Filtración (matemáticas)

En matemáticas , una filtración es una familia indexada de subobjetos de una estructura algebraica determinada , con el índice corriendo sobre algún conjunto de índices totalmente ordenado , sujeto a la condición de que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

si está dentro , entonces . ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$

Si el índice es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico , entonces se puede interpretar que la filtración representa toda la información histórica, pero no futura, disponible sobre el proceso estocástico, y la estructura algebraica gana en complejidad con el tiempo. De ahí que a un proceso que se adapta a una filtración también se le llame no anticipativo , porque no puede "ver el futuro". ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

A veces, como en un álgebra filtrada , existe en cambio el requisito de que sean subálgebras con respecto a algunas operaciones (por ejemplo, suma de vectores ), pero no con respecto a otras operaciones (por ejemplo, multiplicación) que satisfacen únicamente , donde el conjunto de índices es los números naturales ; esto es por analogía con un álgebra graduada . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}}$

A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión de the sea el todo , o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico del límite directo de to sea un isomorfismo. . El hecho de que se asuma o no este requisito suele depender del autor del texto y, a menudo, se indica explícitamente. Este artículo no impone este requisito. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$

También existe la noción de filtración descendente , que se requiere satisfacer en lugar de (y, ocasionalmente, en lugar de ). Una vez más, depende del contexto cómo se debe entender exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con la noción dual de cofiltración (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos ). ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$

Las filtraciones se utilizan ampliamente en álgebra abstracta , álgebra homológica (donde se relacionan de manera importante con secuencias espectrales ) y en teoría de medidas y teoría de probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras . En el análisis funcional y el análisis numérico se suele utilizar otra terminología, como escala de espacios o espacios anidados.

Ejemplos

Conjuntos

Secuencia de Farey

Álgebra

Álgebras

Ver: álgebra filtrada

Grupos

En álgebra, las filtraciones normalmente están indexadas por , el conjunto de los números naturales. Una filtración de un grupo , es entonces una secuencia anidada de subgrupos normales de (es decir, para cualquiera que tengamos ). Tenga en cuenta que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente". ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G_{n+1}\subseteq G_{n}}$

Dado un grupo y una filtración , existe una forma natural de definir una topología , que se dice asociada a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todas las clases laterales de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma , donde y es un número natural. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aG_{n}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle n}$

La topología asociada a una filtración sobre un grupo constituye un grupo topológico . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La topología asociada a una filtración sobre un grupo es Hausdorff si y sólo si . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$

Si dos filtraciones y se definen en un grupo , entonces el mapa de identidad de a , donde a la primera copia de se le da la topología y a la segunda la topología, es continuo si y solo si para cualquiera existe tal que , es decir , si y solo si el mapa de identidad es continuo en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y solo si para cualquier subgrupo que aparece en uno hay uno más pequeño o igual que aparece en el otro. ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G_{m}\subseteq G'_{n}}$

Anillos y módulos: filtraciones descendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración descendente es una secuencia decreciente de submódulos . Éste es, por tanto, un caso especial de la noción de grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$

Un caso especial importante se conoce como topología -ádica (o -ádica, etc.): Sea un anillo conmutativo y un ideal de . Dado un módulo , la secuencia de submódulos de forma una filtración de . La topología -ádica es entonces la topología asociada a esta filtración. Si es solo el anillo en sí, hemos definido la topología -adic en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I^{n}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Cuando se le da la topología -ádica, se convierte en un anillo topológico . Si a un módulo se le da la topología -adic, se convierte en un módulo topológico , en relación con la topología dada en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Anillos y módulos: filtraciones ascendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración ascendente es una secuencia creciente de submódulos . En particular, si es un campo, entonces una filtración ascendente del espacio vectorial es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de . Las banderas son una clase importante de este tipo de filtraciones. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Conjuntos

Una filtración máxima de un conjunto es equivalente a un ordenamiento (una permutación ) del conjunto. Por ejemplo, la filtración corresponde al pedido . Desde el punto de vista del campo con un elemento , un ordenamiento en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando un conjunto como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento. ${\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Teoría de la medida

En la teoría de la medida , en particular en la teoría de la martingala y la teoría de procesos estocásticos , una filtración es una secuencia creciente de -álgebras en un espacio mensurable . Es decir, dado un espacio medible , una filtración es una secuencia de álgebras donde cada una es un número real no negativo y ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.}$

El rango exacto de los "tiempos" generalmente dependerá del contexto: el conjunto de valores puede ser discreto o continuo, acotado o ilimitado. Por ejemplo, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ or }}[0,+\infty ).}$

De manera similar, un espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica ) es un espacio de probabilidad equipado con la filtración de su álgebra . Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones habituales si es completo (es decir, contiene conjuntos todos nulos ) y continuo por la derecha (es decir, para todos los tiempos ). ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}}$ ${\displaystyle t}$

También es útil (en el caso de un conjunto de índices ilimitado) definir como el álgebra generada por la unión infinita de 's, que está contenida en : ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.}$

Una σ -álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, lo que en un contexto de probabilidad equivale a eventos que se pueden discriminar, o "preguntas que se pueden responder en el momento ". Por lo tanto, se suele utilizar una filtración para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, mediante ganancia o pérdida de información . Un ejemplo típico es el de las finanzas matemáticas , donde una filtración representa la información disponible hasta cada momento inclusive , y es cada vez más precisa (el conjunto de eventos medibles se mantiene igual o aumenta) a medida que se dispone de más información sobre la evolución de la acción. el precio se vuelve disponible. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Relación con los tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebras

Sea un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoria es un tiempo de parada con respecto a la filtración , si es para todos . El tiempo de parada -álgebra ahora se define como ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$.

No es difícil demostrar que efectivamente se trata de un -álgebra . El conjunto codifica información hasta el tiempo aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede obtener sobre él repitiendo arbitrariamente el experimento hasta el tiempo aleatorio es . ^[5] En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito (es decir, es finito), los conjuntos mínimos de (con respecto a la inclusión de conjuntos) están dados por la unión de todos los conjuntos de conjuntos mínimos de que se encuentran en . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \{\tau =t\}}$

Se puede demostrar que es mensurable. Sin embargo, ejemplos sencillos ^[5] muestran que, en general, . Si y son tiempos de parada , y casi con seguridad , entonces ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.}$

Ver también

• Filtración natural
• Filtración (teoría de la probabilidad)
• Filtro (matemáticas)

Referencias

1. Bjork, Thomas (2005). "Apéndice B". Teoría del Arbitraje en Tiempo Continuo . ISBN 978-0-19-927126-9.
2. Péter Medvegyev (enero de 2009). «Procesos estocásticos: Una introducción muy sencilla» (PDF) . Consultado el 25 de junio de 2012 .
3. Claude Dellacherie (1979). Probabilidades y Potencial . Elsevier. ISBN 9780720407013.
4. George Lowther (8 de noviembre de 2009). «Filtraciones y Procesos Adaptados» . Consultado el 25 de junio de 2012 .
5. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Cartas de Estadística y Probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.