Diseño cuántico t

Un diseño t cuántico es una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos puros u operadores unitarios que puede duplicar las propiedades de la distribución de probabilidad sobre la medida de Haar para polinomios de grado t o menor. Específicamente, el promedio de cualquier función polinómica de grado t sobre el diseño es exactamente el mismo que el promedio sobre la medida de Haar. Aquí la medida de Haar es una distribución de probabilidad uniforme sobre todos los estados cuánticos o sobre todos los operadores unitarios. Los diseños t cuánticos se denominan así porque son análogos a los diseños t en estadística clásica, que surgieron históricamente en conexión con el problema del diseño de experimentos . Dos tipos particularmente importantes de diseños t en mecánica cuántica son los diseños t proyectivos y unitarios. ^[1]

Un diseño esférico es una colección de puntos en la esfera unitaria para los cuales se pueden promediar polinomios de grado acotado para obtener el mismo valor que da la integración sobre la medida de la superficie en la esfera. Los diseños t esféricos y proyectivos derivan sus nombres de los trabajos de Delsarte, Goethals y Seidel a fines de la década de 1970, pero estos objetos desempeñaron papeles anteriores en varias ramas de las matemáticas, incluida la integración numérica y la teoría de números. Se han encontrado ejemplos particulares de estos objetos en la teoría de la información cuántica , ^[2] criptografía cuántica y otros campos relacionados.

Los diseños t unitarios son análogos a los diseños esféricos en el sentido de que reproducen todo el grupo unitario a través de una colección finita de matrices unitarias . ^[1] La teoría de los diseños 2 unitarios se desarrolló en 2006 ^[1] específicamente para lograr un medio práctico de evaluación comparativa aleatoria eficiente y escalable ^[3] para evaluar los errores en las operaciones de computación cuántica, llamadas puertas. Desde entonces, los diseños t unitarios se han encontrado útiles en otras áreas de la computación cuántica y, de manera más amplia, en la teoría de la información cuántica y se han aplicado a problemas de alcance tan amplio como la paradoja de la información del agujero negro. ^[4] Los diseños t unitarios son especialmente relevantes para las tareas de aleatorización en la computación cuántica, ya que las operaciones ideales generalmente se representan mediante operadores unitarios.

Motivación

En un espacio de Hilbert de dimensión d, al promediar todos los estados puros cuánticos, el grupo natural es SU(d), el grupo unitario especial de dimensión d. ^{[ cita requerida ]} La medida de Haar es, por definición, la única medida invariante de grupo, por lo que se utiliza para promediar propiedades que no son unitariamente invariantes sobre todos los estados o sobre todos los unitarios.

Un ejemplo de esto que se utiliza con mucha frecuencia es el sistema de espín. Para este sistema, el grupo relevante es SU(2), que es el grupo de todos los operadores unitarios 2x2 con determinante 1. Dado que cada operador en SU(2) es una rotación de la esfera de Bloch , la medida de Haar para partículas de espín 1/2 es invariante bajo todas las rotaciones de la esfera de Bloch. Esto implica que la medida de Haar es la medida invariante rotacionalmente en la esfera de Bloch, que puede considerarse como una distribución de densidad constante sobre la superficie de la esfera. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Una clase importante de diseños t proyectivos complejos son las medidas de valor operador positivo ( POVM ) simétricas e informativamente completas, que son diseños 2 proyectivos complejos. Dado que estos diseños 2 deben tener al menos elementos, un SIC-POVM es un diseño 2 proyectivo complejo de tamaño mínimo. ^[5] ${\displaystyle d^{2}}$

Diseños en T esféricos

Los diseños t proyectivos complejos se han estudiado en la teoría de la información cuántica como diseños t cuánticos. ^[6] Estos están estrechamente relacionados con los diseños 2t esféricos de vectores en la esfera unitaria en los que, cuando se incrustan de forma natural, dan lugar a diseños t proyectivos complejos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Formalmente, definimos una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos como un diseño t proyectivo complejo ^{[6] si} ${\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}$

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}=\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }$

Aquí, la integral sobre estados se toma sobre la medida de Haar en la esfera unitaria en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Los diseños t exactos sobre estados cuánticos no se pueden distinguir de la distribución de probabilidad uniforme sobre todos los estados cuando se utilizan t copias de un estado de la distribución de probabilidad. Sin embargo, en la práctica, incluso los diseños t pueden resultar difíciles de calcular. Por este motivo, los diseños t aproximados son útiles.

