Lema de Schur

Los homomorfismos entre módulos simples sobre el mismo anillo son isomorfismos o cero

En matemáticas , el lema de Schur ^[1] es un enunciado elemental pero extremadamente útil en la teoría de representación de grupos y álgebras . En el caso del grupo, dice que si M y N son dos representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G y φ es una función lineal de M a N que conmuta con la acción del grupo, entonces φ es invertible o φ = 0. Un caso especial importante ocurre cuando M  =  N , es decir, φ es una función propia; en particular, cualquier elemento del centro de un grupo debe actuar como un operador escalar (un múltiplo escalar de la identidad ) en M. El lema recibe su nombre de Issai Schur , quien lo utilizó para demostrar las relaciones de ortogonalidad de Schur y desarrollar los fundamentos de la teoría de representación de grupos finitos . El lema de Schur admite generalizaciones a los grupos de Lie y las álgebras de Lie , las más comunes de las cuales se deben a Jacques Dixmier y Daniel Quillen .

Teoría de la representación de grupos

La teoría de la representación es el estudio de los homomorfismos de un grupo, G , en el grupo lineal general GL ( V ) de un espacio vectorial V ; es decir, en el grupo de automorfismos de V . (Restringámonos aquí al caso cuando el cuerpo subyacente de V es , el cuerpo de los números complejos .) Un homomorfismo de este tipo se llama representación de G en V . Una representación en V es un caso especial de una acción de grupo en V , pero en lugar de permitir biyecciones arbitrarias ( permutaciones ) del conjunto subyacente de V , nos limitamos a transformaciones lineales invertibles. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sea ρ una representación de G en V . Puede darse el caso de que V tenga un subespacio , W , tal que para cada elemento g de G , la función lineal invertible ρ ( g ) preserva o fija W , de modo que ( ρ ( g ))( w ) está en W para cada w en W , y ( ρ ( g ))( v ) no está en W para cualquier v no en W . En otras palabras, cada función lineal ρ ( g ): V → V es también un automorfismo de W , ρ ( g ): W → W , cuando su dominio está restringido a W . Decimos que W es estable bajo G , o estable bajo la acción de G . Está claro que si consideramos W por sí solo como un espacio vectorial, entonces hay una representación obvia de G en W —la representación que obtenemos al restringir cada función ρ ( g ) a W . Cuando W tiene esta propiedad, llamamos a W con la representación dada una subrepresentación de V. Toda representación de G se tiene a sí misma y al espacio vectorial cero como subrepresentaciones triviales. Una representación de G sin subrepresentaciones no triviales se llama representación irreducible . Las representaciones irreducibles, como los números primos o como los grupos simples en la teoría de grupos , son los componentes básicos de la teoría de la representación. Muchas de las preguntas y teoremas iniciales de la teoría de la representación tratan de las propiedades de las representaciones irreducibles.

Así como nos interesan los homomorfismos entre grupos y las aplicaciones continuas entre espacios topológicos , también nos interesan ciertas funciones entre representaciones de G. Sean V y W espacios vectoriales, y sean y representaciones de G en V y W respectivamente. Luego definimos una aplicación G -lineal f de V a W como una aplicación lineal de V a W que es equivariante bajo la acción de G ; es decir, para cada g en G , . En otras palabras, requerimos que f conmute con la acción de G. Las aplicaciones G -lineales son los morfismos en la categoría de representaciones de G. ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}$

El lema de Schur es un teorema que describe qué G - mapas lineales pueden existir entre dos representaciones irreducibles de G.

Enunciado y demostración del lema

Teorema (Lema de Schur) : Sean V y W espacios vectoriales; y sean y representaciones irreducibles de G en V y W respectivamente. ^[2] ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$

1. Si y no son isomorfos , entonces no hay mapas G -lineales no triviales entre ellos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$
2. Si es de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (por ejemplo , ); y si , entonces las únicas aplicaciones G -lineales no triviales son la identidad y los múltiplos escalares de la identidad. (Un múltiplo escalar de la identidad a veces se denomina homotecia ) . ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$

