Representación de álgebra

En álgebra abstracta , una representación de un álgebra asociativa es un módulo para esa álgebra. Aquí un álgebra asociativa es un anillo (no necesariamente unital ) . Si el álgebra no es unital, se puede hacer de forma estándar (consulte la página de funtores adjuntos ); no existe una diferencia esencial entre los módulos para el anillo unitario resultante, en el que la identidad actúa mediante el mapeo de identidad, y las representaciones del álgebra.

Ejemplos

Estructura compleja lineal

Uno de los ejemplos no triviales más simples es una estructura compleja lineal , que es una representación de los números complejos C , concebida como un álgebra asociativa sobre los números reales R. Esta álgebra se realiza concretamente como lo que corresponde a i ² = −1 . Entonces una representación de C es un espacio vectorial real V , junto con una acción de C sobre V (un mapa ). Concretamente, esto es solo una acción de i ,  ya que genera el álgebra, y el operador que representa i (la imagen de i en End( V )) se denota J para evitar confusión con la matriz identidad I. ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)}$

Álgebras polinómicas

Otra clase básica importante de ejemplos son las representaciones de álgebras polinómicas , las álgebras conmutativas libres, que forman un objeto central de estudio en el álgebra conmutativa y su contraparte geométrica, la geometría algebraica . Una representación de un álgebra polinomial en k variables sobre el campo K es concretamente un K -espacio vectorial con k operadores de conmutación, y a menudo se denota como la representación del álgebra abstracta donde ${\displaystyle K[T_{1},\dots ,T_{k}],}$ ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{k}]}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto T_{i}.}$

Un resultado básico de tales representaciones es que, sobre un campo algebraicamente cerrado , las matrices representativas son simultáneamente triangularizables .

Incluso el caso de las representaciones del álgebra polinomial en una sola variable es de interés: esto se denota y se utiliza para comprender la estructura de un único operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita . Específicamente, la aplicación del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a esta álgebra produce como corolarios las diversas formas canónicas de matrices, como la forma canónica de Jordan . ${\displaystyle K[T]}$

En algunos enfoques de la geometría no conmutativa , el álgebra no conmutativa libre (polinomios en variables no conmutativas) juega un papel similar, pero el análisis es mucho más difícil.

Pesos

Los valores propios y los vectores propios se pueden generalizar a representaciones de álgebra.

La generalización de un valor propio de una representación de álgebra es, más que un escalar único, una representación unidimensional (es decir, un homomorfismo de álgebra desde el álgebra hasta su anillo subyacente: un funcional lineal que también es multiplicativo). ^{[nota 1]} Esto se conoce como peso , y el análogo de un vector propio y un espacio propio se llama vector de peso y espacio de peso . ${\displaystyle \lambda \colon A\to R}$

El caso del valor propio de un solo operador corresponde al álgebra y un mapa de álgebras se determina mediante a qué escalar asigna el generador T. Un vector de peso para una representación de álgebra es un vector tal que cualquier elemento del álgebra asigna este vector a un múltiplo de sí mismo: un submódulo unidimensional (subrepresentación). Como el emparejamiento es bilineal , "qué múltiplo" es un funcional A -lineal de A (un mapa de álgebra A → R ), es decir, el peso. En símbolos, un vector de peso es un vector tal que para todos los elementos para algún funcional lineal ; tenga en cuenta que a la izquierda, la multiplicación es la acción de álgebra, mientras que a la derecha, la multiplicación es una multiplicación escalar. ${\displaystyle R[T],}$ ${\displaystyle R[T]\to R}$ ${\displaystyle A\times M\to M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle am=\lambda (a)m}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda }$

Debido a que un peso es un mapa de un anillo conmutativo , el mapa factoriza a través de la abelianización del álgebra (de manera equivalente, desaparece en el álgebra derivada) en términos de matrices, si es un vector propio común de operadores y , entonces (porque en ambos casos es solo una multiplicación por escalares), por lo que los vectores propios comunes de un álgebra deben estar en el conjunto sobre el cual el álgebra actúa conmutativamente (que es aniquilado por el álgebra derivada). Por tanto, son de interés central las álgebras conmutativas libres, es decir, las álgebras polinómicas . En este caso particularmente simple e importante del álgebra polinómica en un conjunto de matrices conmutantes, un vector de pesos de esta álgebra es un vector propio simultáneo de las matrices, mientras que un peso de esta álgebra es simplemente una tupla de escalares correspondientes al valor propio de cada matriz y, por tanto, geométricamente hasta un punto en el espacio. Estos pesos, en particular su geometría, son de importancia central para comprender la teoría de la representación de las álgebras de Lie , específicamente las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie semisimples . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle TUv=UTv}$ ${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle k}$

Como aplicación de esta geometría, dada un álgebra que es un cociente de un álgebra polinómica en generadores, corresponde geométricamente a una variedad algebraica en un espacio -dimensional, y el peso debe recaer en la variedad, es decir, satisface las ecuaciones que definen para la variedad. Esto generaliza el hecho de que los valores propios satisfacen el polinomio característico de una matriz en una variable. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ver también

• Teoría de la representación
• entrelazador
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf.
• Representación del álgebra de mentiras
• Lema de Schur
• Teorema de densidad de Jacobson
• Teorema del doble conmutante

Notas

1. Tenga en cuenta que para un campo, el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial unidimensional (una línea) es canónicamente igual al campo subyacente: End( L ) =  K , ya que todos los endomorfismos son multiplicación escalar; por lo tanto, no hay pérdida al restringir mapas concretos al campo base, en lugar de representaciones abstractas unidimensionales . Para los anillos también hay mapas de anillos cocientes , que no necesitan factorizar mapas del anillo en sí, pero nuevamente, no se necesitan módulos unidimensionales abstractos.

Referencias

• Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN  978-0-387-90693-5