Álgebra asociativa

En matemáticas , un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo ) K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillo desde K hacia el centro de A. Se trata, por tanto, de una estructura algebraica con una adición, una multiplicación y una multiplicación escalar (la multiplicación por la imagen del homomorfismo de anillo de un elemento de K ). Las operaciones de adición y multiplicación juntas dan a A la estructura de un anillo ; las operaciones de adición y multiplicación escalar juntas dan a A la estructura de un módulo o espacio vectorial sobre K. En este artículo también utilizaremos el término K -álgebra para referirnos a un álgebra asociativa sobre K. Un primer ejemplo estándar de K -álgebra es un anillo de matrices cuadradas sobre un anillo conmutativo K , con la multiplicación de matrices habitual .

Un álgebra conmutativa es un álgebra asociativa para la cual la multiplicación es conmutativa o, equivalentemente, un álgebra asociativa que también es un anillo conmutativo .

En este artículo se supone que las álgebras asociativas tienen una identidad multiplicativa, denotada por 1; a veces se las llama álgebras asociativas unitarias para mayor claridad. En algunas áreas de las matemáticas no se hace esta suposición, y llamaremos a esas estructuras álgebras asociativas no unitarias . También supondremos que todos los anillos son unitarios y que todos los homomorfismos de anillos son unitarios.

Cada anillo es un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los números enteros.

Definición

Sea R un anillo conmutativo (por lo que R podría ser un cuerpo). Una R -álgebra asociativa A (o más simplemente, una R -álgebra A ) es un anillo A que también es un R -módulo de tal manera que las dos sumas (la suma del anillo y la suma del módulo) son la misma operación y la multiplicación escalar satisface

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

para todo r en R y x , y en el álgebra. (Esta definición implica que el álgebra, al ser un anillo, es unital , ya que se supone que los anillos tienen una identidad multiplicativa ).

De manera equivalente, un álgebra asociativa A es un anillo junto con un homomorfismo de anillo desde R hasta el centro de A . Si f es tal homomorfismo, la multiplicación escalar es ( r , x ) ↦ f ( r ) x (aquí la multiplicación es la multiplicación del anillo); si se da la multiplicación escalar, el homomorfismo del anillo se da por r ↦ r ⋅ 1 _A . (Véase también § De homomorfismos de anillo más abajo).

Cada anillo es un Z -álgebra asociativa, donde Z denota el anillo de los números enteros .

AEl álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que también es unanillo conmutativo.

Como objeto monoide en la categoría de módulos

La definición equivale a decir que una R -álgebra asociativa unital es un objeto monoide en R -Mod (la categoría monoidal de R -módulos). Por definición, un anillo es un objeto monoide en la categoría de grupos abelianos ; por lo tanto, la noción de álgebra asociativa se obtiene reemplazando la categoría de grupos abelianos por la categoría de módulos .

Llevando esta idea más lejos, algunos autores han introducido un "anillo generalizado" como un objeto monoide en alguna otra categoría que se comporta como la categoría de módulos. De hecho, esta reinterpretación permite evitar hacer una referencia explícita a elementos de un álgebra A . Por ejemplo, la asociatividad se puede expresar de la siguiente manera. Por la propiedad universal de un producto tensorial de módulos , la multiplicación (la función R -bilineal) corresponde a una función R -lineal única

m:A\otimes _{R}A\to A

La asociatividad se refiere entonces a la identidad:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

De homomorfismos de anillo

Un álgebra asociativa equivale a un homomorfismo de anillo cuya imagen se encuentra en el centro . De hecho, partiendo de un anillo A y un homomorfismo de anillo η : R → A cuya imagen se encuentra en el centro de A , podemos hacer de A una R -álgebra definiendo

r\cdot x=\eta (r)x

para todo r ∈ R y x ∈ A . Si A es una R -álgebra, tomando x = 1 , la misma fórmula define a su vez un homomorfismo de anillo η : R → A cuya imagen se encuentra en el centro.