Los diseños t aproximados son más útiles debido a su capacidad de implementarse de manera eficiente, es decir, es posible generar un estado cuántico distribuido de acuerdo con la distribución de probabilidad en el tiempo. Esta construcción eficiente también implica que el POVM de los operadores puede implementarse en el tiempo. ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle p_{i}|\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$ ${\displaystyle Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ ${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$

La definición técnica de un diseño t aproximado es:

Si ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi }$

y ${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }$

entonces es un diseño t aproximado. ${\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Es posible, aunque quizás ineficiente, encontrar un diseño t aproximado que consista en estados cuánticos puros para un t fijo. ${\displaystyle \epsilon }$

Construcción

Por conveniencia se supone que d es una potencia de 2.

Utilizando el hecho de que para cualquier d existe un conjunto de funciones {0,...,d-1} {0,...,d-1} tales que para cualquier {0,...,d-1} distinto la imagen bajo f, donde f se elige al azar de S, es exactamente la distribución uniforme sobre tuplas de N elementos de {0,...,d-1}. ${\displaystyle N^{d}}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle k_{1},...,k_{N}\in }$

Sea extraída de la medida de Haar. Sea la distribución de probabilidad de y sea . Finalmente sea extraída de P. Si definimos con probabilidad y con probabilidad entonces: para j impar y para j par. ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle }$ ${\displaystyle P_{d}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X=|\alpha |}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle X=-|\alpha |}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle E[X^{j}]=0}$ ${\displaystyle E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!}$

Usando esto y la cuadratura gaussiana podemos construir lo que es un diseño t aproximado. ${\displaystyle p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}}$ ${\displaystyle p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle }$

Diseños unitarios en T

Los diseños t unitarios son análogos a los diseños esféricos en el sentido de que reproducen todo el grupo unitario a través de una colección finita de matrices unitarias . ^[1] La teoría de los diseños 2 unitarios se desarrolló en 2006 ^[1] específicamente para lograr un medio práctico de evaluación comparativa aleatoria eficiente y escalable ^[3] para evaluar los errores en las operaciones de computación cuántica, llamadas puertas. Desde entonces, los diseños t unitarios se han encontrado útiles en otras áreas de la computación cuántica y, de manera más amplia, en la teoría de la información cuántica y en campos tan amplios como la física de los agujeros negros. ^[4] Los diseños t unitarios son especialmente relevantes para las tareas de aleatorización en la computación cuántica, ya que las operaciones ideales generalmente se representan mediante operadores unitarios.

Los elementos de un diseño t unitario son elementos del grupo unitario, U(d), el grupo de matrices unitarias. Un diseño t de operadores unitarios generará un diseño t de estados. ${\displaystyle d\times d}$

Supongamos que es un diseño t unitario (es decir, un conjunto de operadores unitarios). Entonces, para cualquier estado puro, sea . Entonces siempre será un diseño t para los estados. ${\displaystyle {U_{k}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {|\psi _{k}\rangle }}$

Defina formalmente un diseño t unitario , X, si

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU}$

Obsérvese que el espacio abarcado linealmente por las matrices sobre todas las opciones de U es idéntico a la restricción y Esta observación conduce a una conclusión sobre la dualidad entre diseños unitarios y códigos unitarios. ${\displaystyle U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU}$ ${\displaystyle U\in X}$ ${\displaystyle r+s=t}$

Utilizando los mapas de permutación es posible ^[6] verificar directamente que un conjunto de matrices unitarias forma un diseño t. ^[7]

Un resultado directo de esto es que para cualquier número finito ${\displaystyle X\subseteq U(d)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}dU}$

Con igualdad si y sólo si X es un diseño t.

Se han examinado los diseños 1 y 2 con cierto detalle y se han derivado límites absolutos para la dimensión de X, |X|. ^[8]

Límites para diseños unitarios

Definir como el conjunto de funciones homogéneas de grado t en y homogéneas de grado t en , entonces si para cada : ${\displaystyle \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{*}}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU}$

entonces X es un diseño t unitario.

