Teoría de la representación de las álgebras de Hopf

En álgebra abstracta , una representación de un álgebra de Hopf es una representación de su álgebra asociativa subyacente . Es decir, una representación de un álgebra de Hopf H sobre un cuerpo K es un espacio vectorial K V con una acción H × V → V que se suele denotar por yuxtaposición (es decir, la imagen de ( h , v ) se escribe hv ). El espacio vectorial V se denomina H -módulo.

Propiedades

La estructura modular de una representación de un álgebra de Hopf H es simplemente su estructura como módulo para el álgebra asociativa subyacente. El uso principal de considerar la estructura adicional de un álgebra de Hopf es cuando se consideran todos los H -módulos como una categoría. La estructura adicional también se utiliza para definir elementos invariantes de un H -módulo V . Un elemento v en V es invariante bajo H si para todo h en H , hv = ε( h ) v , donde ε es la counidad de H . El subconjunto de todos los elementos invariantes de V forma un submódulo de V .

Categorías de representaciones como motivación para las álgebras de Hopf

Para un álgebra asociativa H , el producto tensorial V ₁ ⊗ V ₂ de dos H -módulos V ₁ y V ₂ es un espacio vectorial, pero no necesariamente un H -módulo. Para que el producto tensorial sea una operación de producto funcional sobre H -módulos, debe haber una operación binaria lineal Δ : H → H ⊗ H tal que para cualquier v en V ₁ ⊗ V ₂ y cualquier h en H ,

${\displaystyle hv=\Delta h(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)}v_{(2)},}$

y para cualquier v en V ₁ ⊗ V ₂ y a y b en H ,

${\displaystyle \Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=(ab)v=a[b[v]]=\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}).}$

utilizando la notación de Sweedler sin suma , que es algo así como una forma libre de índice de la convención de suma de Einstein . Esto se satisface si hay un Δ tal que Δ( ab ) = Δ( a )Δ( b ) para todos a , b en H .

Para que la categoría de H -módulos sea una categoría monoidal estricta con respecto a ⊗, deben ser equivalentes y debe existir un objeto unitario ε _H , llamado módulo trivial, tal que ε _H ⊗ V , V y V ⊗ ε _H sean equivalentes. ${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})}$ ${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

Esto significa que para cualquier v en

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}$

y para h en H ,

${\displaystyle ((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

Esto será válido para cualesquiera tres módulos H si Δ satisface

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.}$

El módulo trivial debe ser unidimensional, por lo que se puede definir un homomorfismo algebraico ε : H → F tal que hv = ε( h ) v para todo v en ε _H . El módulo trivial se puede identificar con F , siendo 1 el elemento tal que 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 para todo v . De ello se deduce que para cualquier v en cualquier H -módulo V , cualquier c en ε _H y cualquier h en H ,

${\displaystyle (\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)})cv=h_{(1)}c\otimes h_{(2)}v=h(c\otimes v)=h(cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.}$

La existencia de un homomorfismo de álgebra ε que satisface

${\displaystyle \varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}=h=h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)})}$

es una condición suficiente para la existencia del módulo trivial.

De ello se deduce que para que la categoría de H -módulos sea una categoría monoidal respecto del producto tensorial, basta con que H tenga funciones Δ y ε que satisfagan estas condiciones. Esta es la motivación para la definición de una biálgebra , donde Δ se denomina comultiplicación y ε se denomina counit .

Para que cada H -módulo V tenga una representación dual V tal que los espacios vectoriales subyacentes sean duales y la operación * sea funcional sobre la categoría monoidal de H -módulos, debe haber una función lineal S  : H → H tal que para cualquier h en H , x en V e y en V * ,

${\displaystyle \langle y,S(h)x\rangle =\langle hy,x\rangle .}$

donde es el emparejamiento habitual de espacios vectoriales duales. Si la función inducida por el emparejamiento debe ser un homomorfismo H , entonces para cualquier h en H , x en V e y en V * , ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \varphi :V\otimes V^{*}\rightarrow \varepsilon _{H}}$

${\displaystyle \varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),}$

que se cumple si

${\displaystyle S(h_{(1)})h_{(2)}=\varepsilon (h)=h_{(1)}S(h_{(2)})}$

para todo h en H .

Si existe una función S , se la denomina antípoda y H es un álgebra de Hopf. El deseo de una categoría monoidal de módulos con productos tensoriales funcionales y representaciones duales es, por lo tanto, una de las motivaciones para el concepto de álgebra de Hopf.

Representaciones en un álgebra

Un álgebra de Hopf también tiene representaciones que llevan una estructura adicional, es decir, son álgebras.

Sea H un álgebra de Hopf. Si A es un álgebra con la operación de producto μ : A ⊗ A → A , y ρ : H ⊗ A → A es una representación de H en A , entonces se dice que ρ es una representación de H en un álgebra si μ es H - equivariante . Como casos especiales, las álgebras de Lie, las superálgebras de Lie y los grupos también pueden tener representaciones en un álgebra.

Véase también

• Teorema de reconstrucción de Tannaka-Krein