Si un anillo es conmutativo entonces es igual a su centro, de modo que un R -álgebra conmutativa puede definirse simplemente como un anillo conmutativo A junto con un homomorfismo de anillo conmutativo η : R → A .

El homomorfismo de anillo η que aparece arriba se suele llamar mapa de estructura . En el caso conmutativo, se puede considerar la categoría cuyos objetos son homomorfismos de anillo R → A para un R fijo , es decir, R -álgebras conmutativas, y cuyos morfismos son homomorfismos de anillo A → A ′ que están bajo R ; es decir, R → A → A ′ es R → A ′ (es decir, la categoría coslice de la categoría de anillos conmutativos bajo R ). El funtor de espectro primo Spec determina entonces una antiequivalencia de esta categoría a la categoría de esquemas afines sobre Spec R.

Cómo debilitar el supuesto de conmutatividad es un tema de estudio de la geometría algebraica no conmutativa y, más recientemente, de la geometría algebraica derivada . Véase también: Anillo de matrices genérico .

Homomorfismos algebraicos

Un homomorfismo entre dos R -álgebras es un homomorfismo de anillo R -lineal . Explícitamente, φ : A ₁ → A ₂ es un homomorfismo de álgebra asociativa si

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

La clase de todas las R -álgebras junto con los homomorfismos algebraicos entre ellas forman una categoría , a veces denominada R -Alg .

La subcategoría de R -álgebras conmutativas se puede caracterizar como la categoría coslice R / CRing donde CRing es la categoría de anillos conmutativos .

Ejemplos

El ejemplo más básico es el propio anillo, que es un álgebra sobre su centro o sobre cualquier subanillo que se encuentre en el centro. En particular, cualquier anillo conmutativo es un álgebra sobre cualquiera de sus subanillos. Abundan otros ejemplos tanto del álgebra como de otros campos de las matemáticas.

Álgebra

Cualquier anillo A puede considerarse como una Z -álgebra. El único homomorfismo de anillos de Z a A está determinado por el hecho de que debe enviar 1 a la identidad en A. Por lo tanto, anillos y Z -álgebras son conceptos equivalentes, de la misma manera que los grupos abelianos y los Z -módulos son equivalentes.
Cualquier anillo de característica n es un ( Z / n Z )-álgebra de la misma manera.
Dado un R -módulo M , el anillo de endomorfismo de M , denotado Fin _R ( M ) es una R -álgebra al definir ( r · φ )( x ) = r · φ ( x ) .
Cualquier anillo de matrices con coeficientes en un anillo conmutativo R forma un R -álgebra bajo la suma y multiplicación de matrices. Esto coincide con el ejemplo anterior, cuando M es un R -módulo libre y finitamente generado .
- En particular, las matrices cuadradas n por n con entradas del campo K forman un álgebra asociativa sobre K.
Los números complejos forman un álgebra conmutativa bidimensional sobre los números reales .
Los cuaterniones forman un álgebra asociativa de 4 dimensiones sobre los reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, ya que los números complejos no están en el centro de los cuaterniones).
Todo anillo polinómico R [ x ₁ , ..., x _n ] es una R -álgebra conmutativa. De hecho, esta es la R -álgebra conmutativa libre en el conjunto { x ₁ , ..., x _n } .
El R -álgebra libre en un conjunto E es un álgebra de "polinomios" con coeficientes en R e indeterminados no conmutativos tomados del conjunto E.
El álgebra tensorial de un R -módulo es naturalmente un R -álgebra asociativa . Lo mismo es cierto para cocientes como las álgebras exteriores y simétricas . Categóricamente hablando, el funtor que asigna un R -módulo a su álgebra tensorial es adjunto izquierdo al funtor que envía un R -álgebra a su R -módulo subyacente (olvidando la estructura multiplicativa).
Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo R , la suma directa de módulos R ⊕ M tiene una estructura de R -álgebra al pensar que M consta de elementos infinitesimales; es decir, la multiplicación se da como ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . La noción a veces se denomina álgebra de números duales .
Un álgebra cuasi-libre , introducida por Cuntz y Quillen, es una especie de generalización de un álgebra libre y un álgebra semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado.

