(2), en lugar de ser isomorfa a SU(2). Sin embargo, el subconjunto de superficies de Enriques no se ajusta completamente al subgrupo SU(2) en el panorama de la teoría de cuerdas . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$

CY se triplica

En tres dimensiones complejas, la clasificación de las posibles variedades Calabi-Yau es un problema abierto, aunque Yau sospecha que hay un número finito de familias (aunque un número mucho mayor que su estimación de hace 20 años). A su vez, Miles Reid también ha conjeturado que el número de tipos topológicos de Calabi-Yau triple es infinito, y que todos pueden transformarse continuamente (a través de ciertas singularizaciones leves como conifolds ) uno en otro, de manera muy similar a Las superficies de Riemann sí pueden. ^[4] Un ejemplo de una variedad Calabi-Yau tridimensional es una triple quíntica no singular en CP 4 , que es la variedad algebraica que consta de todos los ceros de un polinomio quíntico homogéneo en las coordenadas homogéneas de CP ⁴ . Otro ejemplo es un modelo suave de la quíntica de Barth-Nieto . Algunos cocientes discretos de la quíntica mediante diversas acciones de Z ₅ también son Calabi-Yau y han recibido mucha atención en la literatura. Uno de ellos está relacionado con la quíntica original por simetría especular .

Para cada entero positivo n , el conjunto cero , en las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo complejo CP ^{n +1} , de un polinomio no singular de grado homogéneo n  + 2 en n  + 2 variables es un Calabi-Yau n compacto . El caso n  = 1 describe una curva elíptica, mientras que para n  = 2 se obtiene una superficie K3.

De manera más general, las variedades/orbifolds de Calabi-Yau se pueden encontrar como intersecciones completas ponderadas en un espacio proyectivo ponderado . La principal herramienta para encontrar dichos espacios es la fórmula adjunta .

Todas las variedades hiper-Kähler son variedades de Calabi-Yau.

Construido a partir de curvas algebraicas.

Para una curva algebraica se puede construir un triple cuasiproyectivo de Calabi-Yau ^[5] como el espacio total donde . Para la proyección canónica podemos encontrar que el paquete tangente relativo está usando la secuencia tangente relativa ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V={\text{Tot}}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\otimes {\mathcal {L}}_{2}\cong \omega _{C}}$ ${\displaystyle p:V\to C}$ ${\displaystyle T_{V/C}}$ ${\displaystyle p^{*}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$

${\displaystyle 0\to T_{V/C}\to T_{V}\to p^{*}T_{C}\to 0}$

y observar los únicos vectores tangentes en la fibra que no están en la imagen previa y que están canónicamente asociados con las fibras del haz de vectores. Usando esto, podemos usar la secuencia cotangente relativa ${\displaystyle p^{*}T_{C}}$

${\displaystyle 0\to p^{*}\Omega _{C}\to \Omega _{V}\to \Omega _{V/C}\to 0}$

junto con las propiedades de los poderes de cuña que

${\displaystyle \omega _{V}=\bigwedge ^{3}\Omega _{V}\cong f^{*}\omega _{C}\otimes \bigwedge ^{2}\Omega _{V/C}}$

y dando la trivialidad de . ${\displaystyle \Omega _{V/C}\cong {\mathcal {L}}_{1}^{*}\oplus {\mathcal {L}}_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{V}}$

Construido a partir de superficies algebraicas.

Utilizando un argumento similar al de las curvas, el espacio total del haz canónico para una superficie algebraica forma un triple de Calabi-Yau. Un ejemplo sencillo es el espacio proyectivo. ${\displaystyle {\text{Tot}}(\omega _{S})}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Tot}}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(-3))}$

Aplicaciones en la teoría de supercuerdas

"Las variedades de Calabi-Yau son importantes en la teoría de supercuerdas ". Esencialmente, las variedades Calabi-Yau son formas que satisfacen el requisito de espacio para las seis dimensiones espaciales "invisibles" de la teoría de cuerdas, que pueden ser más pequeñas que nuestras longitudes actualmente observables, ya que aún no han sido detectadas. Una alternativa popular conocida como dimensiones extra grandes , que ocurre a menudo en los modelos de mundos brana , es que Calabi-Yau es grande pero estamos confinados a un pequeño subconjunto en el que se cruza con una brana D. Actualmente se están explorando nuevas extensiones hacia dimensiones superiores con ramificaciones adicionales para la relatividad general .

En los modelos de supercuerdas más convencionales, se supone que diez dimensiones conjeturales en la teoría de cuerdas son cuatro de las que somos conscientes, llevando algún tipo de fibración con fibra de dimensión seis. La compactación en los pliegues de Calabi-Yau es importante porque dejan intacta parte de la supersimetría original . Más precisamente, en ausencia de flujos , la compactación en un Calabi-Yau triple (dimensión real 6) deja intacta una cuarta parte de la supersimetría original si la holonomía es la SU(3) completa.

