Bandera (álgebra lineal)

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una bandera es una secuencia creciente de subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita V. Aquí, "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

El término bandera está motivado por un ejemplo particular que se asemeja a una bandera : el punto cero, una línea y un plano corresponden a un clavo, un asta y una lámina de tela. ^[1]

Si escribimos que dim V _i = d _i entonces tenemos

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

donde n es la dimensión de V (que se supone finita). Por lo tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d _i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial .

Se puede obtener una bandera parcial a partir de una bandera completa eliminando algunos de los subespacios. A la inversa, cualquier bandera parcial se puede completar (de muchas maneras diferentes) insertando subespacios adecuados.

La firma de la bandera es la secuencia ( d ₁ , ..., d _k ).

Bases

Se dice que una base ordenada para V está adaptada a una bandera V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k si los primeros d _i vectores de base forman una base para V _i para cada 0 ≤ i ≤ k . Los argumentos estándar del álgebra lineal pueden mostrar que cualquier bandera tiene una base adaptada.

Cualquier base ordenada da lugar a una bandera completa al permitir que V _i sea el espacio de los primeros i vectores de base. Por ejemplo,La bandera estándar enR ⁿ se induce a partir de labase estándar(e₁, ...,e _n ) dondee _i denota el vector con un 1 en laiy ceros en el resto. Concretamente, la bandera estándar es la secuencia de subespacios:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Una base adaptada casi nunca es única (los contraejemplos son triviales); véase más abajo.

Una bandera completa en un espacio de producto interno tiene una base ortonormal esencialmente única : es única hasta multiplicar cada vector por una unidad (escalar de longitud unitaria, p. ej. 1, −1, i ). Una base de este tipo se puede construir utilizando el proceso de Gram-Schmidt . La unicidad hasta unidades se sigue inductivamente , al notar que se encuentra en el espacio unidimensional . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$

De manera más abstracta, es único hasta una acción del toro máximo : la bandera corresponde al grupo de Borel , y el producto interno corresponde al subgrupo compacto máximo . ^[2]

Estabilizador

El subgrupo estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares superiores invertibles .

En términos más generales, el estabilizador de una bandera (los operadores lineales en V tales que para todo i ) es, en términos matriciales, el álgebra de matrices triangulares superiores de bloque (con respecto a una base adaptada), donde los tamaños de bloque . El subgrupo estabilizador de una bandera completa es el conjunto de matrices triangulares superiores invertibles con respecto a cualquier base adaptada a la bandera. El subgrupo de matrices triangulares inferiores con respecto a dicha base depende de esa base y, por lo tanto, no se puede caracterizar solo en términos de la bandera. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$

El subgrupo estabilizador de cualquier bandera completa es un subgrupo de Borel (del grupo lineal general ), y el estabilizador de cualquier bandera parcial es un subgrupo parabólico.

El subgrupo estabilizador de una bandera actúa simplemente de manera transitiva sobre bases adaptadas a la bandera, y por lo tanto estas no son únicas a menos que el estabilizador sea trivial. Esta es una circunstancia muy excepcional: ocurre solo para un espacio vectorial de dimensión 0, o para un espacio vectorial sobre de dimensión 1 (precisamente los casos en los que solo existe una base, independientemente de cualquier bandera). ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$

Nido subespacial

En un espacio de dimensión infinita V , como se utiliza en el análisis funcional , la idea de bandera se generaliza a un subespacio nido , es decir, una colección de subespacios de V que es un orden total para la inclusión y que además está cerrado bajo intersecciones arbitrarias y tramos lineales cerrados. Véase álgebra de nidos .

Análogos de la teoría de conjuntos

Desde el punto de vista del campo con un elemento , un conjunto puede verse como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento: esto formaliza varias analogías entre los grupos de Coxeter y los grupos algebraicos .

Según esta correspondencia, un ordenamiento en un conjunto corresponde a una bandera máxima: un ordenamiento es equivalente a una filtración máxima de un conjunto. Por ejemplo, la filtración (bandera) corresponde al ordenamiento . ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Véase también

• Filtración (matemáticas)
• Colector de banderas
• Grassmaniano
• Matroide

Referencias

1. Kostrikin, Alexei I. y Manin, Yuri I. (1997). Álgebra lineal y geometría , pág. 13. Traducido del ruso por ME Alferieff. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN  2-88124-683-4 .
2. Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso , pág. 95. Springer. ISBN 0387974954 . 

• Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.