Peso (teoría de la representación)

En el campo matemático de la teoría de la representación , un peso de un álgebra A sobre un cuerpo F es un homomorfismo algebraico de A a F o , equivalentemente, una representación unidimensional de A sobre F. Es el análogo algebraico de un carácter multiplicativo de un grupo . Sin embargo, la importancia del concepto surge de su aplicación a las representaciones de álgebras de Lie y, por lo tanto, también a las representaciones de grupos algebraicos y de Lie . En este contexto, un peso de una representación es una generalización de la noción de valor propio , y el espacio propio correspondiente se denomina espacio de pesos .

Motivación y concepto general

Dado un conjunto S de matrices sobre el mismo cuerpo, cada una de las cuales es diagonalizable , y cualesquiera dos de las cuales conmutan , siempre es posible diagonalizar simultáneamente todos los elementos de S . ^{[nota 1]} De manera equivalente, para cualquier conjunto S de transformaciones lineales semisimples mutuamente conmutables de un espacio vectorial de dimensión finita V existe una base de V que consiste en ${\displaystyle n\times n}$ vectores propios simultáneos de todos los elementos de S . Cada uno de estos vectores propios comunes v ∈ V define un funcional lineal sobre la subálgebra U de End( V  ) generada por el conjunto de endomorfismos S ; este funcional se define como la función que asocia a cada elemento de U su valor propio sobre el vector propio v . Esta función también es multiplicativa, y envía la identidad a 1; por lo tanto, es un homomorfismo algebraico de U al cuerpo base. Este "valor propio generalizado" es un prototipo de la noción de peso.

La noción está estrechamente relacionada con la idea de un carácter multiplicativo en la teoría de grupos , que es un homomorfismo χ de un grupo G al grupo multiplicativo de un cuerpo F. Por lo tanto, χ : G → F ^× satisface χ ( e ) = 1 (donde e es el elemento identidad de G ) y

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$para todo g , h en G .

En efecto, si G actúa sobre un espacio vectorial V sobre F , cada espacio propio simultáneo para cada elemento de G , si existe, determina un carácter multiplicativo en G : el valor propio en este espacio propio común de cada elemento del grupo.

La noción de carácter multiplicativo se puede extender a cualquier álgebra A sobre F , reemplazando χ : G → F ^× por una función lineal χ : A → F con:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

para todo a , b en A . Si un álgebra A actúa sobre un espacio vectorial V sobre F en cualquier espacio propio simultáneo, esto corresponde a un homomorfismo de álgebra de A a F que asigna a cada elemento de A su valor propio.

Si A es un álgebra de Lie (que generalmente no es un álgebra asociativa ), entonces en lugar de requerir la multiplicidad de un carácter, se requiere que asigne cualquier corchete de Lie al conmutador correspondiente ; pero dado que F es conmutativa , esto simplemente significa que esta función debe anularse en los corchetes de Lie: χ ([ a , b ]) = 0. Un peso en un álgebra de Lie g sobre un cuerpo F es una función lineal λ: g → F con λ([ x , y ]) = 0 para todo x , y en g . Cualquier peso en un álgebra de Lie g se anula en el álgebra derivada [ g , g ] y, por lo tanto, desciende a un peso en el álgebra de Lie abeliana g /[ g , g ]. Por lo tanto, las funciones son principalmente de interés para las álgebras de Lie abelianas, donde se reducen a la simple noción de un valor propio generalizado para el espacio de transformaciones lineales conmutativas.

Si G es un grupo de Lie o un grupo algebraico , entonces un carácter multiplicativo θ: G → F ^× induce un peso χ = dθ: g → F en su álgebra de Lie por diferenciación. (Para los grupos de Lie, esto es diferenciación en el elemento identidad de G , y el caso del grupo algebraico es una abstracción que utiliza la noción de derivación).

Pesos en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples

Sea un álgebra de Lie semisimple compleja y un subálgebra de Cartan de . En esta sección, describimos los conceptos necesarios para formular el "teorema del mayor peso" que clasifica las representaciones de dimensión finita de . En particular, explicaremos la noción de un "elemento integral dominante". Las representaciones en sí se describen en el artículo vinculado anteriormente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Peso de una representación

Ejemplo de los pesos de una representación del álgebra de Lie sl(3,C)

Sea una representación de un álgebra de Lie en un espacio vectorial V sobre un cuerpo de característica 0, digamos , y sea una funcional lineal en , donde es una subálgebra de Cartan de . Entonces, ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$El espacio de peso deVcon pesoλes el subespaciodado por ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad (\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

Un peso de la representación V (la representación se suele denominar de forma abreviada como el espacio vectorial V sobre el que actúan los elementos del álgebra de Lie en lugar de la función ) es un funcional lineal λ tal que el espacio de pesos correspondiente es distinto de cero. Los elementos distintos de cero del espacio de pesos se denominan vectores de pesos . Es decir, un vector de pesos es un vector propio simultáneo para la acción de los elementos de , con los valores propios correspondientes dados por λ. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Si V es la suma directa de sus espacios de peso

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

entonces V se llama amódulo de peso ;esto corresponde a que exista unabase propia(una base de vectores propios simultáneos) para todos los elementos representados del álgebra, es decir, a que existan matrices diagonalizables simultáneamente (vermatriz diagonalizable).