De manera más general, una compactación libre de flujo en una n -colectora con holonomía SU( n ) deja intactas 2 ^{1− n} de la supersimetría original, correspondientes a 2 ^{6− n} supercargas en una compactificación de supergravedad tipo II o 2 ^{5− n} supercargas en una compactación de tipo I. Cuando se incluyen los flujos, la condición de supersimetría implica que la variedad de compactación sea una Calabi-Yau generalizada, una noción introducida por Hitchin (2003). Estos modelos se conocen como compactaciones de flujo .

Las compactaciones de la teoría F en varios cuádruples de Calabi-Yau proporcionan a los físicos un método para encontrar una gran cantidad de soluciones clásicas en el llamado panorama de la teoría de cuerdas .

Conectado con cada agujero en el espacio Calabi-Yau hay un grupo de patrones vibratorios de cuerdas de baja energía. Dado que la teoría de cuerdas establece que nuestras partículas elementales familiares corresponden a vibraciones de cuerdas de baja energía, la presencia de múltiples agujeros hace que los patrones de cuerdas se dividan en múltiples grupos o familias . Aunque la siguiente afirmación ha sido simplificada, transmite la lógica del argumento: si Calabi-Yau tiene tres agujeros, entonces se observarán experimentalmente tres familias de patrones vibratorios y, por tanto, tres familias de partículas.

Lógicamente, dado que las cuerdas vibran en todas las dimensiones, la forma de las cuerdas enrolladas afectará a sus vibraciones y, por tanto, a las propiedades de las partículas elementales observadas. Por ejemplo, Andrew Strominger y Edward Witten han demostrado que las masas de las partículas dependen de la forma de intersección de los distintos agujeros en un Calabi-Yau. En otras palabras, Strominger y Witten descubrieron que las posiciones de los agujeros entre sí y con la sustancia del espacio Calabi-Yau afectan las masas de las partículas de cierta manera. Esto es cierto para todas las propiedades de las partículas. ^[6]

Ver también

• Quintic triple
• colector G2
• Álgebra de Calabi-Yau

Referencias

Citas

1. Yau y Nadis (2010)
2. Propp, Oron Y. (22 de mayo de 2019). "Construcción de espectros K3 explícitos". pag. 4. arXiv : 1810.08953 [matemáticas.AT].
3. Szymik, Markus (12 de febrero de 2020). "Espectros K3". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 42 : 137-148. arXiv : 2002.04879 . doi :10.1112/blms/bdp106. S2CID  1070427.
4. Reid, millas (1987). "Sin embargo, el espacio Moduli de 3 veces con K  = 0 puede ser irreducible". Annalen Matemáticas . 278 (1–4): 329–334. doi :10.1007/bf01458074. S2CID  120390363.
5. Szendroi, Balazs (27 de abril de 2016). "Teoría cohomológica de Donaldson-Thomas". arXiv : 1503.07349 [matemáticas.AG].
6. "La forma de las dimensiones acurrucadas". Archivado desde el original el 13 de septiembre de 2006.

Artículos para principiantes

• Una descripción general de las fibraciones elípticas Calabi-Yau
• Conferencias sobre el paisaje de Calabi-Yau
• Fibraciones en CICY Triples - ( intersección completa Calabi-Yau)
• Libro introductorio "El paisaje de Calabi-Yau" de Yang-Hui He .

Bibliografía

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• Chan, Yat-Ming (2004), Desingularizaciones de Calabi-Yau triple con una singularidad cónica , arXiv : math/0410260 , Bibcode : 2004math..... 10260C
• Calabi, Eugenio (1954), "El espacio de las métricas de Kähler", Proc. Internacional. Congreso de Matemáticas. Ámsterdam , vol. 2, págs. 206-207, archivado desde el original el 17 de julio de 2011
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• Yau, Shing Tung (1978), "Sobre la curvatura de Ricci de una variedad compacta de Kähler y la compleja ecuación de Monge-Ampère. I", Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi :10.1002/cpa .3160310304, SEÑOR  0480350
• Yau, Shing-Tung (2009a), "Un estudio de las variedades Calabi-Yau", Geometría, análisis y geometría algebraica: cuarenta años del Journal of Differential Geometry , Surveys in Differential Geometry, vol. 13, Somerville, Massachusetts: Int. Prensa, págs. 277–318, doi : 10.4310/SDG.2008.v13.n1.a9 , MR  2537089
• Yau, Shing-Tung y Nadis, Steve; La forma del espacio interior , Libros básicos, 2010. ISBN 978-0-465-02023-2 

enlaces externos

• La página de inicio de Calabi-Yau es una referencia interactiva que describe muchos ejemplos y clases de variedades de Calabi-Yau y también las teorías físicas en las que aparecen.
• Vídeo girando Calabi – Yau Space.
• Calabi – Yau Space de Andrew J. Hanson con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Espacio Calabi-Yau". MundoMatemático .
• Yau, ST (2009b), "Múltiple Calabi-Yau", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode :2009SchpJ...4.6524Y, doi : 10.4249/scholarpedia.6524(similar a (Yau 2009a))