Descomposición Jordania-Chevalley

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la descomposición de Jordan-Chevalley , que lleva el nombre de Camille Jordan y Claude Chevalley , expresa un operador lineal de una manera única como la suma de otros dos operadores lineales que son más sencillos de entender. En concreto, una parte es potencialmente diagonalizable y la otra es nilpotente . Las dos partes son polinomios en el operador, lo que hace que se comporten bien en manipulaciones algebraicas.

La descomposición tiene una breve descripción cuando se da la forma normal de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que las necesarias para la existencia de una forma normal de Jordan. Por tanto, la descomposición Jordan-Chevalley puede verse como una generalización de la forma normal de Jordan, que también se refleja en varias pruebas de la misma.

Está estrechamente relacionado con el teorema principal de Wedderburn sobre álgebras asociativas , que también conduce a varios análogos en las álgebras de Lie . También existen análogos de la descomposición Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales y grupos de Lie mediante una reformulación multiplicativa. La descomposición es una herramienta importante en el estudio de todos estos objetos y fue desarrollada con este propósito.

En muchos textos, la parte potencialmente diagonalizable también se caracteriza como parte semisimple .

Introducción

Una pregunta básica en álgebra lineal es si un operador en un espacio vectorial de dimensión finita se puede diagonalizar . Por ejemplo, esto está estrechamente relacionado con los valores propios del operador. En varios contextos, es posible que se trate de muchos operadores que no son diagonalizables. Incluso en un campo algebraicamente cerrado, puede no existir una diagonalización. En este contexto, la forma normal de Jordan logra el mejor resultado posible, similar a una diagonalización. Para operadores lineales sobre un campo que no es algebraicamente cerrado , puede que no haya ningún vector propio. Este último punto no es el principal problema que aborda la descomposición Jordan-Chevalley. Para evitar este problema, se consideran en su lugar operadores potencialmente diagonalizables , que son aquellos que admiten una diagonalización sobre algún campo (o equivalentemente sobre el cierre algebraico del campo considerado).

Los operadores que están "más lejos" de ser diagonalizables son operadores nilpotentes . Se dice que un operador (o más generalmente un elemento de un anillo ) es nilpotente cuando hay algún número entero positivo tal que . En varios contextos de álgebra abstracta , se da el caso de que la presencia de elementos nilpotentes de un anillo hace que trabajar con ellos sea mucho más complicado. ^{[ cita necesaria ]} Hasta cierto punto, este también es el caso de los operadores lineales. La descomposición Jordan-Chevalley "separa" la parte nilpotente de un operador, lo que hace que no sea potencialmente diagonalizable. Entonces, cuando existe, las complicaciones introducidas por los operadores nilpotentes y su interacción con otros operadores pueden entenderse mediante la descomposición de Jordan-Chevalley. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle x^{m}=0}$

Históricamente, la descomposición Jordan-Chevalley estuvo motivada por las aplicaciones a la teoría de las álgebras de Lie y los grupos algebraicos lineales , ^[1] como se describe en las secciones siguientes.

Descomposición de un operador lineal.

Sea un campo , un espacio vectorial de dimensión finita sobre y un operador lineal sobre (equivalentemente, una matriz con entradas de ). Si el polinomio mínimo de se divide (por ejemplo, si es algebraicamente cerrado), entonces tiene una forma normal de Jordan . Si es la diagonal de , sea la parte restante. Entonces es una descomposición donde es diagonalizable y nilpotente. Esta reformulación de la forma normal como una descomposición aditiva no solo hace que el cálculo numérico sea más estable ^{[ cita necesaria ]} , sino que puede generalizarse a casos en los que el polinomio mínimo de no se divide. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=SJS^{-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R=J-D}$ ${\displaystyle T=SDS^{-1}+SRS^{-1}}$ ${\displaystyle SDS^{-1}}$ ${\displaystyle SRS^{-1}}$ ${\displaystyle T}$

Si el polinomio mínimo de se divide en distintos factores lineales, entonces es diagonalizable. Por lo tanto, si el polinomio mínimo de es al menos separable , entonces es potencialmente diagonalizable. La descomposición de Jordan-Chevalley se ocupa del caso más general en el que el polinomio mínimo de es un producto de polinomios separables. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Sea cualquier operador lineal en el espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo . Una descomposición de Jordan-Chevalley es una expresión de ella como una suma ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$,

donde es potencialmente diagonalizable, es nilpotente y . ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}x_{n}=x_{n}x_{s}}$

