Carácter multiplicativo

En matemáticas , un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo multiplicativo de un campo (Artin 1966), generalmente el campo de números complejos . Si G es cualquier grupo, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual.

Este grupo se conoce como grupo de caracteres de G. En ocasiones sólo se consideran caracteres unitarios (personajes cuya imagen está en el círculo unitario ); otros homomorfismos similares se denominan cuasicaracteres . Los personajes de Dirichlet pueden verse como un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, si hay caracteres diferentes en un grupo G , entonces se deduce que ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.}$

Ejemplos

• Considere el grupo ( ax  +  b )

${\displaystyle G:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\ \right|\ a>0,\ b\in \mathbf {R} \right\}.}$

Funciones f _u  : G → C tales que donde u se extiende sobre números complejos C son caracteres multiplicativos. ${\displaystyle f_{u}\left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)=a^{u},}$

• Considere el grupo multiplicativo de números reales positivos ( R ⁺ ,·). Entonces las funciones f _u  : ( R ⁺ ,·) →  C tales que f _u ( a ) =  a ^u , donde a es un elemento de ( R ⁺ , ·) y u abarca números complejos C , son caracteres multiplicativos.

Referencias

• Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Conferencias de matemáticas de Notre Dame, número 2, Arthur Norton Milgram (Publicaciones reimpresas de Dover, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Conferencias impartidas en la Universidad de Notre Dame