Operador lineal
En matemáticas , un operador lineal T : V → V en un espacio vectorial V es semisimple si cada subespacio invariante en T tiene un subespacio invariante en T complementario . [1] Si T es un operador lineal semisimple en V, entonces V es una representación semisimple de T. De manera equivalente, un operador lineal es semisimple si su polinomio mínimo es un producto de polinomios irreducibles distintos . [2]
Un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es semisimple si y sólo si es diagonalizable . [1] [3]
Sobre un campo perfecto, la descomposición de Jordan-Chevalley expresa un endomorfismo como una suma de un endomorfismo semisimple s y un endomorfismo nilpotente n tales que tanto s como n son polinomios en x .
Véase también
Notas
- ^ ab Lam (2001), pág. 39
- ^ Jacobson 1979, Un párrafo antes del Cap. II, § 5, Teorema 11.
- ^ Esto es trivial por la definición en términos de un polinomio minimal, pero se puede ver más directamente de la siguiente manera. Un operador de este tipo siempre tiene un vector propio; si es, además, semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio, y por lo tanto, por inducción, es diagonalizable. A la inversa, se ve fácilmente que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base para este espacio se puede extender a una base propia.
Referencias
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semisimples". Álgebra lineal (2.ª ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251.
- Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de Lie . Nueva York. ISBN. 0-486-63832-4.OCLC 6499793 .
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ) - Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 131 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