Demostración: Supongamos que es una función G -lineal distinta de cero de a . Probaremos que y son isomorfos. Sea el núcleo , o espacio nulo, de en , el subespacio de todos en para los cuales . (Es fácil comprobar que se trata de un subespacio). Suponiendo que es G -lineal , para cada en y elección de en , . Pero decir eso es lo mismo que decir que está en el espacio nulo de . Por lo tanto es estable bajo la acción de G ; es una subrepresentación. Puesto que, por supuesto , es irreducible, debe ser cero; por lo tanto, es inyectiva . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$ ${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$ ${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$ ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f}$

Mediante un argumento idéntico demostraremos que también es sobreyectiva ; puesto que , podemos concluir que para una elección arbitraria de en la imagen de , envía a algún otro lugar en la imagen de ; en particular, lo envía a la imagen de . Por lo tanto, la imagen de es un subespacio de estable bajo la acción de , por lo que es una subrepresentación y debe ser cero o sobreyectiva. Por suposición, no es cero, por lo que es sobreyectiva, en cuyo caso es un isomorfismo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$

En el caso de que finito-dimensional sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y tengan la misma representación, sea un valor propio de . (Existe un valor propio para cada transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Sea . Entonces si es un vector propio de correspondiente a . Está claro que es una función G -lineal , porque la suma o diferencia de funciones G -lineales también es G -lineal . Luego volvemos al argumento anterior, donde usamos el hecho de que una función era G -lineal para concluir que el núcleo es una subrepresentación, y por lo tanto es cero o igual a todos los ; debido a que no es cero (contiene ) debe ser todos los V y por lo tanto es trivial, por lo que . ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'=f-\lambda I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f=\lambda I}$

Corolario del lema de Schur

Un corolario importante del lema de Schur se desprende de la observación de que a menudo podemos construir aplicaciones explícitamente lineales entre representaciones "promediando" la acción de elementos individuales del grupo sobre algún operador lineal fijo. En particular, dada cualquier representación irreducible, dichos objetos satisfarán los supuestos del lema de Schur, y por lo tanto serán múltiplos escalares de la identidad. Más precisamente: ${\displaystyle G}$

Corolario : Utilizando la misma notación del teorema anterior, sea una aplicación lineal de V en W y establezcamos entonces, ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$

1. Si y no son isomorfos , entonces . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle h_{0}=0}$
2. Si es de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (por ejemplo ); y si , entonces , donde n es la dimensión de V . Es decir, es una homotecia de razón . ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$ ${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$

Demostración: Demostremos primero que es una función G-lineal, es decir, para todo . En efecto, considere que ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

Ahora, aplicando el teorema anterior, para el caso 1, se deduce que , y para el caso 2, se deduce que es un múltiplo escalar de la matriz identidad (es decir, ). Para determinar el múltiplo escalar , considere que ${\displaystyle h_{0}=0}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{0}=\mu I}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

De lo cual se deduce que . ${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$

Este resultado tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, en el contexto de la ciencia de la información cuántica , se utiliza para derivar resultados sobre diseños t proyectivos complejos . ^[3] En el contexto de la teoría de orbitales moleculares , se utiliza para restringir las interacciones orbitales atómicas en función de la simetría molecular . ^[4]

Formulación en lenguaje de módulos

Teorema: Si M y N son dos módulos simples sobre un anillo R , entonces cualquier homomorfismo f : M → N de R - módulos es invertible o cero. ^[5] En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división . ^[6]

La condición de que f sea un homomorfismo de módulo significa que

${\displaystyle f(rm)=rf(m){\text{ for all }}m\in M{\text{ and }}r\in R.}$

Demostración: Basta con mostrar que es cero o sobreyectiva e inyectiva. Primero mostramos que tanto y son -módulos. Si tenemos , por lo tanto . De manera similar, si , entonces para todo . Ahora, como y son submódulos de módulos simples, son triviales o iguales a , respectivamente. Si , su núcleo no puede ser igual y, por lo tanto, debe ser trivial (por lo tanto, es inyectiva), y su imagen no puede ser trivial y, por lo tanto, debe ser igual (por lo tanto, es sobreyectiva). Entonces es biyectiva y, por lo tanto, un isomorfismo. En consecuencia, todo homomorfismo es cero o invertible, lo que lo convierte en un anillo de división. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\in \ker(f),r\in R}$ ${\displaystyle f(rm)=rf(m)=0}$ ${\displaystyle rm\in \ker(f)}$ ${\displaystyle n=f(m)\in \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle rn=rf(m)=f(rm)\in \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \ker(f)\subseteq M}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)\subseteq N}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

La versión de grupo es un caso especial de la versión de módulo, ya que cualquier representación de un grupo G puede verse de manera equivalente como un módulo sobre el anillo de grupo de G.