Si G es un grupo con álgebra de Lie , cada representación de dimensión finita de G induce una representación de . Un peso de la representación de G es entonces simplemente un peso de la representación asociada de . Existe una distinción sutil entre los pesos de las representaciones de grupo y las representaciones del álgebra de Lie, que es que existe una noción diferente de condición de integralidad en los dos casos; vea más abajo. (La condición de integralidad es más restrictiva en el caso del grupo, lo que refleja que no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Acción de los vectores raíz

Para la representación adjunta de , el espacio sobre el que actúa la representación es el álgebra de Lie misma. Entonces los pesos distintos de cero se denominan raíces , los espacios de pesos se denominan espacios raíz y los vectores de pesos, que por tanto son elementos de , se denominan vectores raíz . Explícitamente, una función lineal en se denomina raíz si y existe un distinto de cero en tal que ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

para todos en . La colección de raíces forma un sistema de raíces . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Desde la perspectiva de la teoría de la representación, la importancia de las raíces y los vectores raíz es el siguiente resultado elemental pero importante: Si es una representación de , v es un vector de peso con peso y X es un vector raíz con raíz , entonces ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

para todo H en . Es decir, es el vector cero o un vector de peso con peso . Por lo tanto, la acción de mapea el espacio de peso con peso en el espacio de peso con peso . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \sigma (X)(v)}$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +\alpha }$

Por ejemplo, si , o se complejiza, los vectores raíz abarcan el álgebra y tienen pesos , , y respectivamente. La subálgebra de Cartan está abarcada por , y la acción de clasifica los espacios de pesos. La acción de asigna un espacio de pesos de peso al espacio de pesos de peso y la acción de asigna un espacio de pesos de peso al espacio de pesos de peso , y la acción de asigna los espacios de pesos a sí mismos. En la representación fundamental, con pesos y espacios de pesos , se asigna a cero y a , mientras que se asigna a cero y a , y asigna cada espacio de pesos a sí mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {H,X,Y}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda +1}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda -1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle H}$

Elemento integral

Elementos integrales algebraicos (red triangular), elementos integrales dominantes (puntos negros) y pesos fundamentales para sl(3,C)

Sea el subespacio real de generado por las raíces de , donde es el espacio de los funcionales lineales , el espacio dual a . Para los cálculos, es conveniente elegir un producto interno que sea invariante bajo el grupo de Weyl, es decir, bajo reflexiones sobre los hiperplanos ortogonales a las raíces. Podemos entonces usar este producto interno para identificar con un subespacio de . Con esta identificación, la co-raíz asociada a una raíz se da como ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

donde denota el producto interno de vectores Además de este producto interno, es común que se utilice una notación de corchetes angulares en discusiones sobre sistemas de raíces , con el corchete angular definido como El corchete angular aquí no es un producto interno, ya que no es simétrico y es lineal solo en el primer argumento. La notación de corchetes angulares no debe confundirse con el producto interno ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta .}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Definimos ahora dos nociones diferentes de integralidad para elementos de . La motivación para estas definiciones es simple: los pesos de las representaciones de dimensión finita de satisfacen la primera condición de integralidad, mientras que si G es un grupo con álgebra de Lie , los pesos de las representaciones de dimensión finita de G satisfacen la segunda condición de integralidad. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un elemento es algebraicamente integral si ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

para todas las raíces . La motivación para esta condición es que la co-raíz puede identificarse con el elemento H en una base estándar para una subálgebra de . ^[1] Por resultados elementales para , los valores propios de en cualquier representación de dimensión finita deben ser un entero. Concluimos que, como se indicó anteriormente, el peso de cualquier representación de dimensión finita de es algebraicamente integral. ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Los pesos fundamentales se definen por la propiedad de que forman una base de dualidad para el conjunto de co-raíces asociadas a las raíces simples . Es decir, los pesos fundamentales se definen por la condición ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

donde están las raíces simples. Un elemento es entonces algebraicamente integral si y solo si es una combinación integral de los pesos fundamentales. ^[3] El conjunto de todos los pesos -integrales es una red en llamada red de pesos para , denotada por . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