Definimos además el producto interno de las funciones y como el valor promedio de como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U(d)}$ ${\displaystyle {\bar {f}}g}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX}$

y como el valor promedio de sobre cualquier subconjunto finito . ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}g}$ ${\displaystyle X\subset U(d)}$

De ello se deduce que X es un diseño t unitario si y sólo si . ${\displaystyle \langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f}$

De lo anterior se puede demostrar que si X es un diseño t, entonces es un límite absoluto para el diseño. Esto impone un límite superior al tamaño de un diseño unitario. Este límite es absoluto , lo que significa que depende solo de la solidez del diseño o del grado del código, y no de las distancias en el subconjunto, X. ^[9] ${\displaystyle |X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))}$

Un código unitario es un subconjunto finito del grupo unitario en el que se dan unos pocos valores de producto interno entre elementos. En concreto, un código unitario se define como un subconjunto finito si para todo en X solo se toman valores distintos. ${\displaystyle X\subset U(d)}$ ${\displaystyle U\neq M}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}}$

De ello se deduce que y si U y M son ortogonales: ${\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))}$ ${\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))}$

Véase también

• Diseño esférico
• Líneas equiangulares
• Límites de Welch

Referencias

1. Dankert, Christoph; Cleve, Richard; Emerson, Joseph; Livine, Etera (6 de julio de 2009). "Diseños unitarios 2 exactos y aproximados y su aplicación a la estimación de fidelidad". Physical Review A . 80 (1): 012304. arXiv : quant-ph/0606161 . Código Bibliográfico :2009PhRvA..80a2304D. doi :10.1103/physreva.80.012304. ISSN  1050-2947. S2CID  46914367.
2. Hayashi, A.; Hashimoto, T.; Horibe, M. (21 de septiembre de 2005). "Reexamen de la estimación óptima del estado cuántico de estados puros". Physical Review A . 72 (3): 032325. arXiv : quant-ph/0410207 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..72c2325H. doi :10.1103/physreva.72.032325. ISSN  1050-2947. S2CID  115394183.
3. Emerson, Joseph; Alicki, Robert; Życzkowski, Karol (21 de septiembre de 2005). "Estimación de ruido escalable con operadores unitarios aleatorios". Journal of Optics B: Óptica cuántica y semiclásica . 7 (10). IOP Publishing: S347–S352. arXiv : quant-ph/0503243 . Código Bibliográfico :2005JOptB...7S.347E. doi :10.1088/1464-4266/7/10/021. ISSN  1464-4266. S2CID  17729419.
4. Hayden, Patrick; Preskill, John (26 de septiembre de 2007). "Agujeros negros como espejos: información cuántica en subsistemas aleatorios". Journal of High Energy Physics . 2007 (9): 120. arXiv : 0708.4025 . Bibcode :2007JHEP...09..120H. doi :10.1088/1126-6708/2007/09/120. ISSN  1029-8479. S2CID  15261400.
5. Renes, Joseph M.; Blume-Kohout, Robin; Scott, AJ; Caves, Carlton M. (junio de 2004). "Medidas cuánticas informativamente completas simétricas". Journal of Mathematical Physics . 45 (6): 2171–2180. arXiv : quant-ph/0310075 . Bibcode :2004JMP....45.2171R. doi :10.1063/1.1737053. hdl : 10072/21107 . ISSN  0022-2488. S2CID  17371881.
6. Ambainis, Andris; Emerson, Joseph (2007). "Diseños t cuánticos: independencia T-wise en el mundo cuántico". arXiv : quant-ph/0701126 .
7. Collins, Benoît; Śniady, Piotr (22 de marzo de 2006). "Integración con respecto a la medida de Haar en grupos unitarios, ortogonales y simplécticos". Comunicaciones en física matemática . 264 (3). Springer Science and Business Media LLC: 773–795. arXiv : math-ph/0402073 . Código Bibliográfico :2006CMaPh.264..773C. doi :10.1007/s00220-006-1554-3. ISSN  0010-3616. S2CID  16122807.
8. Gross, D.; Audenaert, K.; Eisert, J. (2007). "Unitarios distribuidos uniformemente: sobre la estructura de los diseños unitarios". Journal of Mathematical Physics . 48 (5): 052104. arXiv : quant-ph/0611002 . Bibcode :2007JMP....48e2104G. doi :10.1063/1.2716992. ISSN  0022-2488. S2CID  119572194.
9. Aidan Roy; AJ Scott (2009). "Diseños y códigos unitarios". Diseños, códigos y criptografía . 53 : 13–31. arXiv : 0809.3813 . doi :10.1007/s10623-009-9290-2. S2CID  19010867.