El lema de Schur se aplica con frecuencia en el siguiente caso particular. Supóngase que R es un álgebra sobre un cuerpo k y que el espacio vectorial M = N es un módulo simple de R. Entonces el lema de Schur dice que el anillo de endomorfismo del módulo M es un álgebra de división sobre k . Si M es de dimensión finita, esta álgebra de división es de dimensión finita. Si k es el cuerpo de números complejos, la única opción es que esta álgebra de división sea los números complejos. Por lo tanto, el anillo de endomorfismo del módulo M es "tan pequeño como sea posible". En otras palabras, las únicas transformaciones lineales de M que conmutan con todas las transformaciones que vienen de R son múltiplos escalares de la identidad.

De manera más general, si es un álgebra sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y es un módulo simple que satisface (la cardinalidad de ), entonces . ^[7] Así que, en particular, si es un álgebra sobre un cuerpo algebraicamente cerrado incontable y es un módulo simple que es como máximo de dimensión contable, las únicas transformaciones lineales de ese conmuta con todas las transformaciones que vienen de son múltiplos escalares de la identidad. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \dim _{k}(M)<\#k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Cuando el campo no está algebraicamente cerrado, el caso en el que el anillo de endomorfismos es lo más pequeño posible sigue siendo de particular interés. Se dice que un módulo simple sobre un álgebra es absolutamente simple si su anillo de endomorfismos es isomorfo a . Esto es en general más fuerte que ser irreducible sobre el campo , e implica que el módulo es irreducible incluso sobre el cierre algebraico de . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Aplicación a personajes centrales

Definición: Sea un -álgebra. Se dice que un -módulo tiene carácter central (aquí, es el centro de ) si para cada uno existe tal que , es decir, si cada uno es un vector propio generalizado de con valor propio . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$ ${\displaystyle Z(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \chi (z)}$

Si , por ejemplo en el caso esbozado anteriormente, cada elemento de actúa como un -endomorfismo y, por lo tanto, como un escalar. Por lo tanto, existe un homomorfismo de anillo tal que para todo . En particular, tiene carácter central . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$ ${\displaystyle Z(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$ ${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$ ${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi }$

Si es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, un carácter central también se denomina carácter infinitesimal y las consideraciones anteriores muestran que si es de dimensión finita (por lo que es de dimensión contable), entonces cada módulo simple tiene un carácter infinitesimal. ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En el caso donde es el álgebra de grupo de un grupo finito , se sigue la misma conclusión. Aquí, el centro de consiste en elementos de la forma donde es una función de clase , es decir, invariante bajo conjugación. Dado que el conjunto de funciones de clase está abarcado por los caracteres de las representaciones irreducibles , el carácter central está determinado por aquello a lo que se asigna (para todos los ). Dado que todos son idempotentes, cada uno de ellos se asigna a 0 o a 1, y dado que para dos representaciones irreducibles diferentes, solo una puede asignarse a 1: la que corresponde al módulo . ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$ ${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$ ${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$ ${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$ ${\displaystyle u_{\pi }}$ ${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$ ${\displaystyle u_{\pi }}$ ${\displaystyle M}$

Representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie

A continuación describiremos el lema de Schur tal como se enuncia habitualmente en el contexto de las representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie . El resultado consta de tres partes. ^[8]

En primer lugar, supongamos que y son representaciones irreducibles de un grupo de Lie o un álgebra de Lie sobre cualquier cuerpo y que es una función entrelazada . Entonces es cero o un isomorfismo. ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

En segundo lugar, si es una representación irreducible de un grupo de Lie o un álgebra de Lie sobre un campo algebraicamente cerrado y es un mapa entrelazado, entonces es un múltiplo escalar del mapa identidad. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ ${\displaystyle \phi }$

En tercer lugar, supongamos que y son representaciones irreducibles de un grupo de Lie o álgebra de Lie sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y son funciones entrelazadas distintas de cero . Entonces, para algún escalar . ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Un corolario simple de la segunda afirmación es que toda representación irreducible compleja de un grupo abeliano es unidimensional.