Teoría de la representación

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es un álgebra asociativa que puede utilizarse para estudiar el álgebra de Lie dada.
Si G es un grupo y R es un anillo conmutativo, el conjunto de todas las funciones de G a R con soporte finito forman una R -álgebra con la convolución como multiplicación. Se denomina álgebra de grupo de G. La construcción es el punto de partida para la aplicación al estudio de grupos (discretos).
Si G es un grupo algebraico (por ejemplo, un grupo de Lie complejo semisimple ) , entonces el anillo de coordenadas de G es el álgebra de Hopf A correspondiente a G. Muchas estructuras de G se traducen a las de A.
Un álgebra de carcaj (o un álgebra de caminos) de un gráfico dirigido es el álgebra asociativa libre sobre un campo generado por los caminos en el gráfico.

Análisis

Dado cualquier espacio de Banach X , los operadores lineales continuos A : X → X forman un álgebra asociativa (usando composición de operadores como multiplicación); esta es un álgebra de Banach .
Dado cualquier espacio topológico X , las funciones continuas reales o complejas en X forman un álgebra asociativa real o compleja; aquí las funciones se suman y multiplican punto por punto.
El conjunto de semimartingalas definidas en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P) forma un anillo bajo integración estocástica . ^{[ cita requerida ]}
El álgebra de Weyl
Un álgebra de Azumaya

Geometría y combinatoria

Las álgebras de Clifford , que son útiles en geometría y física .
Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas consideradas en combinatoria .
El álgebra de partición y sus subálgebras, incluidas el álgebra de Brauer y el álgebra de Temperley-Lieb .
Un álgebra diferencial graduada es un álgebra asociativa que incluye una gradación y una diferencial. Por ejemplo, el álgebra de De Rham , donde consta de p -formas diferenciales en una variedad M , es un álgebra diferencial graduada. ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ ${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

Física matemática

Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa conmutativa sobre un cuerpo junto con una estructura de un álgebra de Lie de modo que el corchete de Lie {,} satisface la regla de Leibniz; es decir, { fg , h } = f { g , h } + g { f , h } .
Dada un álgebra de Poisson , considere el espacio vectorial de series de potencias formales sobre . Si tiene una estructura de álgebra asociativa con multiplicación tal que, para , ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ $*$ $f,g\in {\mathfrak {a}}$
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,$

entonces se llama cuantificación de deformación de .

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

{\mathfrak {a}}

Álgebra envolvente cuantizada . El dual de una álgebra de este tipo resulta ser un álgebra asociativa (véase § Dual de un álgebra asociativa) y es, filosóficamente hablando, el anillo de coordenadas (cuantizado) de un grupo cuántico .
Álgebra de Gerstenhaber

Construcciones

Subálgebras: Una subálgebra de una R -álgebra A es un subconjunto de A que es a la vez un subanillo y un submódulo de A . Es decir, debe ser cerrada bajo adición, multiplicación de anillos, multiplicación escalar y debe contener el elemento identidad de A .
Álgebras de cocientes: Sea A una R -álgebra. Cualquier ideal I de teoría de anillos en A es automáticamente un R -módulo ya que r · x = ( r 1 _A ) x . Esto da al anillo cociente A / I la estructura de un R -módulo y, de hecho, una R -álgebra. De ello se deduce que cualquier imagen homomórfica de anillos de A es también una R -álgebra.
Productos directos: El producto directo de una familia de R -álgebras es el producto directo de la teoría de anillos . Este se convierte en una R -álgebra con la obvia multiplicación escalar.
Productos gratis: Se puede formar un producto libre de R -álgebras de manera similar al producto libre de grupos. El producto libre es el coproducto en la categoría de R -álgebras.
Productos tensoriales: El producto tensorial de dos R -álgebras es también un R -álgebra de forma natural. Véase producto tensorial de álgebras para más detalles. Dado un anillo conmutativo R y cualquier anillo A, al producto tensorial R ⊗ _Z A se le puede dar la estructura de un R -álgebra definiendo r · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a ) . El funtor que envía A a R ⊗ _Z A es adjunto izquierdo al funtor que envía un R -álgebra a su anillo subyacente (olvidando la estructura del módulo). Véase también: Cambio de anillos .
Álgebra libre: Un álgebra libre es un álgebra generada por símbolos. Si se impone la conmutatividad, es decir, se toma el cociente por conmutadores, se obtiene un álgebra polinómica.