Descomposición de Jordan-Chevalley  :  sea cualquier operador en el espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo . Entonces admite una descomposición de Jordan-Chevalley si y sólo si el polinomio mínimo de es producto de polinomios separables. Además, en este caso, existe una descomposición de Jordan-Chevalley única y (y por lo tanto también ) se puede escribir como un polinomio (con coeficientes de ) con coeficiente constante cero. ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$

Varias pruebas se discuten en (Couty, Esterle & Zarouf 2011). A continuación también se describen dos argumentos.

Si es un campo perfecto , entonces todo polinomio es producto de polinomios separables (ya que todo polinomio es producto de sus factores irreducibles, y estos son separables en un campo perfecto). Entonces, en este caso, la descomposición Jordan-Chevalley siempre existe. Además, en un campo perfecto, un polinomio es separable si y sólo si no tiene cuadrados. Por lo tanto, un operador es potencialmente diagonalizable si y sólo si su polinomio mínimo no tiene cuadrados. En general (sobre cualquier campo), el polinomio mínimo de un operador lineal no tiene cuadrados si y sólo si el operador es semisimple . ^[2] (En particular, la suma de dos operadores semisimples conmutantes es siempre semisimple en un campo perfecto. La misma afirmación no es cierta en campos generales). La propiedad de ser semisimple es más relevante que ser potencialmente diagonalizable en la mayoría de los contextos donde el Se aplica la descomposición de Jordan-Chevalley, como para las álgebras de Lie. ^{[ cita necesaria ]} Por estas razones, muchos textos se limitan al caso de campos perfectos. ${\displaystyle K}$

Prueba de unicidad y necesidad.

Que y sean polinomios en implica en particular que conmutan con cualquier operador que conmuta con . Esta observación subyace a la prueba de unicidad. ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Sea una descomposición de Jordan-Chevalley en la que y (por lo tanto también) son polinomios en . Sea cualquier descomposición Jordan-Chevalley. Entonces , y ambos conmutan con , por lo tanto con ya que estos son polinomios en . La suma de operadores nilpotentes conmutantes es nuevamente nilpotente, y la suma de operadores potencialmente diagonalizables conmutantes nuevamente potencialmente diagonalizables (porque son simultáneamente diagonalizables sobre la clausura algebraica de ). Dado que el único operador que es potencialmente diagonalizable y nilpotente es el operador cero, se deduce que . ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$ ${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}',x_{n}'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=0=x_{n}-x_{n}'}$

Para demostrar que es necesaria la condición de que tenga un polinomio mínimo que sea producto de polinomios separables, supongamos que se trata de alguna descomposición de Jordan-Chevalley. Dejando ser el polinomio mínimo separable de , se puede verificar usando el teorema del binomio que se puede escribir como dónde hay algún polinomio en . Es más, para algunos , . Así y así el polinomio mínimo de debe dividirse . Como es un producto de polinomios separables (es decir, de copias de ), también lo es el polinomio mínimo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle p(x_{s}+x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle \ell \geq 1}$ ${\displaystyle x_{n}^{\ell }=0}$ ${\displaystyle p(x)^{\ell }=x_{n}^{\ell }y^{\ell }=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p^{\ell }}$ ${\displaystyle p^{\ell }}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplo concreto de la inexistencia

Si el campo terrestre no es perfecto , entonces es posible que no exista una descomposición de Jordan-Chevalley, ya que es posible que el polinomio mínimo no sea un producto de polinomios separables. El ejemplo más sencillo es el siguiente. Sea un número primo, sea un campo imperfecto de característica (p. ej. ) y elija que no sea una potencia de ésima. Sea la imagen en el cociente y sea el operador lineal dado por la multiplicación por in . Tenga en cuenta que el polinomio mínimo es precisamente , que es inseparable y un cuadrado. Por la necesidad de la condición para la descomposición Jordan-Chevalley (como se muestra en la última sección), este operador no tiene una descomposición Jordan-Chevalley. Puede resultar instructivo ver concretamente por qué al menos no hay descomposición en una parte nilpotente y sin cuadrados. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(t)}$ ${\displaystyle a\in k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2},}$ ${\displaystyle x={\overline {X}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$

Si en lugar de con el polinomio , se realiza la misma construcción con , el operador resultante sigue sin admitir una descomposición de Jordan-Chevalley por el teorema principal. Sin embargo, es semisimple. Por lo tanto, la descomposición trivial se expresa como la suma de un operador semisimple y un operador nilpotente, ambos polinomios en . ${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$ ${\displaystyle {X^{p}}-a}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T+0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Prueba elemental de existencia.

