detener el tiempo

Tiempo en el que una variable aleatoria deja de presentar un comportamiento de interés

Ejemplo de tiempo de parada: tiempo de impacto del movimiento browniano . El proceso comienza en 0 y se detiene tan pronto como llega a 1.

En la teoría de la probabilidad , en particular en el estudio de los procesos estocásticos , un tiempo de parada (también tiempo de Markov , momento de Markov , tiempo de parada opcional o tiempo opcional ^[1] ) es un tipo específico de “tiempo aleatorio”: una variable aleatoria cuyo valor es interpretado como el momento en el que un proceso estocástico dado exhibe un cierto comportamiento de interés. Un tiempo de detención suele definirse mediante una regla de detención , un mecanismo para decidir si continuar o detener un proceso en función de la posición presente y de los acontecimientos pasados, y que casi siempre conducirá a la decisión de detenerse en un tiempo finito.

Los tiempos de detención ocurren en la teoría de la decisión , y el teorema de detención opcional es un resultado importante en este contexto. La detención de tiempos también se aplica con frecuencia en demostraciones matemáticas para “domesticar el continuo del tiempo”, como lo expresó Chung en su libro (1982).

Definición

Tiempo discreto

Sea una variable aleatoria, que se define en el espacio de probabilidad filtrado con valores en . Entonces se denomina tiempo de parada (con respecto a la filtración ), si se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}}$para todos ${\displaystyle n}$

Intuitivamente, esta condición significa que la "decisión" de detenerse en un momento debe basarse únicamente en la información presente en ese momento , no en ninguna información futura. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Caso general

Sea una variable aleatoria, que se define en el espacio de probabilidad filtrado con valores en . En la mayoría de los casos, . Entonces se denomina tiempo de parada (con respecto a la filtración ), si se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$para todos ${\displaystyle t\in T}$

Como proceso adaptado

Sea una variable aleatoria, que se define en el espacio de probabilidad filtrado con valores en . Entonces se llama tiempo de parada si y sólo si el proceso estocástico , definido por ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}t<\tau \\0&{\text{ if }}t\geq \tau \end{cases}}}$

está adaptado a la filtración ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

Comentarios

Algunos autores excluyen explícitamente los casos en los que puede haber , mientras que otros autores permiten tomar cualquier valor en el cierre de . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$

Ejemplos

Para ilustrar algunos ejemplos de tiempos aleatorios que son reglas de parada y otros que no, considere un jugador que juega a la ruleta con una ventaja típica de la casa, comenzando con $100 y apostando $1 al rojo en cada juego:

• Jugar exactamente cinco juegos corresponde al tiempo de parada τ  = 5 y es una regla de parada.
• Jugar hasta que se les acabe el dinero o hayan jugado 500 juegos es una regla para detenerse.
• Jugar hasta obtener la máxima cantidad de ventaja que jamás tendrán no es una regla para detenerse y no proporciona un tiempo para detenerse, ya que requiere información sobre el futuro, así como sobre el presente y el pasado.
• Jugar hasta duplicar su dinero (pedir prestado si es necesario) no es una regla para detenerlo, ya que existe una probabilidad positiva de que nunca dupliquen su dinero. ^{[ se necesita aclaración (ver charla ) ]}
• Jugar hasta duplicar su dinero o quedarse sin dinero es una regla para detenerse, aunque potencialmente no hay límite para la cantidad de juegos que juegan, ya que la probabilidad de que se detengan en un tiempo finito es 1.

Para ilustrar la definición más general de detener el tiempo, considere el movimiento browniano , que es un proceso estocástico , donde cada uno es una variable aleatoria definida en el espacio de probabilidad . Definimos una filtración en este espacio de probabilidad dejando ser el σ -álgebra generada por todos los conjuntos de la forma donde y es un conjunto de Borel . Intuitivamente, un evento E ocurre si y sólo si podemos determinar si E es verdadero o falso simplemente observando el movimiento browniano desde el tiempo 0 hasta el tiempo t . ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle (B_{s})^{-1}(A)}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

• Cada constante es (trivialmente) un tiempo de parada; corresponde a la regla de parada "parar en el momento ". ${\displaystyle \tau :=t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$
• Sea Then un tiempo de parada para el movimiento browniano, correspondiente a la regla de parada: "deténgase tan pronto como el movimiento browniano alcance el valor a ". ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}=a\}}$
• Otro tiempo de parada está dado por . Corresponde a la regla de detención "detenerse tan pronto como el movimiento browniano haya sido positivo en un tramo contiguo de longitud 1 unidad de tiempo". ${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ for all }}s\in [t-1,t]\}}$
• En general, si τ ₁ y τ ₂ son tiempos de parada, entonces su mínimo , su máximo y su suma τ ₁  +  τ ₂ también son tiempos de parada. (Esto no es cierto para las diferencias y los productos, porque es posible que sea necesario "mirar hacia el futuro" para determinar cuándo detenerse). ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}}$

Los tiempos de acierto como el segundo ejemplo anterior pueden ser ejemplos importantes de tiempos de parada. Si bien es relativamente sencillo demostrar que esencialmente todos los tiempos de parada son tiempos de parada, ^[2] puede ser mucho más difícil demostrar que un determinado tiempo de parada es un tiempo de parada. Este último tipo de resultados se conoce como teorema de Début .

