tiempo de golpe

Aspecto de los procesos estocásticos.

En el estudio de procesos estocásticos en matemáticas , un tiempo de acierto (o tiempo de primer acierto ) es el primer momento en el que un proceso determinado "alcanza" un subconjunto determinado del espacio de estados . Los tiempos de salida y de regreso también son ejemplos de tiempos de llegada.

Definiciones

Sea T un conjunto de índices ordenados como los números naturales , los números reales no negativos , [0, +∞) , o un subconjunto de estos; Los elementos pueden considerarse como "tiempos". Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr) y un espacio de estados medible S , sea un proceso estocástico y sea A un subconjunto medible del espacio de estados S. Entonces el primer tiempo de acierto es la variable aleatoria definida por ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$ ${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

El primer tiempo de salida (de A ) se define como el primer tiempo de llegada para S \ A , el complemento de A en S. _De manera confusa, esto también se denota a menudo por τA . ^[1]

El primer tiempo de retorno se define como el primer tiempo de acierto para el conjunto singleton { X ₀ ( ω )}, que suele ser un elemento determinista dado del espacio de estados, como el origen del sistema de coordenadas.

Ejemplos

• Cualquier momento de parada es un momento de acierto para un proceso y un objetivo elegidos adecuadamente. Esto se desprende del recíproco del teorema de Début (Fischer, 2013).
• Sea B el movimiento browniano estándar sobre la recta real que comienza en el origen. Entonces, el tiempo de impacto τ _A satisface los requisitos de mensurabilidad de ser un tiempo de parada para cada conjunto medible de Borel. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$
• Para B como arriba, sea τ _r ( r > 0 ) el primer tiempo de salida para el intervalo (− r , r ) , es decir, el primer tiempo de acierto para Entonces el valor esperado y la varianza de τ _r satisfacen ${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• Para B como arriba, el tiempo de llegar a un solo punto (diferente del punto inicial 0) tiene la distribución de Lévy .

teorema de debut

El tiempo de golpe de un set F también se conoce como el debut de F. El teorema de Début dice que el tiempo de llegada de un conjunto mensurable F , para un proceso progresivamente mensurable , es un tiempo de parada. Los procesos progresivamente mensurables incluyen, en particular, todos los procesos adaptados continuos a derecha e izquierda . La prueba de que el debut es mensurable es bastante complicada e involucra propiedades de conjuntos analíticos . El teorema requiere que el espacio de probabilidad subyacente sea completo o, al menos, universalmente completo.

Lo contrario del teorema de Début establece que cada tiempo de parada definido con respecto a una filtración sobre un índice de tiempo de valor real puede representarse mediante un tiempo de impacto. En particular, para esencialmente cualquier tiempo de parada existe un proceso adaptado, no creciente, con rutas càdlàg (RCLL) que toma los valores 0 y 1 únicamente, de modo que el tiempo de acierto del conjunto {0} por este proceso es el considerado detener el tiempo. La prueba es muy sencilla. ^[2]

Ver también

• detener el tiempo

Referencias

1. Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.
2. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y álgebras sigma de tiempos de parada". Cartas de Estadística y Probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.