Esta construcción es similar al lema de Hensel en que utiliza un análogo algebraico del teorema de Taylor para encontrar un elemento con una determinada propiedad algebraica mediante una variante del método de Newton . De esta forma, está tomado de (Geck 2022).

Tengamos un polinomio mínimo y supongamos que es un producto de polinomios separables. Esta condición equivale a exigir que haya algo separable tal que y para algunos . Según el lema de Bézout , existen polinomios y similares . Esto se puede utilizar para definir una recursividad , comenzando con . Sea el álgebra de operadores que son polinomios en , se puede comprobar por inducción que para todos : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mid p}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {uq+{vq'}}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-v(x_{n})q(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}=x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle x_{n}\in {\mathfrak {X}}}$porque en cada paso se aplica un polinomio,
• ${\displaystyle x_{n}-x\in q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$porque y ambos términos están por hipótesis de inducción, ${\displaystyle x_{n+1}-x=(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n}-x)}$ ${\displaystyle q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$
• ${\displaystyle q(x_{n})\in q(x)^{2^{n}}\cdot {\mathfrak {X}}}$porque para algunos (según la versión algebraica del teorema de Taylor). Por definición tanto de como de y , esto se simplifica a , lo que de hecho se encuentra en la hipótesis de inducción. ${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})+q'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n+1}-x_{n})^{2}h}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})^{2}(u(x_{n})+v(x_{n})^{2}h)}$ ${\displaystyle q(x)^{2^{n+1}}\cdot {\mathfrak {X}}}$

Por lo tanto, tan pronto como , por el tercer punto desde y , el polinomio mínimo de se dividirá y, por tanto, será separable. Además, será un polinomio en el primer punto y será nilpotente en el segundo punto (de hecho, ). Por lo tanto, la descomposición Jordan-Chevalley de . QED ${\displaystyle 2^{n}\geq m}$ ${\displaystyle q(x_{n})=0}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}-x}$ ${\displaystyle (x_{n}-x)^{m}=0}$ ${\displaystyle x=x_{n}+(x-x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Esta prueba, además de ser completamente elemental, tiene la ventaja de que es algorítmica : según el teorema de Cayley-Hamilton , puede tomarse como el polinomio característico de y, en muchos contextos, puede determinarse a partir de . ^[3] Luego se puede determinar utilizando el algoritmo euclidiano . La iteración de aplicar el polinomio a la matriz se puede realizar hasta que (porque entonces todos los valores posteriores serán iguales) o exceda la dimensión del espacio vectorial en el que está definido (donde está el número de pasos de iteración realizados, como arriba) . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle vq}$ ${\displaystyle v(x_{n})q(x_{n})=0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Prueba de existencia a través de la teoría de Galois

Esta prueba, o variantes de la misma, se utiliza comúnmente para establecer la descomposición Jordan-Chevalley. Tiene la ventaja de que es muy directo y describe con bastante precisión qué tan cerca se puede llegar a una descomposición de Jordan-Chevalley: si es el campo de división del polinomio mínimo de y es el grupo de automorfismos de que fijan el campo base , entonces el El conjunto de elementos de que están fijados por todos los elementos de es un campo con inclusiones (ver correspondencia de Galois ). A continuación se argumenta que admite una descomposición Jordan-Chevalley sobre , pero no un campo más pequeño. ^{[ cita necesaria ]} Este argumento no utiliza la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois requiere deducir de esto la condición para la existencia del Jordan-Chevalley dada anteriormente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subseteq L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Arriba se observó que si tiene una forma normal de Jordan (es decir, si el polinomio mínimo de divisiones), entonces tiene una descomposición de Jordan Chevalley. En este caso, también se puede ver directamente que (y por tanto también ) es un polinomio en . De hecho, basta comprobarlo para la descomposición de la matriz de Jordan . Este es un argumento técnico, pero no requiere ningún truco más allá del teorema del resto chino . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J=D+R}$

