Álgebra de Super Virasoro

Extensión supersimétrica del álgebra de Virasoro

En física matemática , una superálgebra de Virasoro es una extensión del álgebra de Virasoro (llamada así en honor a Miguel Ángel Virasoro ) a una superálgebra de Lie . Hay dos extensiones con particular importancia en la teoría de supercuerdas : el álgebra de Ramond (llamada así por Pierre Ramond ) ^[1] y el álgebra de Neveu-Schwarz (llamada así por André Neveu y John Henry Schwarz ). ^[2] Ambas álgebras tienen supersimetría N = 1 y una parte par dada por el álgebra de Virasoro. Describen las simetrías de una supercuerda en dos sectores diferentes, llamados sector Ramond y sector Neveu-Schwarz .

Las N = 1 súper álgebras de Virasoro

Hay dos extensiones mínimas del álgebra de Virasoro con supersimetría N = 1: el álgebra de Ramond y el álgebra de Neveu-Schwarz. Ambas son superálgebras de Lie cuya parte par es el álgebra de Virasoro: esta álgebra de Lie tiene una base que consta de un elemento central C y generadores L _m (para el número entero m ) que satisfacen

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

La parte impar del álgebra tiene base , donde es un número entero (el caso de Ramond) o la mitad de un número entero impar (el caso de Neveu-Schwarz). En ambos casos, es central en la superálgebra, y los corchetes graduados adicionales están dados por ${\displaystyle G_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right)G_{m+r}}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}}$

Tenga en cuenta que este último paréntesis es un anticonmutador , no un conmutador, porque ambos generadores son impares.

El álgebra de Ramond se presenta en términos de 2 generadores y 5 condiciones; y el álgebra de Neveu-Schwarz se presenta en términos de 2 generadores y 9 condiciones. ^[3]

Representaciones

Las representaciones unitarias de mayor peso de estas álgebras tienen una clasificación análoga a la del álgebra de Virasoro, con un continuo de representaciones junto con una serie discreta infinita. La existencia de estas series discretas fue conjeturada por Daniel Friedan , Zongan Qiu y Stephen Shenker (1984). Fue probado por Peter Goddard , Adrian Kent y David Olive (1986), utilizando una generalización supersimétrica de la construcción coset o construcción GKO.

Aplicación a la teoría de supercuerdas

En la teoría de supercuerdas, los campos fermiónicos de la cuerda cerrada pueden ser periódicos o antiperiódicos en el círculo alrededor de la cuerda. Los estados del "sector Ramond" admiten una opción (las condiciones periódicas se denominan condiciones de contorno de Ramond ), descrita por el álgebra de Ramond, mientras que los del "sector Neveu-Schwarz" admiten la otra (las condiciones antiperiódicas se denominan Condiciones de frontera de Neveu-Schwarz ), descritas por el álgebra de Neveu-Schwarz.

Para un campo fermiónico , la periodicidad depende de la elección de las coordenadas en la hoja del mundo . En el marco w , en el que la hoja mundial de un estado de una sola cadena se describe como un cilindro largo, los estados en el sector Neveu-Schwarz son antiperiódicos y los estados en el sector Ramond son periódicos. En el marco z , en el que la hoja del mundo de un estado de una sola cuerda se describe como un plano perforado infinito, ocurre lo contrario.

El sector Neveu-Schwarz y el sector Ramond también se definen en la cuerda abierta y dependen de las condiciones de contorno del campo fermiónico en los bordes de la cuerda abierta.

Ver también

• N = 2 álgebra superconformal
• Sector NS-NS
• Sector Ramond-Ramond
• Álgebra superconforme

Notas

1. Ramond, P. (15 de mayo de 1971). "Teoría dual de los fermiones libres". Revisión física D. 3 (10). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2415–2418. Código bibliográfico : 1971PhRvD...3.2415R. doi :10.1103/physrevd.3.2415. ISSN  0556-2821.
2. Neveu, A.; Schwarz, JH (1971). "Modelo dual libre de taquiones con trayectoria de intersección positiva". Letras de Física B. 34 (6). Elsevier BV: 517–518. Código bibliográfico : 1971PhLB...34..517N. doi :10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN  0370-2693.
3. Fairlie, DB; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Una presentación de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro". Comunicaciones en Física Matemática . 117 (4): 595. Código bibliográfico : 1988CMaPh.117..595F. doi :10.1007/BF01218387. S2CID  119811901.

Referencias

• Becker, K.; Becker, M.; Schwarz, JH (2007), Teoría de cuerdas y teoría M: una introducción moderna , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86069-7
• Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Representaciones unitarias de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro", Comm. Matemáticas. Física. , 103 (1): 105–119, Bibcode :1986CMaPh.103..105G, doi :10.1007/bf01464283, S2CID  91181508, archivado desde el original el 9 de diciembre de 2012
• Verde, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988a), Teoría de supercuerdas, Volumen 1: Introducción , Cambridge University Press, ISBN 0521357527
• Kac, Víctor G.; Todorov, Ivan T. (1985), "Álgebras de corrientes superconformales y sus representaciones unitarias", Comm. Matemáticas. Física. , 102 (2): 337–347, Bibcode :1985CMaPh.102..337K, doi :10.1007/bf01229384, S2CID  189831973
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Nuevas teorías de campos superconformes N  = 2 y compactación de supercuerdas", Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode :1989NuPhB.321..232K, doi :10.1016/0550-3213( 89)90250-2
• Mezincescu, L.; Nepomequia, I.; Zachos, CK (1989). "Álgebra (super) conforme en el (super) toro". Física Nuclear B. 315 (1): 43. Código bibliográfico : 1989NuPhB.315...43M. doi :10.1016/0550-3213(89)90448-3.