En física teórica , los campos de Ramond-Ramond son campos de forma diferencial en el espacio-tiempo de 10 dimensiones de las teorías de supergravedad de tipo II , que son los límites clásicos de la teoría de cuerdas de tipo II . Las clasificaciones de los campos dependen de qué teoría de tipo II se considere. Como argumentó Joseph Polchinski en 1995, las D-branas son los objetos cargados que actúan como fuentes de estos campos, de acuerdo con las reglas de la electrodinámica de forma p . Se ha conjeturado que los campos cuánticos RR no son formas diferenciales, sino que están clasificados según la teoría K retorcida .
El adjetivo "Ramond-Ramond" refleja el hecho de que en el formalismo RNS , estos campos aparecen en el sector Ramond-Ramond en el que todos los fermiones vectoriales son periódicos. Ambos usos de la palabra "Ramond" se refieren a Pierre Ramond , quien estudió tales condiciones de contorno (las llamadas condiciones de contorno de Ramond ) y los campos que las satisfacen en 1971. [1]
Como en la teoría del electromagnetismo de Maxwell y su generalización, la electrodinámica en forma p , los campos de Ramond-Ramond (RR) vienen en pares que consisten en un potencial en forma p C p y una intensidad de campo en forma ( p + 1) G p +1 . La intensidad del campo se define, como es habitual, como la derivada exterior del potencial G p +1 = dC p .
Como es habitual en este tipo de teorías, si se permiten configuraciones topológicamente no triviales o materia cargada ( D-branas ), entonces las conexiones sólo se definen en cada parche de coordenadas del espacio-tiempo, y los valores en varios parches se pegan mediante funciones de transición. A diferencia del caso del electromagnetismo, en presencia de una intensidad de campo de 3 formas Neveu-Schwarz no trivial , la intensidad de campo definida anteriormente ya no es invariante de calibre y, por lo tanto, también debe definirse en forma de parches, interpretando la cadena de Dirac de un parche determinado como una brana D. Esta complicación adicional es responsable de algunos de los fenómenos más interesantes de la teoría de cuerdas, como la transición Hanany-Witten .
Las elecciones de valores permitidos de p dependen de la teoría. En la supergravedad tipo IIA, existen campos para p = 1 y p = 3. En la supergravedad tipo IIB, por otro lado, hay campos para p = 0, p = 2 y p = 4, aunque el campo p = 4 está restringido. para satisfacer la condición de autodualidad G 5 = * G 5 donde * es la estrella de Hodge . Un lagrangiano no puede imponer la condición de autodualidad sin introducir campos adicionales o arruinar la manifiesta invariancia super-Poincaré de la teoría, por lo que la supergravedad tipo IIB se considera una teoría no lagrangiana. Una tercera teoría, llamada supergravedad masiva o de Romanos IIA, incluye una intensidad de campo G 0 , llamada masa de Romanos. Al ser una forma cero, no tiene una conexión correspondiente. Además, las ecuaciones de movimiento imponen que la masa de los romanos es constante. En la teoría cuántica, Joseph Polchinski ha demostrado que G 0 es un número entero que salta en uno cuando se cruza una brana D8 .
A menudo es conveniente utilizar la formulación democrática de las teorías de cuerdas de tipo II, que fue introducida por Paul Townsend en p-Brane Democracy. En D-brane Wess-Zumino Actions, T-duality and the Cosmoological Constant Michael Green , Chris Hull y Paul Townsend construyeron las intensidades de campo y encontraron las transformaciones de calibre que las dejan invariantes. Finalmente, en Nuevas formulaciones de supersimetría D=10 y muros de dominio D8-O8, los autores completaron la formulación, proporcionando un lagrangiano y explicando el papel de los fermiones. En esta formulación se incluyen todas las intensidades de campo pares en IIA y todas las intensidades de campo impares en IIB. Las intensidades de campo adicionales están definidas por la condición de estrella G p =*G 10−p . Como comprobación de coherencia, observe que la condición de estrella es compatible con la autodualidad de G 5 , por lo que la formulación democrática contiene el mismo número de grados de libertad que la formulación original. De manera similar a los intentos de incluir simultáneamente potenciales eléctricos y magnéticos en el electromagnetismo, los potenciales de doble calibre no pueden agregarse al lagrangiano democráticamente formulado de una manera que mantenga la localidad manifiesta de la teoría. Esto se debe a que los potenciales duales se obtienen a partir de los potenciales originales integrando la condición de estrella.