Este hecho puede utilizarse para deducir la descomposición Jordan-Chevalley en el caso general. Sea el campo de división del polinomio mínimo de , de modo que admita una forma normal de Jordan sobre . Entonces, según el argumento que acabamos de dar, tiene una descomposición de Jordan-Chevalley donde es un polinomio con coeficientes de , es diagonalizable (sobre ) y es nilpotente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x={c(x)}+{(x-{c(x)})}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x-c(x)}$

Sea un automorfismo de campo del cual fija . Entonces ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle c(x)+(x-{c(x)})=x={\sigma (x)}={\sigma ({c(x)})}+{\sigma (x-{c(x)})}}$$

QED ${\displaystyle \sigma (c(x))=\sigma (c)(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-c(x)}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))}$ ${\displaystyle \sigma (x-c(x))}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))}$ ${\displaystyle \sigma ({x-c(x)})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F}$

Si el polinomio mínimo de es un producto de polinomios separables, entonces la extensión del campo es Galois , lo que significa que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle F=K}$

Relaciones con la teoría de las álgebras.

Álgebras separables

La descomposición de Jordan-Chevalley está muy estrechamente relacionada con el teorema principal de Wedderburn en la siguiente formulación: ^[4]

Teorema principal de Wedderburn  :  sea un álgebra asociativa de dimensión finita sobre el campo con radical de Jacobson . Entonces es separable si y sólo si tiene una subálgebra semisimple separable tal que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B\oplus J}$

Por lo general, el término "separable" en este teorema se refiere al concepto general de álgebra separable y el teorema podría entonces establecerse como corolario de un resultado más general de alto poder. ^[5] Sin embargo, si se interpreta en el sentido más básico de que cada elemento tiene un polinomio mínimo separable, entonces esta afirmación es esencialmente equivalente a la descomposición de Jordan-Chevalley como se describe anteriormente. Esto proporciona una forma diferente de ver la descomposición y, por ejemplo (Jacobson 1979) toma esta ruta para establecerla.

En campos perfectos, este resultado se simplifica. De hecho, entonces siempre es separable en el sentido de polinomios mínimos: si , entonces el polinomio mínimo es un producto de polinomios separables, entonces hay un polinomio separable tal que y para algunos . De este modo . Entonces, en , el polinomio mínimo de se divide y, por tanto, es separable. El punto crucial del teorema no es entonces que sea separable (porque esa condición es vacía), sino que es semisimple, lo que significa que su radical ^{[ se necesita desambiguación ]} es trivial. ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mid p}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle q(a)\in J}$ ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle a+J}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A/J}$

La misma afirmación es válida para las álgebras de Lie, pero sólo en la característica cero. Este es el contenido del teorema de Levi . (Tenga en cuenta que las nociones de semisimple en ambos resultados corresponden, porque en ambos casos esto equivale a ser la suma de subálgebras simples o tener un radical trivial, al menos en el caso de dimensión finita).

Conservación bajo representaciones

El punto crucial en la demostración del teorema principal de Wedderburn anterior es que un elemento corresponde a un operador lineal con las mismas propiedades. En la teoría de las álgebras de Lie, esto corresponde a la representación adjunta de un álgebra de Lie . Este operador descompuesto tiene una descomposición Jordan-Chevalley . Al igual que en el caso asociativo, esto corresponde a una descomposición de , pero los polinomios no están disponibles como herramienta. Un contexto en el que esto tiene sentido es el caso restringido donde está contenido en el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo perfecto . De hecho, cualquier álgebra de Lie semisimple se puede realizar de esta manera. ^[6] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle T_{x}:A\to A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x)_{s}+\operatorname {ad} (x)_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

Si es la descomposición de Jordan, entonces es la descomposición de Jordan del endomorfismo adjunto en el espacio vectorial . De hecho, primero, y conmutar desde entonces . En segundo lugar, en general, para cada endomorfismo , tenemos: ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle [\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$

1. Si , entonces , desde es la diferencia de las multiplicaciones izquierda y derecha por y . ${\displaystyle y^{m}=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$
2. Si es semisimple, entonces es semisimple, ya que semisimple es equivalente a potencialmente diagonalizable sobre un campo perfecto (si es diagonal sobre la base , entonces es diagonal sobre la base que consta de los mapas con y para ). ^[7] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle b_{i}\mapsto b_{j}}$ ${\displaystyle b_{k}\mapsto 0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

