Representación irreductible

Tipo de grupo y representación algebraica.

En matemáticas , específicamente en la teoría de la representación de grupos y álgebras , una representación irreducible o irrep de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene una subrepresentación adecuada no trivial , con cierre bajo la acción de . ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Cada representación unitaria de dimensión finita en un espacio de Hilbert es la suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreducibles son siempre indescomponibles (es decir, no pueden descomponerse más en una suma directa de representaciones), pero lo contrario puede no ser válido, por ejemplo, la representación bidimensional de los números reales que actúan mediante matrices unipotentes triangulares superiores es indescomponible pero reducible. ${\displaystyle V}$

Historia

La teoría de la representación de grupos fue generalizada por Richard Brauer a partir de la década de 1940 para dar la teoría de la representación modular , en la que los operadores matriciales actúan en un espacio vectorial sobre un campo de características arbitrarias , en lugar de en un espacio vectorial sobre el campo de números reales o sobre el campo de números complejos . La estructura análoga a una representación irreductible en la teoría resultante es un módulo simple . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle K}$

Descripción general

Sea una representación, es decir, un homomorfismo de un grupo donde hay un espacio vectorial sobre un campo . Si elegimos una base para , podemos considerarlo como una función (un homomorfismo) de un grupo en un conjunto de matrices invertibles y, en este contexto, se denomina representación matricial . Sin embargo, simplifica mucho las cosas si pensamos en el espacio sin base. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Un subespacio lineal se llama -invariante si es para todos y todos . La co-restricción del grupo lineal general de un subespacio invariante se conoce como subrepresentación . Se dice que una representación es irreducible si sólo tiene subrepresentaciones triviales (todas las representaciones pueden formar una subrepresentación con los subespacios invariantes triviales, por ejemplo, todo el espacio vectorial y {0} ). Si existe un subespacio invariante no trivial adecuado, se dice que es reducible . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

Notación y terminología de representaciones de grupos.

Los elementos del grupo pueden representarse mediante matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de un grupo es un mapeo de los elementos del grupo al grupo lineal general de matrices. Como notación, denotemos a , b , c , ... elementos de un grupo G con producto de grupo significado sin ningún símbolo, por lo que ab es el producto de grupo de a y b y también es un elemento de G , y dejemos que se indiquen las representaciones por D . La representación de a se escribe como

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en una multiplicación matricial de las representaciones:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Si e es el elemento identidad del grupo (de modo que ae = ea = a , etc.), entonces D ( e ) es una matriz identidad , o de manera idéntica una matriz de bloques de matrices identidad, ya que debemos tener

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

y de manera similar para todos los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones corresponden al requisito de que D sea un homomorfismo de grupo .

Representaciones reducibles e irreducibles

Una representación es reducible si contiene un subespacio G-invariante no trivial, es decir, todas las matrices se pueden poner en forma de bloque triangular superior mediante la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud: ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que asigna cada matriz en la representación al mismo patrón de bloques triangulares superiores. Cada bloque menor de secuencia ordenada es una subrepresentación de grupo. Es decir, si la representación es, por ejemplo, de dimensión 2, entonces tenemos: $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

donde es una subrepresentación no trivial. Si somos capaces de encontrar una matriz que también lo haga, entonces no solo será reducible sino también descomponible. ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$ ${\displaystyle D(a)}$

Aviso: Incluso si una representación es reducible, es posible que su representación matricial aún no sea la forma de bloque triangular superior. Sólo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar. ${\displaystyle P^{-1}}$

Representaciones descomponibles e indecomponibles

Una representación es descomponible si todas las matrices se pueden poner en forma diagonal de bloques mediante la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud : ^[1] ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que diagonaliza cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques diagonales . Cada uno de estos bloques es entonces una subrepresentación de grupo independiente de los demás. Se dice que las representaciones D ( a ) y D′ ( a ) son representaciones equivalentes . ^[2] La representación ( k -dimensional, digamos) se puede descomponer en una suma directa de k > 1 matrices :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

entonces D ( a ) es descomponible y se acostumbra etiquetar las matrices descompuestas con un superíndice entre paréntesis, como en D ^{( n )} ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores simplemente escriben la etiqueta numérica sin paréntesis.