Los Langragianos de supergravedad tipo II son invariantes bajo una serie de simetrías locales , como difeomorfismos y transformaciones de supersimetría locales . Además, los diversos campos de formulario se transforman bajo las transformaciones de calibre Neveu-Schwarz y Ramond-Ramond.
En la formulación democrática, las transformaciones de calibre de Ramond-Ramond de los potenciales de calibre que dejan invariante la acción son
donde H es la intensidad del campo de 3 formas Neveu-Schwarz y los parámetros de calibre son formas q. Como las transformaciones de calibre mezclan varios , es necesario que cada forma de RR se transforme simultáneamente, utilizando el mismo conjunto de parámetros de calibre. Los términos dependientes de H, que no tienen análogos en el electromagnetismo, son necesarios para preservar la contribución a la acción de los términos de Chern-Simons que están presentes en las teorías de supergravedad de tipo II.
Tenga en cuenta que hay varios parámetros de calibre correspondientes a la misma transformación de calibre; en particular, podemos agregar cualquier forma cerrada ( d + H ) a Lambda. Así, en la teoría cuántica también debemos calibrar las transformaciones de calibre, y luego calibrarlas, y así sucesivamente hasta que las dimensiones sean lo suficientemente bajas. En la cuantización de Fadeev-Popov esto corresponde a añadir una torre de fantasmas. Matemáticamente, en el caso en que H desaparece, la estructura resultante es la cohomología de Deligne del espacio-tiempo. Para H no trivial, después de incluir la condición de cuantificación de Dirac , se ha conjeturado que corresponde a la teoría K diferencial.
Observe que, gracias a los términos H en las transformaciones de calibre, las intensidades de campo también se transforman de manera no trivial
A menudo se introducen intensidades de campo mejoradas.
que son invariantes de calibre.
Aunque son invariantes en cuanto a calibre, las intensidades de campo mejoradas no están cerradas ni cuantificadas, sino que sólo están cerradas por torsión. Esto significa que satisfacen la ecuación de movimiento , que es precisamente la identidad de Bianchi . También están "cuantizados retorcidos" en el sentido de que uno puede volver a transformarlos a la intensidad del campo original cuyas integrales sobre ciclos compactos están cuantizados. Son las intensidades de campo originales las que provienen de la carga de la brana D, en el sentido de que la integral de la intensidad del campo en forma p original G p sobre cualquier ciclo p contráctil es igual a la carga de la brana D (8-p). vinculados por ese ciclo. Dado que la carga de la D-brana está cuantificada, se cuantifica G p , y no la intensidad de campo mejorada.
Como es habitual en las teorías de calibre de forma p , los campos de forma deben obedecer a las ecuaciones de campo clásicas y a las identidades de Bianchi . Los primeros expresan la condición de que las variaciones de la acción con respecto a los distintos campos deben ser triviales. Ahora restringiremos nuestra atención a aquellas ecuaciones de campo que provienen de la variación de los campos Ramond-Ramond (RR), pero en la práctica deben complementarse con las ecuaciones de campo que provienen de las variaciones del campo B de Neveu-Schwarz . el gravitón, el dilatón y sus supercompañeros los gravitinos y el dilatino.
En la formulación democrática, la identidad de Bianchi para la intensidad de campo G p+1 es la ecuación de campo clásica para su dual de Hodge G 9−p , por lo que será suficiente imponer las identidades de Bianchi para cada campo RR. Estas son solo las condiciones de que los potenciales RR C p estén definidos localmente y que, por lo tanto, la derivada exterior que actúa sobre ellos sea nilpotente.
En muchas aplicaciones uno desea agregar fuentes para los campos RR. Estas fuentes se denominan D-branas . Como en el electromagnetismo clásico, se pueden agregar fuentes incluyendo un acoplamiento C p del potencial en forma p a una corriente en forma (10-p) en la densidad lagrangiana . La convención habitual en la literatura sobre teoría de cuerdas parece ser no escribir este término explícitamente en la acción.