Por tanto, por unicidad, y . ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$

La representación adjunta es una representación muy natural y general de cualquier álgebra de Lie. El argumento anterior ilustra (y de hecho prueba) un principio general que generaliza esto: si cualquier representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo perfecto, entonces preserva la descomposición de Jordan en el siguiente sentido: si , entonces y . ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \pi (x_{s})=\pi (x)_{s}}$ ${\displaystyle \pi (x_{n})=\pi (x)_{n}}$

Criterio de nilpotencia

La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un campo algebraicamente cerrado de característica cero, el anillo de endomorfismo de k sobre números racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo , sea la descomposición de Jordan. Entonces es diagonalizable; es decir, donde cada uno es el espacio propio para el valor propio con multiplicidad . Entonces, para cualquiera, sea el endomorfismo tal que sea la multiplicación por . Chevalley llama a la réplica de dada por . (Por ejemplo, si , entonces el conjugado complejo de un endomorfismo es un ejemplo de réplica). Ahora, ${\displaystyle E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)}$ ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle x=s+n}$ ${\displaystyle s}$ ${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \varphi \in E}$ ${\displaystyle \varphi (s):V\to V}$ ${\displaystyle \varphi (s):V_{i}\to V_{i}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Criterio de nilpotencia  :  ^[10] es nilpotente (es decir, ) si y sólo si para cada . Además, si , entonces es suficiente que la condición se cumpla para la conjugación compleja. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=0}$ ${\displaystyle \varphi \in E}$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi =}$

Prueba: Primero, dado que es nilpotente, ${\displaystyle n\varphi (s)}$

${\displaystyle 0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})}$.

Si es la conjugación compleja, esto implica para cada i . De lo contrario, tómelo como un funcional lineal seguido de . Aplicando eso a la ecuación anterior, se obtiene: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0}$

y, como son todos números reales, para cada i . Variar los funcionales lineales implica entonces para cada i . ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle \square }$

Una aplicación típica del criterio anterior es la prueba del criterio de Cartan para la solubilidad de un álgebra de Lie. Dice: si es una subálgebra de Lie sobre un campo k de característica cero tal que para cada uno , entonces tiene solución. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba: ^[11] Sin pérdida de generalidad, supongamos que k es algebraicamente cerrado. Por el teorema de Lie y el teorema de Engel , basta demostrar que para cada uno de ellos existe un endomorfismo nilpotente de V. Escribir . Entonces necesitamos mostrar: ${\displaystyle x\in D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])}$

es cero. Dejar . Tenga en cuenta que tenemos: y, como es la parte semisimple de la descomposición de Jordan de , se deduce que es un polinomio sin término constante en ; por lo tanto, y lo mismo ocurre con en lugar de . Es decir , lo que implica la afirmación dada la suposición. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \square }$

Álgebras de mentira reales semisimples

En la formulación de Chevalley y Mostow , la descomposición aditiva establece que un elemento X en un álgebra de Lie real semisimple g con descomposición de Iwasawa g = k ⊕ a ⊕ n puede escribirse como la suma de tres elementos conmutantes del álgebra de Lie X = S + D + N , con S , D y N conjugados con elementos en k , a y n respectivamente. En general, los términos de la descomposición de Iwasawa no conmutan.

Descomposición multiplicativa

Si es un operador lineal invertible, puede resultar más conveniente utilizar una descomposición multiplicativa de Jordan-Chevalley. Esto se expresa como un producto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{s}\cdot x_{u}}$,

donde es potencialmente diagonalizable y es nilpotente (también se dice que es unipotente). ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{u}-1}$ ${\displaystyle x_{u}}$

La versión multiplicativa de la descomposición se deriva de la aditiva ya que, as es invertible (porque la suma de un operador invertible y un operador nilpotente es invertible) ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\left(1+x_{s}^{-1}x_{n}\right)}$

y es unipotente. (A la inversa, mediante el mismo tipo de argumento, se puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa). ${\displaystyle 1+x_{s}^{-1}x_{n}}$

La versión multiplicativa está estrechamente relacionada con las descomposiciones que se encuentran en un grupo algebraico lineal. Para ello, nuevamente es útil suponer que el campo subyacente es perfecto porque entonces existe la descomposición de Jordan-Chevalley para todas las matrices. ${\displaystyle K}$