Localización

Los tiempos de parada se utilizan con frecuencia para generalizar ciertas propiedades de procesos estocásticos a situaciones en las que la propiedad requerida se satisface sólo en un sentido local. Primero, si X es un proceso y τ es un tiempo de parada, entonces X ^τ se usa para denotar el proceso X detenido en el tiempo τ .

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

Entonces, se dice que X satisface localmente alguna propiedad P si existe una secuencia de tiempos de parada τ _n , que aumenta hasta el infinito y para la cual los procesos

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

satisfacer la propiedad P . Los ejemplos comunes, con el índice de tiempo establecido I = [0, ∞), son los siguientes:

Proceso de martingala local . Un proceso X es una martingala local si es càdlàg ^{[ se necesita aclaración ]} y existe una secuencia de tiempos de parada τ _n creciente hasta el infinito, tal que

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

es una martingala para cada n .

Proceso localmente integrable . Un proceso X no negativo y creciente es localmente integrable si existe una secuencia de tiempos de parada τ _n creciente hasta el infinito, tal que

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}\right]<\infty }$

para cada n .

Tipos de tiempos de parada

Los tiempos de parada, con un índice de tiempo establecido I = [0,∞), a menudo se dividen en uno de varios tipos dependiendo de si es posible predecir cuándo están a punto de ocurrir.

Un tiempo de parada τ es predecible si es igual al límite de una secuencia creciente de tiempos de parada τ _n que satisfacen τ _n < τ siempre que τ > 0. Se dice que la secuencia τ _n anuncia τ , y los tiempos de parada predecibles a veces se conocen como anunciable . Ejemplos de tiempos de parada predecibles son los tiempos de acierto de procesos continuos y adaptados . Si τ es la primera vez en la que un proceso continuo y de valor real X es igual a algún valor a , entonces se anuncia mediante la secuencia τ _n , donde τ _n es la primera vez en la que X está a una distancia de 1/ n de un .

Los tiempos de parada accesibles son aquellos que pueden cubrirse mediante una secuencia de tiempos predecibles. Es decir, el tiempo de parada τ es accesible si P( τ = τ _n para algunos n ) = 1, donde τ _n son tiempos predecibles.

Un tiempo de parada τ es totalmente inaccesible si nunca puede anunciarse mediante una secuencia creciente de tiempos de parada. De manera equivalente, P( τ = σ < ∞) = 0 para cada tiempo predecible σ . Ejemplos de tiempos de parada totalmente inaccesibles incluyen los tiempos de salto de los procesos de Poisson .

Cada tiempo de parada τ se puede descomponer de forma única en un tiempo accesible y totalmente inaccesible. Es decir, existe un tiempo de parada único accesible σ y un tiempo totalmente inaccesible υ tal que τ = σ siempre que σ < ∞, τ = υ siempre que υ < ∞, y τ = ∞ siempre que σ = υ = ∞. Tenga en cuenta que en el enunciado del resultado de esta descomposición, los tiempos de parada no tienen que ser casi con seguridad finitos y pueden ser iguales a ∞.

Reglas de interrupción en ensayos clínicos

Los ensayos clínicos en medicina a menudo realizan análisis provisionales para determinar si el ensayo ya ha cumplido sus criterios de valoración. Sin embargo, los análisis intermedios crean el riesgo de resultados falsos positivos y, por lo tanto, se utilizan límites de detención para determinar el número y el momento del análisis intermedio (también conocido como gasto alfa, para indicar la tasa de falsos positivos). En cada una de las R pruebas intermedias, el ensayo se detiene si la probabilidad está por debajo de un umbral p, que depende del método utilizado. Ver Análisis secuencial .

Ver también

• Parada óptima
• Algoritmo de probabilidades
• problema de secretaria
• tiempo de golpe
• Proceso detenido
• problema de desorden
• teorema de debut
• Análisis secuencial

Referencias

1. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelización estocástica. vol. 77. Suiza: Springer. pag. 347.doi : 10.1007 /978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
2. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Cartas de Estadística y Probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.

Otras lecturas

• Thomas S. Ferguson , “¿Quién resolvió el problema de la secretaria?”, Stat. Ciencia. vol. 4, 282–296, (1989).
• Una introducción a los tiempos de parada.
• F. Thomas Bruss , “Sume las probabilidades a uno y deténgase”, Annals of Probability, vol. 4, 1384-1391, (2000)
• Chung, Kai Lai (1982). Conferencias desde los procesos de Markov hasta el movimiento browniano . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90618-8.
• H. Vincent Poor y Olympia Hadjiliadis (2008). Detección más rápida (Primera ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62104-5.
• Protter, Philip E. (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales . Modelado estocástico y probabilidad aplicada No. 21 (segunda edición (versión 2.1, tercera impresión corregida) ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7.
• Shiryaev, Albert N. (2007). Reglas de parada óptimas . Saltador. ISBN 978-3-540-74010-0.