Dual de un álgebra asociativa

Sea A un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R . Como A es en particular un módulo, podemos tomar el módulo dual A ^* de A . A priori, el dual A ^* no necesita tener una estructura de álgebra asociativa. Sin embargo, A puede venir con una estructura extra (a saber, la de un álgebra de Hopf) de modo que el dual sea también un álgebra asociativa.

Por ejemplo, tomemos A como el anillo de funciones continuas en un grupo compacto G . Entonces, no solo A es un álgebra asociativa, sino que también viene con la co-multiplicación Δ( f )( g , h ) = f ( gh ) y co-unidad ε ( f ) = f (1) . ^[1] El "co-" se refiere al hecho de que satisfacen el dual de la multiplicación y la unidad habituales en el axioma del álgebra. Por lo tanto, el dual A ^* es un álgebra asociativa. La co-multiplicación y la co-unidad también son importantes para formar un producto tensorial de representaciones de álgebras asociativas (ver § Representaciones a continuación).

Álgebra envolvente

Dada un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R , el álgebra envolvente A ^e de A es el álgebra A ⊗ _R A ^op o A ^op ⊗ _R A , dependiendo de los autores. ^[2]

Nótese que un bimódulo sobre A es exactamente un módulo izquierdo sobre A ^e .

Álgebra separable

Sea A un álgebra sobre un anillo conmutativo R . Entonces el álgebra A es un módulo recto ^[a] sobre A ^e := A ^op ⊗ _R A con la acción x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb . Entonces, por definición, se dice que A es separable si la función de multiplicación A ⊗ _R A → A : x ⊗ y ↦ xy se descompone como una función A ^e -lineal, ^[3] donde A ⊗ A es un módulo A ^e por ( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ yb . De manera equivalente, ^[b]A es separable si es un módulo proyectivo sobre A ^e ; por lo tanto, la dimensión A ^e -proyectiva de A , a veces llamada bidimensión de A , mide la falla de separabilidad.

Álgebra de dimensión finita

Sea A un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo k . Entonces A es un anillo artiniano .

Caso conmutativo

Como A es artiniano, si es conmutativo, entonces es un producto finito de anillos locales artinianos cuyos campos de residuos son álgebras sobre el cuerpo base k . Ahora bien, un anillo local artiniano reducido es un cuerpo y, por tanto, los siguientes son equivalentes ^[4]

$A$ es separable
$A\otimes {\overline {k}}$ se reduce, donde hay algún cierre algebraico de k . ${\overline {k}}$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ para algunos n .
$\dim _{k}A$ es el número de homomorfismos del -álgebra . $k$ $A\to {\overline {k}}$

Sea , el grupo profinito de extensiones de Galois finitas de k . Entonces es una antiequivalencia de la categoría de k -álgebras separables de dimensión finita con la categoría de conjuntos finitos con -acciones continuas. ^[5] $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}$ $\Gamma$

Caso no conmutativo

Puesto que un anillo artiniano simple es un anillo matricial (completo) sobre un anillo de división, si A es un álgebra simple, entonces A es un álgebra matricial (completo) sobre un álgebra de división D sobre k ; es decir, A = M _n ( D ) . De manera más general, si A es un álgebra semisimple, entonces es un producto finito de álgebras matriciales (sobre varias k -álgebras de división), hecho conocido como el teorema de Artin-Wedderburn .

