Proceso adaptado

En el estudio de los procesos estocásticos , un proceso estocástico es adaptado (también denominado proceso no anticipativo o no anticipativo ) si la información sobre el valor del proceso en un momento dado está disponible en ese mismo momento. Una interpretación informal ^[1] es que X es adaptado si y solo si, para cada realización y cada n , X _n es conocido en el momento n . El concepto de proceso adaptado es esencial, por ejemplo, en la definición de la integral de Itō , que solo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado.

Definición

Dejar

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$sea ​​un espacio de probabilidad ;
• ${\displaystyle I}$ser un conjunto de índices con un orden total (a menudo, es , o ); ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle [0,+\infty )}$
• ${\displaystyle \mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$sea ​​una filtración del álgebra sigma ; ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ser un espacio medible , el espacio de estados ;
• ${\displaystyle X_{i}:I\times \Omega \to S}$ser un proceso estocástico .

Se dice que el proceso estocástico está adaptado a la filtración si la variable aleatoria es una función medible para cada . ^[2] ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )}$ ${\displaystyle i\in I}$

Ejemplos

Consideremos un proceso estocástico X  : [0, T ] × Ω → R , y equipemos la línea real R con su álgebra sigma de Borel habitual generada por los conjuntos abiertos .

• Si tomamos la filtración natural F _• ^X , donde F _t ^X es la σ -álgebra generada por las preimágenes X _s ⁻¹ ( B ) para los subconjuntos de Borel B de R y tiempos 0 ≤ s ≤ t , entonces X es automáticamente F _• ^X -adaptado. Intuitivamente, la filtración natural F _• ^X contiene "información total" sobre el comportamiento de X hasta el tiempo  t .
• Esto ofrece un ejemplo simple de un proceso no adaptado X  : [0, 2] × Ω → R : establezca F _t como la σ -álgebra trivial {∅, Ω} para tiempos 0 ≤  t  < 1, y F _t = F _t ^X para tiempos 1 ≤ t ≤ 2 . Dado que la única forma en que una función puede ser medible con respecto a la σ -álgebra trivial es ser constante, cualquier proceso X que no sea constante en [0, 1] no estará F _{• -adaptado. La naturaleza no constante de un proceso de este tipo "usa información" de las} σ -álgebras "futuras" más refinadas F _t , 1 ≤ t ≤ 2 .

Véase también

• Proceso predecible
• Proceso progresivamente medible

Referencias

1. Wiliams, David (1979). "II.25". Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas: Fundamentos . vol. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.
2. Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas . Springer. pág. 25. ISBN. 978-3-540-04758-2.