La dimensión de D ( a ) es la suma de las dimensiones de los bloques:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Si esto no es posible, es decir k = 1 , entonces la representación es indescomponible. ^{[1] [3]}

Aviso : incluso si una representación es descomponible, su representación matricial puede no tener la forma de bloque diagonal. Sólo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar. ${\displaystyle P^{-1}}$

Conexión entre representación irreductible y representación indescomponible

Una representación irreductible es por naturaleza indescomponible. Sin embargo, lo contrario puede fallar.

Pero bajo algunas condiciones, tenemos una representación indescomponible que es una representación irreducible.

• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , entonces una representación indescomponible es una representación irreducible. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , si tenemos , entonces una representación indescomponible es una representación irreducible. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Ejemplos de representaciones irreductibles

Representación trivial

Todos los grupos tienen una representación trivial unidimensional e irreducible al asignar todos los elementos del grupo a la transformación de identidad. ${\displaystyle G}$

Representación unidimensional

Cualquier representación unidimensional es irreducible ya que no tiene subespacios invariantes no triviales adecuados.

Representaciones complejas irreductibles

Las representaciones complejas irreducibles de un grupo finito G se pueden caracterizar utilizando resultados de la teoría de caracteres . En particular, todas las representaciones complejas se descomponen como una suma directa de irreps, y el número de irreps de es igual al número de clases de conjugación de . ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

• Las representaciones complejas irreducibles de están dadas exactamente por los mapas , donde es una raíz de la unidad . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$
• Sea una representación compleja -dimensional de con base . Luego se descompone como una suma directa de los irrep y el subespacio ortogonal dado por El primer irrep es unidimensional e isomorfo a la representación trivial de . Este último es dimensional y se conoce como representación estándar de . ^[5] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$ $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle S_{n}}$
• Seamos un grupo. La representación regular de es el espacio vectorial complejo libre sobre la base de la acción grupal , denotado. Todas las representaciones irreducibles de aparecen en la descomposición de como una suma directa de irreps. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$ ${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Ejemplo de representación irreducible sobre F p

• Sea un grupo y sea una representación irreducible de dimensión finita de G sobre . Según el teorema del estabilizador de órbita, la órbita de cada elemento actuado por el grupo tiene un tamaño de potencia de . Dado que los tamaños de todas estas órbitas suman el tamaño de y está en una órbita de tamaño 1 que solo se contiene a sí misma, debe haber otras órbitas de tamaño 1 para que la suma coincida. Es decir, existe algo así para todos . Esto obliga a que toda representación irreductible de un grupo sea unidimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle gv=v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Aplicaciones en física teórica y química.

En física cuántica y química cuántica , cada conjunto de estados propios degenerados del operador hamiltoniano comprende un espacio vectorial V para una representación del grupo de simetría del hamiltoniano, un "multiplete", que se estudia mejor mediante reducción a sus partes irreducibles. Por lo tanto, identificar las representaciones irreductibles permite etiquetar los estados, predecir cómo se dividirán bajo perturbaciones; o transición a otros estados en V . Así, en mecánica cuántica, las representaciones irreducibles del grupo de simetría del sistema etiquetan parcial o completamente los niveles de energía del sistema, lo que permite determinar las reglas de selección . ^[6]

grupos de mentiras

grupo lorentz

Los irreps de D ( K ) y D ( J ) , donde J es el generador de rotaciones y K el generador de impulsos, se pueden utilizar para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz, porque están relacionadas con las matrices de espín de la tecnología cuántica. mecánica. Esto les permite derivar ecuaciones de ondas relativistas . ^[7]

Ver también

Álgebras asociativas

• módulo sencillo
• Módulo indescomponible
• Representación de un álgebra asociativa

grupos de mentiras

• Teoría de la representación de las álgebras de Lie.
• Teoría de la representación de SU(2)
• Teoría de la representación de SL2(R)
• Teoría de la representación del grupo galileano.
• Teoría de la representación de grupos de difeomorfismo.
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Teorema del mayor peso.