El hecho de que A sea artiniano simplifica la noción de radical de Jacobson; para un anillo artiniano, el radical de Jacobson de A es la intersección de todos los ideales maximales (bilaterales) (en contraste, en general, un radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales maximales izquierdos o la intersección de todos los ideales maximales derechos).

El teorema principal de Wedderburn establece: ^{[6] para un álgebra}A de dimensión finita con un ideal nilpotente I , si la dimensión proyectiva de A / I como módulo sobre el álgebra envolvente ( A / I ) ^e es como máximo uno, entonces la sobreyección natural p : A → A / I se divide; es decir, A contiene una subálgebra B tal que p | _B : B ~→ A / I es un isomorfismo. Si tomamos I como el radical de Jacobson, el teorema dice en particular que el radical de Jacobson se complementa con un álgebra semisimple. El teorema es un análogo del teorema de Levi para las álgebras de Lie .

Celosías y órdenes

Sea R un dominio integral noetheriano con cuerpo de fracciones K (por ejemplo, pueden ser Z , Q ). Una red L en un espacio vectorial K de dimensión finita V es un submódulo R finitamente generado de V que abarca V ; en otras palabras, L ⊗ _R K = V .

Sea A _K una K -álgebra de dimensión finita . Un orden en A _K es una R -subálgebra que es un retículo. En general, hay muchos menos órdenes que retículos; por ejemplo ,1/2⁠ Z es una red en Q pero no un orden (ya que no es un álgebra). ^[7]

Un orden máximo es un orden que es máximo entre todos los órdenes.

Conceptos relacionados

Coálgebras

Un álgebra asociativa sobre K está dada por un K -espacio vectorial A dotado de una función bilineal A × A → A que tiene dos entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (producto), así como un morfismo K → A que identifica los múltiplos escalares de la identidad multiplicativa. Si la función bilineal A × A → A se reinterpreta como una función lineal (es decir, un morfismo en la categoría de K -espacios vectoriales) A ⊗ A → A (por la propiedad universal del producto tensorial ), entonces podemos ver un álgebra asociativa sobre K como un K -espacio vectorial A dotado de dos morfismos (uno de la forma A ⊗ A → A y uno de la forma K → A ) que satisfacen ciertas condiciones que se reducen a los axiomas del álgebra. Estos dos morfismos pueden dualizarse utilizando la dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra ; esto define la estructura de una coalgebra .

También existe una noción abstracta de F -coálgebra , donde F es un funtor . Esto está vagamente relacionado con la noción de coalgebra discutida anteriormente.

Representaciones

Una representación de un álgebra A es un homomorfismo de álgebra ρ : A → End( V ) de A al álgebra de endomorfismo de algún espacio vectorial (o módulo) V . La propiedad de que ρ sea un homomorfismo de álgebra significa que ρ conserva la operación multiplicativa (es decir, ρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y ) para todo x e y en A ), y que ρ envía la unidad de A a la unidad de End( V ) (es decir, al endomorfismo identidad de V ).

Si A y B son dos álgebras, y ρ : A → End( V ) y τ : B → End( W ) son dos representaciones, entonces hay una representación (canónica) A ⊗ B → End( V ⊗ W ) del álgebra de producto tensorial A ⊗ B en el espacio vectorial V ⊗ W . Sin embargo, no hay una forma natural de definir un producto tensorial de dos representaciones de una única álgebra asociativa de tal forma que el resultado siga siendo una representación de esa misma álgebra (no de su producto tensorial consigo misma), sin imponer de algún modo condiciones adicionales. Aquí, por producto tensorial de representaciones se pretende el significado habitual: el resultado debería ser una representación lineal de la misma álgebra en el espacio vectorial del producto. Imponer dicha estructura adicional normalmente conduce a la idea de un álgebra de Hopf o un álgebra de Lie , como se demuestra a continuación.