La corriente modifica la ecuación de movimiento que resulta de la variación de C p . Como es el caso de los monopolos magnéticos en el electromagnetismo, esta fuente también invalida la identidad dual de Bianchi ya que es un punto en el que el campo dual no está definido. En la ecuación de movimiento modificada aparece en el lado izquierdo de la ecuación de movimiento en lugar de cero. Para simplificar en el futuro, también intercambiaremos p y 7 − p , entonces la ecuación de movimiento en presencia de una fuente es
La forma (9-p) es la corriente de la brana Dp, lo que significa que es dual de Poincaré con el volumen mundial de un objeto extendido de dimensión ( p + 1) llamado brana Dp. La discrepancia de uno en el esquema de nomenclatura es histórica y proviene del hecho de que una de las direcciones p + 1 abarcadas por la brana Dp es a menudo temporal, dejando p direcciones espaciales.
La identidad de Bianchi anterior se interpreta en el sentido de que la brana Dp está, en analogía con los monopolos magnéticos en el electromagnetismo, cargada magnéticamente bajo la forma RR p C 7 − p . Si, en cambio, se considera que esta identidad de Bianchi es una ecuación de campo para C p +1 , entonces se dice que la brana Dp está cargada eléctricamente bajo la forma ( p + 1) C p+1 .
La ecuación de movimiento anterior implica que hay dos formas de derivar la carga de la brana Dp a partir de los flujos ambientales. Primero, se puede integrar dG 8-p sobre una superficie, lo que dará la carga de la brana Dp intersectada por esa superficie. El segundo método está relacionado con el primero por el teorema de Stokes . Se puede integrar G 8-p durante un ciclo, esto producirá la carga de la brana Dp vinculada por ese ciclo. La cuantificación de la carga de la brana Dp en la teoría cuántica implica entonces la cuantificación de las intensidades de campo G, pero no de las intensidades de campo mejoradas F.
Se ha conjeturado que los campos RR, así como las D-branas, se clasifican mediante la teoría K retorcida . En este marco, las ecuaciones de movimiento anteriores tienen interpretaciones naturales. Las ecuaciones de movimiento libres fuente para las intensidades de campo mejoradas F implican que la suma formal de todas las F p es un elemento de la cohomología de Rham H-torcido . Esta es una versión de la cohomología de De Rham en la que el diferencial no es la derivada exterior d, sino (d+H) donde H es la forma 3 de Neveu-Schwarz. Observe que (d+H), como es necesario para que la cohomología esté bien definida, eleva al cuadrado cero.
Las intensidades de campo mejoradas F viven en la teoría clásica, donde los racionales interpretan la transición de lo cuántico a lo clásico como tensor. Así que las F deben ser alguna versión racional de la retorcida teoría K. Esta versión racional, que en realidad es una clase característica de teoría K retorcida, ya es conocida. Es la clase Chern retorcida definida en la teoría K retorcida y la teoría K de Bundle Gerbes por Peter Bouwknegt , Alan L. Carey, Varghese Mathai , Michael K. Murray y Danny Stevenson y extendida en el personaje de Chern en la teoría K retorcida: Casos equivalentes y holomorfos. Los autores han demostrado que los caracteres retorcidos de Chern son siempre elementos de la cohomología H-torcido de Rham.
A diferencia de las intensidades de campo mejoradas, las intensidades de campo originales G son clases de cohomología integrales y no retorcidas. Además, las G no son invariantes de calibre, lo que significa que no están definidas de forma única, sino que sólo pueden definirse como clases de equivalencia. Estos corresponden a las clases de cohomología en la construcción de la secuencia espectral de Atiyah Hirzebruch de la teoría K retorcida, que solo se definen hasta los términos que están cerrados bajo cualquiera de una serie de operadores diferenciales .
Los términos fuente parecen ser obstáculos a la existencia de una clase de teoría K. Las otras ecuaciones de movimiento, como las que se obtienen variando el campo B de NS, no tienen interpretaciones de la teoría K. La incorporación de estas correcciones en el marco de la teoría K es un problema abierto. Para obtener más información sobre este problema, haga clic aquí .