La figura muestra el ejemplo del álgebra de Lie , cuyo sistema de raíces es el sistema de raíces. Hay dos raíces simples, y . El primer peso fundamental, , debe ser ortogonal a y debe proyectarse ortogonalmente a la mitad de , y de manera similar para . La red de pesos es entonces la red triangular. ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Supongamos ahora que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G . Entonces decimos que es analíticamente integral ( G-integral ) si para cada t en tal que tenemos . La razón para hacer esta definición es que si una representación de surge de una representación de G , entonces los pesos de la representación serán G -integrales. ^[4] Para G semisimple, el conjunto de todos los pesos G -integrales es una subred P ( G ) ⊂ P ( ). Si G es simplemente conexo , entonces P ( G ) = P ( ). Si G no es simplemente conexo, entonces la red P ( G ) es menor que P ( ) y su cociente es isomorfo al grupo fundamental de G . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ ${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ordenamiento parcial en el espacio de pesos

Si las raíces positivas son , , y , la región sombreada es el conjunto de puntos superiores a ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ahora introducimos un ordenamiento parcial en el conjunto de pesos, que se utilizará para formular el teorema del peso más alto que describe las representaciones de . Recordemos que R es el conjunto de raíces; ahora fijamos un conjunto de raíces positivas . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R^{+}}$

Consideremos dos elementos y de . Nos interesa principalmente el caso en el que y son integrales, pero esta suposición no es necesaria para la definición que vamos a presentar. Entonces decimos que es mayor que , que escribimos como , si se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. ^[6] Esto significa, aproximadamente, que "mayor" significa en las direcciones de las raíces positivas. Equivalentemente decimos que es "menor" que , que escribimos como . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$ ${\displaystyle \mu -\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

Este es solo un ordenamiento parcial ; puede suceder fácilmente que no sea ni mayor ni menor que . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Peso dominante

Un elemento integral λ es dominante si para cada raíz positiva γ . De manera equivalente, λ es dominante si es una combinación entera no negativa de los pesos fundamentales. En este caso, los elementos integrales dominantes se encuentran en un sector de 60 grados. La noción de ser dominante no es lo mismo que ser mayor que cero. Observe que el área gris en la imagen de la derecha es un sector de 120 grados, que contiene estrictamente el sector de 60 grados correspondiente a los elementos integrales dominantes. ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$ ${\displaystyle A_{2}}$

El conjunto de todos los λ (no necesariamente enteros) tales que se conoce como la cámara de Weyl fundamental asociada al conjunto dado de raíces positivas. ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$

Teorema del mayor peso

Un peso de una representación de se denomina peso máximo si todos los demás pesos de son menores que . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$

La teoría que clasifica las representaciones irreducibles de dimensión finita de es mediante un "teorema del mayor peso". El teorema dice que ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(1) toda representación irreducible (de dimensión finita) tiene un peso máximo,

(2) el peso más alto es siempre un elemento dominante, algebraicamente integral,

(3) dos representaciones irreducibles con el mismo peso máximo son isomorfas, y

(4) cada elemento dominante, algebraicamente integral, es el peso más alto de una representación irreducible.

El último punto es el más difícil; las representaciones pueden construirse utilizando módulos Verma .

Módulo de mayor peso

Una representación (no necesariamente de dimensión finita) V de se llama módulo de mayor peso si es generada por un vector de peso v ∈ V que es aniquilado por la acción de todos los espacios raíz positivos en . Cada módulo irreducible con un mayor peso es necesariamente un módulo de mayor peso, pero en el caso de dimensión infinita, un módulo de mayor peso no necesita ser irreducible. Para cada —no necesariamente dominante o integral— existe un único (salvo isomorfismo) módulo simple de mayor peso con mayor peso λ, que se denota L (λ), pero este módulo es de dimensión infinita a menos que λ sea integral dominante. Se puede demostrar que cada módulo de mayor peso con mayor peso λ es un cociente del módulo de Verma M (λ). Esto es solo una reformulación de la propiedad de universalidad en la definición de un módulo de Verma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Todo módulo de peso máximo de dimensión finita es irreducible. ^[8]

Véase también

• Clasificación de representaciones de álgebras de Lie en dimensión finita
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo
• Categoría de mayor peso
• Sistema de raíces

Notas

1. De hecho, dado un conjunto de matrices conmutativas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , son simultáneamente triangularizables , sin necesidad de suponer que son diagonalizables.

Referencias

1. Hall 2015 Teorema 7.19 y ecuación (7.9)
2. Propuesta 9.2 del Salón 2015
3. Propuesta 8.36 del Salón 2015
4. Propuesta 12.5 del Salón 2015
5. Hall 2015 Corolario 13.8 y Corolario 13.20
6. Hall 2015 Definición 8.39
7. Hall 2015 Teoremas 9.4 y 9.5
8. Esto se desprende de (la prueba de) la Proposición 6.13 en Hall 2015 junto con el resultado general sobre la reducibilidad completa de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples.

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103..
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representaciones e invariantes de los grupos clásicos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
• Humphreys, James E. (1972b), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 21, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, Sr.  0396773
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción (2.ª ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.