Motivación para un álgebra de Hopf

Consideremos, por ejemplo, dos representaciones σ : A → End( V ) y τ : A → End( W ) . Se podría intentar formar una representación del producto tensorial ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) según cómo actúe sobre el espacio vectorial del producto, de modo que

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

Sin embargo, un mapa de este tipo no sería lineal, ya que habría que

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

para k ∈ K . Se puede rescatar este intento y restaurar la linealidad imponiendo una estructura adicional, definiendo un homomorfismo algebraico Δ : A → A ⊗ A , y definiendo la representación del producto tensorial como

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

Un homomorfismo de este tipo Δ se denomina comultiplicación si satisface ciertos axiomas. La estructura resultante se denomina biálgebra . Para ser coherente con las definiciones del álgebra asociativa, la coalgebra debe ser coasociativa y, si el álgebra es unital, entonces la coálgebra también debe ser counital. Un álgebra de Hopf es una biálgebra con una pieza adicional de estructura (la llamada antípoda), que permite no solo definir el producto tensorial de dos representaciones, sino también el módulo Hom de dos representaciones (de nuevo, de manera similar a como se hace en la teoría de representaciones de grupos).

Motivación para un álgebra de Lie

Se puede intentar ser más inteligente al definir un producto tensorial. Consideremos, por ejemplo,

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

de modo que la acción sobre el espacio del producto tensorial está dada por

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

Esta función es claramente lineal en x y, por lo tanto, no tiene el problema de la definición anterior. Sin embargo, no conserva la multiplicación:

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Pero, en general, esto no equivale a

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Esto demuestra que esta definición de un producto tensorial es demasiado ingenua; la solución obvia es definirlo de manera que sea antisimétrico, de modo que los dos términos del medio se cancelen. Esto conduce al concepto de álgebra de Lie .

Álgebras no unitarias

Algunos autores utilizan el término "álgebra asociativa" para referirse a estructuras que no necesariamente tienen una identidad multiplicativa y, por lo tanto, consideran homomorfismos que no son necesariamente unitarios.

Un ejemplo de un álgebra asociativa no unitaria lo da el conjunto de todas las funciones f : R → R cuyo límite cuando x se acerca al infinito es cero.

Otro ejemplo es el espacio vectorial de funciones periódicas continuas, junto con el producto de convolución .

Véase también

Álgebra abstracta
Estructura algebraica
Álgebra sobre un campo
Haz de álgebras , una especie de álgebra sobre un espacio anillado
Conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild

Notas

^ Nota editorial: resulta que A ^e es un anillo de matrices completo en casos interesantes y es más convencional dejar que las matrices actúen desde la derecha.
^ Para ver la equivalencia, observe que una sección de A ⊗ _R A → A se puede utilizar para construir una sección de una sobreyección.

Citas

^ Tjin 1992, Ejemplo 1
^ Vale 2009, Definición 3.1
^ Cohn 2003, § 4.7
^ Waterhouse 1979, § 6.2
^ Waterhouse 1979, § 6.3
^ Cohn 2003, Teorema 4.7.5
^ Artin 1999, Cap. IV, § 1

Referencias

Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022.
Bourbaki, N. (1989). Álgebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9.
Cohn, PM (2003). Álgebra adicional y aplicaciones (2.ª ed.). Springer. ISBN 1852336676.Zbl1006.00001 .
Jacobson, Nathan (1956), Estructura de anillos, Colloquium Publications, vol. 37, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1037-8
James Byrnie Shaw (1907) Una sinopsis del álgebra asociativa lineal, enlace desde las Monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell .
Ross Street (1998) Grupos cuánticos: una entrada al álgebra moderna , una descripción general de la notación sin índice.
Tjin, T. (10 de octubre de 1992). "Introducción a los grupos de Lie y álgebras cuantificadas". Revista Internacional de Física Moderna A . 07 (25): 6175–6213. arXiv : hep-th/9111043 . Código Bibliográfico :1992IJMPA...7.6175T. doi :10.1142/S0217751X92002805. ISSN 0217-751X. S2CID 119087306.
Vale, R. (2009). "Notas sobre álgebras cuasi-libres" (PDF) .
Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, Sr. 0547117