Grupos algebraicos lineales

Sea un grupo algebraico lineal sobre un campo perfecto. Entonces, esencialmente por definición, existe una incrustación cerrada . Ahora, para cada elemento , por la descomposición multiplicativa de Jordan, hay un par de un elemento semisimple y un elemento unipotente a priori de tal manera que . Pero resulta que ^[12] se puede demostrar que los elementos están en (es decir, satisfacen las ecuaciones definitorias de G ) y que son independientes de la incrustación en ; es decir, la descomposición es intrínseca. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle g_{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$ ${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$ ${\displaystyle g_{s},g_{u}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$

Cuando G es abeliano, es entonces el producto directo del subgrupo cerrado de los elementos semisimples en G y el de los elementos unipotentes. ^[13] ${\displaystyle G}$

Grupos de mentiras reales semisimples

La descomposición multiplicativa establece que si g es un elemento del correspondiente grupo de Lie semisimple conectado G con la correspondiente descomposición de Iwasawa G = KAN , entonces g puede escribirse como el producto de tres elementos conmutantes g = sdu con s , d y u conjugados con elementos de K , A y N respectivamente. En general, los términos de la descomposición de Iwasawa g = kan no conmutan.

Referencias

1. Couty, Esterle y Zarouf 2011, págs. 15-19
2. Conrado, Keith. "Semisimplicidad" (PDF) . Artículos expositivos . Consultado el 9 de enero de 2024 .
3. Geck 2022, págs. 2-3
4. Teoría del anillo. Prensa académica. 18 de abril de 1972. ISBN 9780080873572.
5. Cohn, Paul M. (2002). Más álgebra y aplicaciones . Springer Londres. ISBN 978-1-85233-667-7.
6. Humphreys 1972, pag. 8
7. Esto no es fácil de ver en general, pero se muestra en la prueba de (Jacobson 1979, Capítulo III, § 7, Teorema 11). Nota editorial: necesitamos agregar una discusión sobre este asunto al " operador semisimple ".
8. Weber, Brian (2 de octubre de 2012). "Conferencia 8: Preservación de la descomposición de Jordan y teorema de Levi" (PDF) . Notas del curso . Consultado el 9 de enero de 2024 .
9. Fulton y Harris 1991, teorema 9.20.
10. Serre 1992, LA 5.17. Lema 6.7. El endomorfismo
11. Serre 1992, LA 5.19. Teorema 7.1.
12. Waterhouse 1979, Teorema 9.2.
13. Waterhouse 1979, Teorema 9.3.

• Chevalley, Claude (1951), Théorie des groupes de Lie. Tomo II. Grupos algébriques , Hermann, OCLC  277477632
• Couty, Danielle; Esterle, Jean; Zarouf, Rachid (2010), Décomposition Effective de Jordan-Chevalley et ses retombées en enseignement. (PDF)(preimpresión)
• Couty, Danielle; Esterle, Jean; Zarouf, Rachid (16 de junio de 2011), "Décomposition Effective de Jordan-Chevalley et ses retombées en enseignement". (PDF) , Gazette des Mathématiciens , núm. 129, págs. 29–49
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Geck, Meinolf (18 de junio de 2022), Sobre la descomposición de una matriz de Jordan-Chevalley , arXiv : 2205.05432
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
• Humphreys, James E. (1981), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 21, Springer, ISBN 0-387-90108-6
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Springer, ISBN 978-0-387-90053-7
• Jacobson, Nathan (1979) [1962], Álgebras de mentira , Dover, ISBN 0-486-63832-4
• Lazard, M. (1954), "Théorie des répliques. Critère de Cartan (Exposé No. 6)", Séminaire "Sophus Lie" , 1 , archivado desde el original el 4 de julio de 2013.
• Mostow, GD (1954), "Espacios factoriales de grupos solubles", Ann. de Matemáticas. , 60 (1): 1–27, doi :10.2307/1969700, JSTOR  1969700
• Mostow, GD (1973), Fuerte rigidez de espacios localmente simétricos, Annals of Mathematics Studies, vol. 78, Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 0-691-08136-0
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Serre, Jean-Pierre (1992), Álgebras de Lie y grupos de Lie: conferencias impartidas en 1964 en la Universidad de Harvard , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1500 (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55008-2
• Varadarajan, VS (1984), Grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 102, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90969-9
• Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, señor  0547117