Emparejamiento

Mapa bilineal en matemáticas.

En matemáticas , un emparejamiento es un mapa R - bilineal del producto cartesiano de dos R - módulos , donde el anillo subyacente R es conmutativo .

Definición

Sea R un anillo conmutativo con unidad y sean M , N y L R - módulos .

Un emparejamiento es cualquier mapa R -bilineal . Es decir, satisface ${\displaystyle e:M\times N\to L}$

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$,

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$y ${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

para cualquiera y cualquiera y cualquiera . De manera equivalente, un emparejamiento es un mapa lineal R ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$ ${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

donde denota el producto tensorial de M y N. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Un emparejamiento también puede considerarse como un mapa R -lineal , que coincide con la primera definición por configuración . ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$ ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$

Un emparejamiento se llama perfecto si el mapa anterior es un isomorfismo de R -módulos. ${\displaystyle \Phi }$

Un emparejamiento se llama no degenerado por la derecha si para el mapa anterior tenemos que para todos implica ; de manera similar, se llama no degenerado por la izquierda si para todos implica . ${\displaystyle e(m,n)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e(m,n)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=0}$

Un emparejamiento se llama alternante si y para todo m . En particular, esto implica , mientras que la bilinealidad muestra . Por tanto, para un emparejamiento alterno, . ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle e(m,m)=0}$ ${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$ ${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$ ${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$

Ejemplos

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial real V es un par (conjunto M = N = V , R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matrices 2 × 2 sobre k ) → k puede verse como un emparejamiento . ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$

El mapa de Hopf escrito como es un ejemplo de emparejamiento. Por ejemplo, Hardie et al. ^[1] presentan una construcción explícita del mapa utilizando modelos poset. ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$

Emparejamientos en criptografía

En criptografía , a menudo se utiliza la siguiente definición especializada: ^[2]

Sean grupos aditivos y un grupo multiplicativo , todos de orden primo . Sean generadores de y respectivamente . ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{T}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{2}}$

Un emparejamiento es un mapa: ${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

para lo cual se cumple lo siguiente:

1. Bilinealidad : ${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}$
2. No degeneración : ${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. Para fines prácticos, tiene que ser computable de manera eficiente. ${\displaystyle \textstyle e}$

Tenga en cuenta que también es común en la literatura criptográfica que todos los grupos se escriban en notación multiplicativa.

En los casos en que , el emparejamiento se llama simétrico. Como es cíclico , el mapa será conmutativo ; es decir, para cualquiera , tenemos . Esto se debe a que para un generador existen números enteros tales como y . Por lo tanto . ${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$ ${\displaystyle \textstyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P,Q\in G}$ ${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P=g^{p}}$ ${\displaystyle Q=g^{q}}$ ${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$

El emparejamiento de Weil es un concepto importante en criptografía de curva elíptica ; por ejemplo, puede usarse para atacar ciertas curvas elípticas (ver ataque MOV). Este y otros pares se han utilizado para desarrollar esquemas de cifrado basados ​​en identidad .

Usos ligeramente diferentes de la noción de emparejamiento

Los productos escalares en espacios vectoriales complejos a veces se denominan emparejamientos, aunque no son bilineales. Por ejemplo, en la teoría de la representación , se tiene un producto escalar de los caracteres de representaciones complejas de un grupo finito que con frecuencia se denomina emparejamiento de caracteres .

Ver también

• sistema dual
• Producto Yoneda

Referencias

1. Hardie KA1; Vermeulen JJC; Witbooi PJ, Un emparejamiento no trivial de espacios T0 finitos, Topología y sus aplicaciones, Volumen 125, Número 3, 20 de noviembre de 2002, págs.
2. Dan Boneh, Matthew K. Franklin, Cifrado basado en identidad del emparejamiento Weil, SIAM J. of Computing, vol. 32, núm. 3, págs. 586–615, 2003.

enlaces externos

• La biblioteca criptográfica basada en emparejamiento