Aplicación al elemento Casimir

Supóngase que es un álgebra de Lie y es el álgebra envolvente universal de . Sea una representación irreducible de sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. La propiedad universal del álgebra envolvente universal asegura que se extiende a una representación de actuando sobre el mismo espacio vectorial. De la segunda parte del lema de Schur se deduce que si pertenece al centro de , entonces debe ser un múltiplo del operador identidad. En el caso en que es un álgebra de Lie semisimple compleja , un ejemplo importante de la construcción precedente es aquel en el que es el elemento de Casimir (cuadrático) . En este caso, , donde es una constante que puede calcularse explícitamente en términos del peso más alto de . ^[9] La acción del elemento de Casimir juega un papel importante en la prueba de reducibilidad completa para representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples. ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$ ${\displaystyle \lambda _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

Generalización a módulos no simples

La versión de un módulo del lema de Schur admite generalizaciones que involucran módulos M que no son necesariamente simples. Expresan relaciones entre las propiedades de teoría de módulos de M y las propiedades del anillo de endomorfismos de M .

Se dice que un módulo es fuertemente indescomponible si su anillo de endomorfismo es un anillo local . Para la importante clase de módulos de longitud finita , las siguientes propiedades son equivalentes (Lam 2001, §19):

• Un módulo M es indescomponible ;
• M es fuertemente indescomponible;
• Todo endomorfismo de M es nilpotente o invertible.

En general, el lema de Schur no puede invertirse: existen módulos que no son simples, pero su álgebra de endomorfismos es un anillo de división . Tales módulos son necesariamente indescomponibles, y por lo tanto no pueden existir sobre anillos semisimples como el anillo de grupo complejo de un grupo finito . Sin embargo, incluso sobre el anillo de los números enteros , el módulo de los números racionales tiene un anillo de endomorfismos que es un anillo de división, específicamente el cuerpo de los números racionales. Incluso para los anillos de grupo, hay ejemplos en los que la característica del cuerpo divide el orden del grupo: el radical de Jacobson de la cubierta proyectiva de la representación unidimensional del grupo alternado A ₅ sobre el cuerpo finito con tres elementos F ₃ tiene F ₃ como su anillo de endomorfismos.

Véase también

• Complemento de Schur
• Lema de Quillen

Notas

1. Schur, Issai (1905). "Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere" [Nuevos fundamentos para la teoría de los personajes grupales]. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en alemán). Berlín: Preußische Akademie der Wissenschaften: 406–432.
2. Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 42. Nueva York, NY: Springer. p. 13. doi :10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-1-4684-9458-7.
3. Scott, AJ (27 de octubre de 2006). "Medidas cuánticas completas e informativas ajustadas". Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (43): 13507–13530. arXiv : quant-ph/0604049 . Bibcode :2006JPhA...3913507S. doi :10.1088/0305-4470/39/43/009. hdl : 10072/22680 . ISSN  0305-4470. S2CID  33144766.
4. Bishop, David M. (14 de enero de 1993). Simetría y química . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0486673554.
5. Sengupta 2012, pág. 126
6. Lam 2001, pág. 33
7. Bourbaki, Nicolás (2012). "Algèbre: Capítulo 8". Éléments de mathématique (Edición revisada y ampliada). Saltador. pag. 43.ISBN​ 978-3031192920.
8. Hall 2015 Teorema 4.29
9. Propuesta 10.6 del Salón 2015
10. Hall 2015 Sección 10.3

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999). Álgebra abstracta (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pág. 337. ISBN 0-471-36857-1.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.
• Sengupta, Ambar (2012). "Representaciones inducidas". Representación de grupos finitos . Nueva York. pp. 235–248. doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311.OCLC 769756134  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Shtern, AI; Lomonosov, VI (2001) [1994], "Lema de Schur", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press