Referencias

1. EP Wigner (1959). Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Física pura y aplicada. Prensa académica. pag. 73.
2. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física. Científico mundial. pag. 32.ISBN​ 978-997-1966-560.
3. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física. Científico mundial. pag. 33.ISBN​ 978-997-1966-560.
4. Artín, Michael (2011). Álgebra (2ª ed.). Pearson. pag. 295.ISBN​ 978-0132413770.
5. Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9.
6. Levine, Ira N. (1991). "15". Química cuántica (4ª ed.). Prentice Hall. pag. 457.ISBN​ 0-205-12770-3. Cada conjunto posible de valores propios de simetría... se denomina especie de simetría (o tipo de simetría). El término de la teoría de grupos es representación irreducible.
7. T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometría de la propagación espacio-temporal de partículas giratorias". Anales de Física . 216 (2): 226–267. Código Bib : 1992AnPhy.216..226J. doi :10.1016/0003-4916(92)90176-M.

Libros

• H. Weyl (1950). La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Publicaciones de Courier Dover. pag. 203.ISBN​ 978-0-486-60269-1. Momentos magnéticos en mecánica cuántica relativista.
• Búnker de relaciones públicas; Según Jensen (2004). Fundamentos de la simetría molecular . Prensa CRC. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD Boardman; DE O'Conner; PA joven (1973). La simetría y sus aplicaciones en la ciencia . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual. Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-048-6675-855.
• E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pag. 425.ISBN​ 978-0-13-146100-0.
• BR Martin, G.Shaw (3 de diciembre de 2008). Física de partículas (3ª ed.). Serie de Física de Manchester, John Wiley & Sons. pag. 3.ISBN​ 978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), La teoría cuántica de campos , vol. 1, Cambridge University Press, págs. 230-231, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), La teoría cuántica de campos , vol. 2, prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), La teoría cuántica de campos , vol. 3, prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
• PW Atkins (1970). Mecánica cuántica molecular (Partes 1 y 2): una introducción a la química cuántica . vol. 1. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 125-126. ISBN 978-0-19-855129-4.

Artículos

• Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de ondas relativistas". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 34 (5): 211–23. Código bibliográfico : 1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). "Sobre las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bib : 1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. SEÑOR  1503456. S2CID  121773411. Archivado desde el original (PDF) el 4 de octubre de 2015 . Consultado el 7 de julio de 2013 .

Otras lecturas

• Artín, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Capítulo V.

enlaces externos

• "Comisión de Cristalografía Matemática y Teórica, Escuelas de Verano sobre Cristalografía Matemática" (PDF) . 2010.
• van Beveren, Eef (2012). «Algunos apuntes sobre teoría de grupos» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de mayo de 2011 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
• Teleman, Constantin (2005). "Teoría de la representación" (PDF) .
• "Algunas notas sobre Young Tableaux son útiles para irreps for su (n)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de noviembre de 2014 . Consultado el 7 de noviembre de 2014 .
• Cazar (2008). "Etiquetas de simetría de representación irreducible (IR)" (PDF) .
• Dermisek, Radovan (2008). «Representaciones del Grupo Lorentz» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
• Maciejko, José (2007). «Representaciones de los grupos Lorentz y Poincaré» (PDF) .
• Espera, Peter (2015). «Mecánica Cuántica para Matemáticos: Representaciones del Grupo Lorentz» (PDF) ., ver capítulo 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Gremio, David; Turetsky, Emma (2009). «Representaciones del Grupo de Simetría del Espacio-tiempo» (PDF) .
• Finley. "Álgebra de mentiras para los grupos de Poincaré y Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2012.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "Las representaciones unitarias del grupo de Poincaré en cualquier dimensión espacio-temporal". arXiv : hep-th/0611263 .
• "Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos". Respuestas.com .